Los verdaderos problemas que surgen de la ciencia nacional

Función f (x) = (x2 ax-2a2 3a) ex (x?r), donde a? R.

Cuando a≠2/3, encuentre el intervalo monótono y el valor extremo de la función f(x).

Solución: (1) Cuando a = 0, f (x) = x2ex, f' (x) = (x2 2x) ex, entonces f' (1) = e.

Por lo tanto, la pendiente de la tangente a la curva y = f (x) en el punto (1, f(1)) es e.

(2)f' (x)=[x2 ( a 2 )x-2a2 4a] ex,

Supongamos f' (x) = 0, x =-2a, o x = a-2. De a≠23, -2a ≠ a-2.

Lo siguiente se analiza en dos situaciones:

①Si a > 23, -2a < a-2. Cuando x cambia, f' (x) y f(x) cambian de la siguiente manera:

x(-∞,-2a)-2a(-2a,a-2)a-2(a- 2 , ∞)

f '(x) 0—0

F (x) ↗Máximo↘Min↗

La función f(x) está en x = El valor máximo f(-2a)=3ae-2a se obtiene en -2a;

El valor mínimo f(a-2)=(4-3a)ea-2 se obtiene en x = a -2;

②Si a < 23, entonces -2a > a-2. Cuando x cambia, f' (x) y f(x) cambian de la siguiente manera:

x(-∞, a-2)a-2(a-2,-2a)-2a(- 2a , ∞)

f '(x) 0—0

F (x) ↗Máximo↘Min↗

La función f(x) está en x = Obtener el valor mínimo f(-2a) = 3ae-2a en -2a;

Obtener el valor máximo f(a-2) = (4-3a) ea-2 cuando x = a-2 .