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Preguntas del examen de la Liga Nacional de Matemáticas de Escuelas Secundarias

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La primera prueba de la Liga Nacional de Matemáticas de Escuelas Secundarias de 2001

1. Preguntas de opción múltiple (7 puntos por cada pregunta, ***42 puntos)

1 a, b, c son números racionales y la ecuación a + b√2 + c√3 = √. (5 + 2√6 ), entonces el valor de 2a + 999b + 1001c es ( )

2. Si ab≠ 1, y hay 5a2 + 2001a + 9 = 0 y 9b2 + 2001b + 5 = 0, entonces el valor de a/b es ( )

(A) 9/5 (B) 5/9 (C )-2001/5 (D)-2001/9

3 Se sabe que en △ABC, ∠ACB=900, ∠ABC=150, BC=1, entonces la longitud de AC es ( )

(A) 2 + √3 (B) 2 - √3 (C) 3/10 (D) √3 - √2

4. En △ABC, D está en un punto del lado AC, entre las siguientes cuatro situaciones, la situación en la que △ABD∽△ACB no es necesariamente cierta es ( )

(A) AD·BC = AB·BD (B) AB2 = AD·AC (C) ∠ABD = ∠ACB (D) AB·BC = AC·BD

5. la raíz de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0 es x = - b/2a ± √(b2-4ac)/2a; ②En △ABC, si AC2 + BC2 > AB2, entonces △ABC es un triángulo agudo; ABC y △A'B'C', a, b , c son los tres lados de △ABC, respectivamente. Si a>a', b>b', c>c', entonces el área S de △ABC es mayor. que el área S' de △A'B'C'. Entre las tres proposiciones anteriores, el número de proposiciones falsas es ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

6. trata a los clientes Implementar descuentos y estipular: ① Si la compra no excede los 200 yuanes, no se otorgará ningún descuento ② Si la compra excede los 200 yuanes pero no excede los 500 yuanes, se otorgará un descuento del 10% según el precio indicado; ③ Si la compra supera los 500 yuanes, entre los cuales se otorgará un descuento de 500 yuanes de acuerdo con el artículo 2, y se otorgará un descuento del 20% por la cantidad que exceda los 500 yuanes. Una persona fue de compras dos veces y pagó 168 yuanes y 423 yuanes respectivamente; si solo fue de compras una vez por el mismo producto, el pago a pagar es ( )

(A) 522,8 yuanes (B) 510,4 yuanes (C). ) 560,4 yuanes (D) 472,8

2. Preguntas para completar en blanco (7 puntos por cada pregunta, ***28 puntos)

1 El punto conocido P. en el sistema de coordenadas rectangular Las coordenadas son (0, 1), O es el origen de las coordenadas, ∠QPO = 1500, y la distancia de P a Q es 2, entonces las coordenadas de Q son ______.

2. Se sabe que dos circunferencias con radios de 1 y 2 están circunscritas en el punto P, entonces la distancia del punto P a la recta tangente de las dos circunferencias es ______.

3. Se sabe que x e y son números enteros positivos, y xy+x+y=23, entonces x2+y2= ______. (No es la pregunta original)

4. Si sumas 100 y 168 a un entero positivo respectivamente, puedes obtener dos números cuadrados perfectos. Este entero positivo es _______.

Liga Nacional de Matemáticas de Escuelas Secundarias 2008

13 de abril de 2008, 8:30-9:30 am

Preguntas de opción múltiple: (Completo La puntuación de esta pregunta es 42 puntos, cada pregunta es 7 puntos)

1 Supongamos que a 2 + 1 = 3 a, b 2 + 1 = 3 b y a ≠ b, entonces el valor de la expresión algebraica + es ( )

(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11

2 Como se muestra en la figura, sean AD, BE y. CF son las tres alturas de △ABC Si AB = 6, BC = 5, EF = 3, entonces la longitud del segmento BE es ( )

(A) (B) 4 (C) (. D)

3. Hay números escritos a partir de Tome dos de las cinco tarjetas 1, 2, 3, 4 y 5, use el número de la primera tarjeta como dígito de las decenas y el número de la siguiente. la segunda tarjeta como el dígito de las unidades para formar un número de dos dígitos Entonces la probabilidad de que el número formado sea múltiplo de 3 es ( )

(A) (B) (C) (D) <. /p>

4. En △ABC, ∠ABC = 12°, ∠ACB = 132°, BM y CN son las bisectrices exteriores de estos dos ángulos, y los puntos M y N están en la recta AC y el recta AB respectivamente, entonces ( )

(A) BM > CN (B) BM = CN (C) BM < CN (D) La relación entre BM y CN es incierta

5. Hay 5 productos diferentes con el mismo precio, a partir de hoy el precio se reduce en un 10% o un 20%. Después de unos días, los precios de estos cinco productos son diferentes entre sí. del precio más alto al precio más bajo es r, entonces el valor mínimo de r es ( )

(A) ( ) 3 (B) ( ) 4 (C) ( ) 5 (D)

6. Se sabe que los números reales x e y satisfacen ( x – ) ( y – ) = 2008,

Entonces el valor de 3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3. y – 2007 es ( )

(A) – 2008 (B) 2008 (C) – 1 (D) 1

2 Preguntas para completar en blanco: ( Esta pregunta vale 28 puntos, cada pregunta vale 7 puntos)

1. Supongamos que a =, luego =.

2 Como se muestra en la figura, la longitud del lado del cuadrado ABCD es 1, M y N son dos puntos en la línea recta donde se encuentra BD, y AM = , ∠MAN = 135°, entonces el área del cuadrilátero AMCN es .

3. Se sabe que las abscisas de los dos puntos de intersección de la gráfica de la función cuadrática y = x 2 + a x + b y el eje x son m, n respectivamente, y m | + | norte | ≤ 1. Supongamos que los valores máximo y mínimo de b que cumplen los requisitos anteriores son p y q respectivamente, entonces |

4. Ordena los números cuadrados de los enteros positivos 1, 2, 3,... en una serie: 149162536496481100121144..., el número de la primera posición es 1, y el número de la quinta. La posición es 6, el número en la décima posición es 4 y el número en la posición 2008 es.

Respuesta: B, D, C, B, B, D – 2, , ,1.

Liga Nacional de Matemáticas de Escuelas Secundarias 2003

1 Preguntas de opción múltiple (la puntuación total para esta pregunta es 42 puntos, cada pregunta es 7 puntos)

1. 2√(3- 2√2) + √(17-12√2) es igual a

A.5-4√2 B.4√2-1 C.5 D.1

2. Entre todos los ángulos interiores de un polígono convexo de 10 lados, el número máximo de ángulos agudos es

A.0 B.1 C.3 D.5

3. Si la función y = kx ( k>0) La gráfica de la función y = 1/x se cruza en dos puntos A y C, y el eje x AB es perpendicular a B, entonces el área de △ABC es

A.1 B.2 C.k D .k2

4 El número de pares de enteros positivos que satisfacen la ecuación x√y + y√x. - √(2003x) - √(2003y) + √(2003xy) = 2003 es

A.1 B.2 C.3 D.4

5. △ABC es 1, D es un punto en el lado AB y AD/AB = 1/3. Si elegimos un punto E en el lado AC de modo que el área del cuadrilátero DECB sea 3/4, entonces el valor de CE/EA es 1/2 B.1/3 C. 1/4 D. 1/5

6. Como se muestra en la figura, en el paralelogramo ABCD, la circunferencia que pasa por los tres puntos A, B y C corta a AD en E y es tangente a CD. . Si AB=4, BE=5, entonces la longitud de DE es

A.3 B.4 C.15/4 D.16/5

2. espacios en blanco (esta pregunta La puntuación total es 28 puntos, cada pregunta es 7 puntos)

1 La parábola y = ax2 +bx +c cruza el eje x en dos puntos A y B, y cruza el. Eje y en el punto C. Si △ABC es un triángulo rectángulo, entonces ac=__________.

2. Supongamos que m es un número entero y que ambas raíces de la ecuación 3x2 + mx - 2 = 0 son mayores que -9/5 y menores que 3/7, entonces m = ____________.

3. Como se muestra en la figura, AA' y BB' son las bisectrices de ∠EAB y ∠DBC respectivamente. Si AA' = BB' = AB, entonces el grado de ∠BAC es _____________.

4. Se sabe que la diferencia entre los enteros positivos a y b es 120, y su mínimo común múltiplo es 105 veces su máximo común divisor. Entonces el número mayor entre a y b es _________.

Liga Nacional de Matemáticas de Escuelas Secundarias 2007

Primera prueba

1 Preguntas de opción múltiple (7 puntos por cada pregunta, ***42 puntos)

1. Se sabe que satisface entonces el valor de es ().

(A)1 (B) (C) (D)

2. Cuando se toman los valores 2,...,2006,2007 respectivamente, se calcula el valor de la expresión algebraica y se suman los resultados, y la suma es igual a ().

(A)-1 (B)l (C)0 (D)2007

3. Supongamos que es la longitud de tres lados de y que la función cuadrática toma el valor mínimo cuando. Entonces △ABC es ( ).

(A) Triángulo isósceles (B) Triángulo agudo

4. Se sabe que la distancia desde el vértice A del ángulo agudo △ABC al centro vertical H es igual al radio de su círculo circunscrito. Entonces el grado de ∠A es ( ).

(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°

5. Supongamos que K es cualquier punto en △ABC y que los centros de gravedad de △KAB, △KBC y △KCA son D, E y F respectivamente. Entonces el valor de S△DEF:S△ABC es ().

(A) (B) (C) (D)

6. La bolsa contiene 5 bolas rojas, 6 bolas negras y 7 bolas blancas. Ahora se sacan 15 bolas de la bolsa. La probabilidad de que haya exactamente 3 bolas rojas entre las bolas extraídas es ( ).

(A) (B) (C) (D)

2 Preguntas para completar en blanco (7 puntos por cada pregunta, ***28

puntos)

1. Supongamos que , es la parte decimal de y es la parte decimal de . Entonces.

2. Para todos los números naturales no menores que 2, las dos raíces de la ecuación cuadrática se escriben como . Entonces

= .

3. Se sabe que las longitudes de los cuatro lados del trapecio rectángulo ABCD son AB=2, BC=CD=10 y AD=6. Dibuja un círculo que pase por dos puntos B y D. Intersecta la línea de extensión de BA. en el punto E y la línea de extensión de CB en el punto F. Entonces el valor de BE-BF es.

4. Si y son números de cuatro dígitos y cuadrados perfectos, entonces el valor del número entero es.

Segunda prueba

Prueba A

1. (20 puntos) Sea un número entero positivo, y si para todos los números reales, la función cuadrática

p >

La distancia entre los dos puntos de intersección de la imagen y el eje no es menor que, encuentre el valor.

2. (25 puntos) Como se muestra en la Figura 1, el cuadrilátero ABCD es un trapezoide, el punto E es un punto en la base superior AD y la línea de extensión de CE cruza la línea de extensión de BA en punto f. La línea paralela trazada por BA que pasa por el punto E se cruza con la línea extendida de CD en el punto M, y BM y AD se cruzan en el punto N. Demuestre: ∠AFN=∠DME.

3. (25 puntos) Se sabe que es un número entero positivo. Si las raíces de una ecuación son todas enteras, encuentra el valor de y las raíces enteras de la ecuación.

Desplazamiento B

1. (20 puntos) se establece en un número entero positivo, y la distancia entre las dos intersecciones de la gráfica de la función cuadrática y el eje es, la gráfica. de la función cuadrática y La distancia entre los dos puntos de intersección de los ejes es. Si es cierto para todos los números reales, encuentre el valor de .

2. (25 puntos) Igual que la segunda pregunta del Documento A.

3. (25 puntos) Supongamos que es un número entero positivo, una función cuadrática y una función proporcional inversa. Si los puntos de intersección de las gráficas de las dos funciones son todos números enteros (puntos donde las coordenadas horizontales y verticales son números enteros), encuentre el valor de .

Prueba C

1. (20 puntos) Igual que la primera pregunta de la Prueba B.

2. (25 puntos) Igual que la segunda pregunta del Documento A.

3. (25 puntos) Supongamos que es un número entero positivo. Si la gráfica de la función cuadrática y la función proporcional inversa tiene un punto perfecto común (un punto donde las coordenadas horizontal y vertical son enteras), encuentra el valor de y el punto perfecto común correspondiente.

2006 Liga Nacional de Matemáticas de Secundaria

Primera prueba

1 Preguntas de opción múltiple (7 puntos por cada pregunta, ***42 puntos)

1. Se sabe que el cuadrilátero ABCD es un cuadrilátero convexo arbitrario. E, F, G y H son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA respectivamente. S y p representan el área y el perímetro del cuadrilátero ABCD respectivamente. ; S1 y p1 representan el cuadrilátero respectivamente. configuración . Entonces entre las siguientes afirmaciones sobre , la correcta es ().

(A) son ambos valores constantes (B) son valores constantes, pero no son valores constantes

2. Se sabe que es un número real y que las dos raíces de la ecuación son aproximadamente . Entonces el valor de es ().

(A) (B) (C) (D)1

3. La ecuación para tiene sólo dos raíces reales diferentes. Entonces el rango de valores del número real es ().

(A)a>0 (B)a≥4 (C)2

4. Suponga que la relación de tamaño de los números reales es ().

(A) (B) (C) (D)

5. es un número racional y satisface la ecuación , entonces el valor de es ( ).

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

6. Ordena en una columna de menor a mayor los números que cumplan la condición de "al menos un número entero positivo en el que aparezca el número 0 y sea múltiplo de 4": 20, 40, 60, 80, 100, 104,…. Entonces el número 158 de esta columna es ().

2. Preguntas para completar en blanco (7 puntos por cada pregunta, *** 28 puntos)

1. La suma de las abscisas de la intersección de la gráfica de la función y el eje es igual a .

2. En isósceles, AC=BC=1, M es el punto medio de BC, CE⊥AM está en el punto E y cruza a AB en el punto F, entonces S△MBF=.

3. Sea el valor del número real que toma el valor mínimo.

4. En el sistema de coordenadas plano rectangular, las coordenadas del vértice del cuadrado OABC son O (0,0), A (100,0), B (100,100), C (0,100) respectivamente. Si un punto de cuadrícula P dentro del cuadrado 0ABC (excluyendo el límite y los vértices) satisface.

Llamamos al punto P de la cuadrícula un "buen punto". Entonces el número de puntos buenos dentro del cuadrado OABC es .

Nota: El llamado punto de cuadrícula se refiere a un punto cuyas coordenadas horizontales y verticales son números enteros en el sistema de coordenadas cartesiano del plano.

Segundo examen

Prueba A

1 (20 puntos) Se sabe que la ecuación cuadrática de una variable aproximadamente tiene dos raíces reales diferentes. ¿Cuántos grupos enteros positivos ordenados hay que cumplen las condiciones?

2 (25 puntos) Como se muestra en la Figura 1, D es el punto medio de la base BC de isósceles △ABC, E y F son AC. y F respectivamente. El punto en su línea de extensión. Se sabe que ∠EDF=90°. ED=DF=1,AD=5. Encuentra la longitud del segmento de línea BC.

3. (25 puntos) Como se muestra en la Figura 2, en el paralelogramo ABCD, la bisectriz de ∠A se cruza con las líneas de extensión de BC y DC respectivamente en los puntos E y F, y en los puntos O y O1. son △ respectivamente. El circuncentro de CEF y △ABE. Verificar:

(1) O, E, O1 línea *** de tres puntos;

(2)

Volumen B

1. (20 puntos) Igual que la primera pregunta del Volumen A.

2. (25 puntos) Igual que la segunda pregunta del Documento A.

(1) Verifique: O, E, 01 línea *** de tres puntos;

(2) Si , encuentre el grado de .

Prueba C

1. (20 puntos) Igual que la segunda pregunta de la Prueba A.

2. (25 puntos) Igual que la pregunta 3 de la Prueba B.

3. (25 puntos) Sea un número entero positivo, y . En el sistema de coordenadas cartesiano plano, el segmento de línea que conecta el punto y el punto pasa por el punto de la cuadrícula. Prueba:

(1) Si es un número primo, entonces no hay otros puntos de la cuadrícula excepto los puntos finales en el segmento de línea que conecta el origen O(0, 0) y el punto;

(2) Si no hay otros puntos de la cuadrícula excepto los puntos finales en el segmento de línea que conecta el origen O(0,0) y el punto, entonces p es un número primo.

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