Correlación de la transformada de Fourier
Lagrange tenía razón: las sinusoides no se pueden combinar en señales angulares. Sin embargo, podemos representarlo de manera muy aproximada como una sinusoide, de modo que no haya diferencia de energía entre las dos representaciones. En base a esto, Fourier tenía razón.
La razón por la que se utilizan sinusoides en lugar de ondas cuadradas u ondas triangulares es porque hay infinitas formas de descomponer una señal, pero el propósito de descomponer una señal es procesar la señal original de manera más simple. Es más sencillo representar la señal original en términos de seno y coseno, porque el seno y el coseno tienen una propiedad que la señal original no tiene: la fidelidad del seno. Después de ingresar una señal sinusoidal, la salida sigue siendo sinusoidal. Solo la amplitud y la fase pueden cambiar, pero la frecuencia y la forma de onda siguen siendo las mismas. Sólo las sinusoides tienen esta propiedad, por lo que no utilizamos ondas cuadradas ni triangulares para representarlas.
¿Por qué elegir funciones trigonométricas en lugar de otras funciones para la descomposición? Lo explicamos desde la perspectiva de las señales características de los sistemas físicos. Sabemos que muchos fenómenos de la naturaleza se pueden estudiar de forma abstracta como un sistema lineal invariante en el tiempo, ya sea que se utilicen ecuaciones diferenciales, funciones de transferencia o espacios de estados para describirlos. Un sistema lineal invariante en el tiempo puede entenderse como: las señales de entrada y salida satisfacen una relación lineal y los parámetros del sistema no cambian con el tiempo. Para muchos sistemas en la naturaleza, después de ingresar una señal sinusoidal, la salida sigue siendo sinusoidal. Es posible que solo hayan cambiado la amplitud y la fase, pero la frecuencia y la forma de onda siguen siendo las mismas. En otras palabras, ¡la señal sinusoidal es el vector propio del sistema! Por supuesto, la señal exponencial también es un vector característico del sistema, que representa la atenuación o acumulación de energía. La mayoría de los fenómenos de atenuación o difusión en la naturaleza son exponenciales, o tienen fluctuaciones y decaimiento exponencial (forma exponencial compleja), por lo que la función base característica cambia de una función trigonométrica a una función exponencial compleja. Sin embargo, si la entrada es una onda cuadrada, una onda triangular o cualquier otra forma de onda, la salida no es necesariamente lo que parece. Por lo tanto, las formas de onda distintas de las señales exponenciales y sinusoidales no son señales características de los sistemas lineales.
La razón por la que se utilizan curvas sinusoidales en lugar de ondas cuadradas, ondas triangulares u otras funciones es porque las señales sinusoidales resultan ser los vectores propios de muchos sistemas lineales invariantes en el tiempo. Esta es la transformada de Fourier. Para sistemas lineales invariantes en el tiempo más generales, la señal exponencial compleja (que representa la disipación o decadencia) es el "vector propio" del sistema. De ahí la transformada de Laplace. Lo mismo ocurre con la transformada z, que es el "vector propio" de un sistema discreto. No hay distinción entre funciones propias y vectores propios. El objetivo principal es expresar que son iguales, excepto que uno es un vector de dimensión finita y el otro es una función de dimensión infinita.
Las series de Fourier y la transformada de Fourier son en realidad los problemas de valores propios y vectores propios que discutimos antes. Hay innumerables formas de descomponer una señal, pero el propósito de descomponer una señal es facilitar el procesamiento de la señal original. Es más sencillo representar la señal original en términos de seno y coseno, porque el seno y el coseno tienen una propiedad que la señal original no tiene: la fidelidad del seno. Y sólo las sinusoides tienen esta propiedad.
Esto también explica por qué cuando nos encontramos con una señal, intentamos expresarla en forma de sinusoides o números complejos; por qué las ondas cuadradas o las ondas triangulares son tan "simples" pero tenemos que desarrollarlas así "; problemático" "; ¿Por qué todos nos devanamos los sesos para usar el seno para expandir una señal irregular "no periódica"? Porque el seno (o exponencial complejo) es un vector propio.
¿Qué es el dominio del tiempo? Desde el momento en que nacemos, el mundo que vemos continúa a través del tiempo. La tendencia de las acciones, la altura de las personas y la trayectoria de los automóviles cambiarán con el tiempo. Este método de observar el mundo dinámico utilizando el tiempo como referencia se denomina análisis en el dominio del tiempo. Y damos por sentado que todo en el mundo cambia constantemente con el tiempo y nunca se detendrá.
¿Qué es el dominio de la frecuencia? El dominio de la frecuencia es un sistema de coordenadas utilizado para describir las características de las señales en frecuencia. El lenguaje del álgebra lineal es el espacio de funciones seno. La propiedad más importante del dominio de la frecuencia es que no es una estructura real, sino matemática. El dominio de la frecuencia es una categoría matemática que sigue reglas específicas. Las ondas sinusoidales son las únicas formas de onda en el dominio de la frecuencia. Esta es la regla más importante en el dominio de la frecuencia, es decir, las ondas sinusoidales son descripciones del dominio de la frecuencia, porque cualquier forma de onda en el dominio del tiempo se puede sintetizar con ondas sinusoidales.
Para una señal, el patrón de cambio de intensidad de la señal a lo largo del tiempo es la característica del dominio del tiempo, y la característica del dominio de la frecuencia es la señal sintetizada a partir de la cual se emiten señales de frecuencia única.
El análisis en el dominio del tiempo y el análisis en el dominio de la frecuencia son dos superficies de observación de las señales. El análisis en el dominio del tiempo utiliza el eje del tiempo como coordenada para expresar la relación entre señales dinámicas; el análisis en el dominio de la frecuencia consiste en reemplazar la señal con un eje de frecuencia como coordenada. En general, la representación en el dominio del tiempo es más vívida e intuitiva, mientras que el análisis en el dominio de la frecuencia es más conciso y el problema de análisis es más profundo y conveniente. La tendencia actual del análisis de señales va del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. Sin embargo, están interrelacionados, son indispensables y se refuerzan mutuamente. Un método que abarca los dominios del tiempo y la frecuencia es el legendario análisis de Fourier. El análisis de Fourier se puede dividir en series de Fourier y transformada de Fourier. Según los diferentes tipos de señales originales, podemos dividir la transformada de Fourier en cuatro categorías:
1 Transformada de Fourier de señales continuas no periódicas.
2 Series de Fourier de señales continuas periódicas.
3 Transformada de Fourier en tiempo discreto de señales discretas no periódicas.
4 Transformada discreta de Fourier de señales discretas periódicas.
La siguiente figura es una ilustración de cuatro señales originales:
Estas cuatro transformadas de Fourier son todas para señales infinitas positivas y negativas, es decir, la longitud de la señal es infinita. Sabemos que esto no puede ser procesado por computadoras, entonces, ¿existe una transformada de Fourier con longitud finita? No, porque las ondas seno y coseno se definen desde el infinito negativo hasta el infinito positivo, por lo que no podemos combinar una señal infinitamente larga en una señal finitamente larga. Para enfrentar esta dificultad, el método consiste en representar una señal con una longitud finita en una señal con una longitud infinita. La señal puede extenderse infinitamente de izquierda a derecha, y la parte extendida se representa por cero. De esta manera, esta señal puede considerarse como una señal de disociación no periódica y podemos utilizar el método de transformada de Fourier en el dominio del tiempo discreto. Además, podemos expandir la señal replicándola para convertirla en una señal discreta periódica, que luego podemos transformar mediante la transformada discreta de Fourier. Lo que vamos a estudiar aquí son señales discretas y no discutiremos señales continuas, porque las computadoras solo pueden procesar señales numéricas discretas y nuestro objetivo final es usar computadoras para procesar señales.
Pero para señales no periódicas, necesitamos usar sinusoides de frecuencias infinitamente diferentes para representarlas, algo que las computadoras no pueden hacer. Por lo tanto, sólo la Transformada Discreta de Fourier (DFT) se puede aplicar a la transformación de señales discretas. En el caso de las computadoras, solo pueden procesar datos discretos y de longitud limitada. Para otros tipos de transformación, sólo se pueden utilizar en cálculo matemático. Frente a la computadora solo podemos usar el método DFT, que es lo que entenderemos más adelante. Lo que hay que entender aquí es que utilizamos señales periódicas para resolver problemas matemáticamente, y no tiene sentido pensar dónde o cómo se obtienen las señales periódicas.
Cada transformada de Fourier se divide en dos métodos: método de números reales y método de números complejos. El método de los números reales es uno de los más fáciles de entender, pero el método de los números complejos es mucho más complicado y es necesario tener algunos conocimientos teóricos sobre los números complejos. Pero si comprende la transformada de Fourier discreta real (DFT real), entonces es más fácil comprender la transformada de Fourier compleja, así que dejemos de lado la transformada de Fourier compleja y comprendamos primero la transformada de Fourier real. Más adelante, hablaremos primero sobre la teoría básica de los números complejos y luego nos basaremos en la comprensión de la transformada real de Fourier.
Como se muestra en la figura anterior, las cuatro transformaciones de señales reales se representan en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia respectivamente.
Además, aunque la transformación de la que vamos a hablar aquí es una transformación matemática, es diferente de la transformación de función. Se ajusta al criterio de mapeo uno a uno. Para el procesamiento de señales digitales discretas (DSP), existen muchas transformadas: transformada de Fourier, transformada de Laplace, transformada z, transformada de Hilbert, transformada de coseno discreta, etc.
, que amplía la definición de transformaciones de funciones y permite múltiples valores para entradas y salidas. En pocas palabras, transformación. La transformada de Fourier es un algoritmo importante en el campo del procesamiento de señales digitales. Para conocer el significado del algoritmo de transformada de Fourier, primero debemos comprender el significado del principio de Fourier. El principio de Fourier establece que cualquier serie de tiempo o señal medida continuamente se puede representar como una superposición infinita de señales de onda sinusoidal de diferentes frecuencias. El algoritmo de transformada de Fourier basado en este principio utiliza la señal original medida directamente para calcular la frecuencia, amplitud y fase de diferentes señales de onda sinusoidal en la señal mediante acumulación.
Correspondiente al algoritmo de transformada de Fourier está el algoritmo de transformada de Fourier inversa. Esta transformación inversa es esencialmente un proceso de acumulación, que permite convertir la señal de onda sinusoidal que cambia individualmente en una señal. Por lo tanto, se puede decir que la transformada de Fourier convierte la señal en el dominio del tiempo originalmente difícil de procesar en una señal en el dominio de la frecuencia (espectro de señal) fácil de analizar, y estas señales en el dominio de la frecuencia se pueden procesar y procesar a través de algunas herramientas. Finalmente, estas señales en el dominio de la frecuencia se pueden convertir en señales en el dominio del tiempo mediante la transformada inversa de Fourier.
Desde la perspectiva de las matemáticas modernas, la transformada de Fourier es una transformada integral especial. Puede expresar una función que satisface ciertas condiciones como una combinación lineal o integral de funciones de base sinusoidal. Existen muchas variaciones diferentes de la transformada de Fourier en diferentes campos de investigación, como la transformada de Fourier continua y la transformada de Fourier discreta.
En el campo de las matemáticas, aunque el análisis de Fourier se utilizó originalmente como una herramienta de análisis analítico para procesos térmicos, su método de pensamiento todavía tiene las características del reduccionismo y la teoría del análisis típicos. "Cualquier" función se puede expresar como una combinación lineal de funciones seno mediante ciertas descomposiciones. La función seno es una clase de función relativamente simple que se ha estudiado completamente en física: 1. La transformada de Fourier es un operador lineal. Si se da la norma apropiada, sigue siendo un operador unitario. 2. La transformada inversa de la transformada de Fourier es fácil de encontrar y su forma es muy similar a la transformada directa. La función es una operación diferencial Funciones intrínsecas, transformando así la solución de ecuaciones diferenciales lineales en la solución de ecuaciones algebraicas de coeficiente constante. La operación de convolución lineal es una operación de producto simple que proporciona una forma sencilla de calcular la convolución. 4. En los sistemas de física discreta de Fourier, la frecuencia es una propiedad invariante, por lo que la respuesta del sistema a excitaciones complejas se puede obtener combinando sus respuestas a señales sinusoidales de diferentes frecuencias. 5. El famoso teorema de convolución señala que la transformada de la hoja de Fourier puede ser; convertido en una transformación compleja, que se puede calcular rápidamente utilizando una computadora digital (el algoritmo se llama FFT).
Debido a las buenas propiedades mencionadas anteriormente, la transformada de Fourier se usa ampliamente en física, teoría de números, matemáticas combinatorias, procesamiento de señales, probabilidad, estadística, criptografía, acústica, óptica y otros campos.
Transformada de Fourier de la imagen
La frecuencia de la imagen es un indicador de la intensidad de los cambios de escala de grises en la imagen y es el gradiente de escala de grises en el espacio plano. Por ejemplo, un área grande de desierto es un área donde la escala de grises cambia lentamente en la imagen y el valor de frecuencia correspondiente es muy bajo, mientras que el área del borde donde las propiedades de la superficie cambian drásticamente es un área donde la escala de grises cambia drásticamente; la imagen y el valor de frecuencia correspondiente es alto. La transformada de Fourier tiene un significado físico obvio en la práctica. Si F es una señal analógica con energía limitada, su transformada de Fourier representa el espectro de F. Desde un punto de vista puramente matemático, la transformada de Fourier consiste en procesar una función convirtiéndola en una serie de funciones periódicas. En términos de efectos físicos, la transformada de Fourier transforma la imagen del dominio espacial al dominio de frecuencia, y su transformada inversa transforma la imagen del dominio de frecuencia al dominio espacial. En otras palabras, el significado físico de la transformada de Fourier es convertir la función de distribución de escala de grises de la imagen en la función de distribución de frecuencia de la imagen, y la transformada de Fourier inversa es convertir la función de distribución de frecuencia de la imagen en una función de distribución de escala de grises.
Antes de la transformada de Fourier, una imagen (mapa de bits sin comprimir) es una colección de puntos obtenidos mediante muestreo en un espacio continuo (espacio real). Solíamos usar una matriz bidimensional para representar cada punto en el espacio, por lo que la imagen se puede representar mediante z = f (x, y). Debido a que el espacio es tridimensional y las imágenes son bidimensionales, la relación entre los objetos en el espacio en otra dimensión está representada por gradientes. De esta manera, podemos conocer la relación correspondiente entre los objetos en el espacio tridimensional al observar la imagen. ¿Por qué mencionar el gradiente? Porque, de hecho, el espectro obtenido por la transformada de Fourier bidimensional de la imagen es el mapa de distribución del gradiente de la imagen. Por supuesto, los puntos del espectro no corresponden a los puntos de la imagen uno a uno, ni siquiera en. la ausencia de cambio de frecuencia. Los puntos brillantes de diferente luz y oscuridad en el espectro de Fourier son en realidad la diferencia entre un determinado punto de la imagen y los puntos adyacentes, es decir, el gradiente, que es la frecuencia del punto (se puede entender que los puntos bajos) La parte de frecuencia de la imagen se refiere al punto con bajo gradiente. Lo contrario ocurre con las partes de alta frecuencia).
En términos generales, si el gradiente es grande, el brillo del punto es fuerte; de lo contrario, el brillo es débil. De esta manera, al observar el espectrograma transformado de Fourier, también conocido como diagrama de potencia, primero podemos ver la distribución de energía de la imagen. Si hay más puntos oscuros en el espectrograma, la imagen real será más suave (porque cada uno). Hay poca diferencia entre un punto y su vecindad, y el gradiente es relativamente pequeño). Por el contrario, si hay muchos puntos brillantes en el espectrograma, entonces la imagen real debe ser nítida, con límites claros y con píxeles en ambos lados. los límites son significativamente diferentes. Después de mover el espectro al origen, podemos ver que la distribución de frecuencia de la imagen es simétrica con respecto al origen. Además de ver claramente la distribución de frecuencias de la imagen, existe otro beneficio al desplazar el espectro hacia el centro del círculo. Puede separar señales de interferencia con patrones periódicos, como interferencia sinusoidal, y espectros con interferencia sinusoidal. Se puede ver que hay un grupo de puntos brillantes distribuidos simétricamente alrededor de un determinado punto, excepto el centro, que es causado por ruido de interferencia. En este momento, se puede eliminar intuitivamente la colocación de un filtro de parada de banda en esta posición.
Además, también se explican los siguientes puntos:
1. La imagen se somete a una transformación de Fourier bidimensional y la matriz de coeficientes de transformación muestra:
Si el origen de la matriz de transformación Fn Si se establece en el centro, su energía espectral se concentra cerca del centro de la corta matriz de coeficientes de transformación (el área sombreada en la figura). Si el origen de la matriz de transformada de Fourier bidimensional Fn se establece en la esquina superior izquierda, la energía de la señal de la imagen se concentrará en las cuatro esquinas de la matriz de coeficientes. Esto está determinado por las propiedades de la propia transformada de Fourier bidimensional. Al mismo tiempo, esto también muestra que la energía de la imagen se concentra en el área de baja frecuencia.
2. Las cuatro esquinas de la imagen transformada son las más brillantes en baja frecuencia antes de traducir el origen, y la parte media es la más brillante en baja frecuencia después de la traducción. Un brillo alto indica una gran energía de baja frecuencia (ángulo de amplitud relativamente grande). Se ha desarrollado y ampliado, y se han construido otras formas de transformaciones integrales:
Comprender la transformación integral desde una perspectiva matemática es transformar una función en otra función mediante operaciones integrales. También puede entenderse como calcular el producto interno y luego convertirlo en una proyección de una función a otra función:
El núcleo de la transformación integral K(s, t). Cuando se seleccionan diferentes dominios de integración y núcleos de transformación, se obtienen diferentes nombres de transformación integral. Académicamente hablando, proyectarse al espacio nuclear significa transformar el problema original al espacio nuclear. El llamado espacio del núcleo significa que este espacio está lleno de funciones del núcleo. La siguiente tabla enumera transformaciones comunes y sus funciones del núcleo:
Por supuesto, la elección del núcleo depende principalmente de las características del problema al que se enfrenta. Diferentes problemas tienen diferentes características y corresponden a funciones específicas del núcleo. Tome la función del núcleo como función base. Proyectar las coordenadas actuales en el espacio del núcleo simplificará el problema. Se llama núcleo porque es el núcleo. ¿Por qué sólo está familiarizado con la transformada de Fourier y la transformada de Laplace, pero no con otras transformadas? ¡Porque la señal exponencial compleja es una función característica que describe el mundo!