Matemáticas en el procesamiento de imágenes: de la transformada de Fourier al filtrado
Una comprensión más intuitiva de la música es la siguiente:
La Figura 1 es cómo se ve la música en el dominio del tiempo y la Figura 2 es cómo se ve la música en el dominio de la frecuencia.
La frecuencia es, si el eje horizontal es la frecuencia y el eje vertical es la amplitud, entonces la imagen en el dominio de la frecuencia es
La función seno es de una sola frecuencia y está representada solo por una línea vertical en el dominio de la frecuencia. Lo que esperamos es convertir la señal en el dominio del tiempo en una combinación de funciones sinusoidales de una sola frecuencia, de modo que pueda representarse mediante una línea vertical en el dominio de la frecuencia para completar la conversión del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia.
Si cualquier forma de onda se puede transformar en una combinación lineal de una constante y varias funciones seno y coseno, podemos completar la transformación del dominio del tiempo al dominio de la frecuencia. La fórmula matemática se expresa de la siguiente manera:
Entonces la pregunta es, para cualquier forma de onda, ¿podemos encontrar un conjunto de coeficientes que hagan que la ecuación anterior se cumpla?
En un artículo publicado en 1807, el matemático francés Fourier propuso una conclusión muy controvertida en su momento: cualquier señal periódica continua puede estar compuesta por un conjunto de sinusoides apropiadas.
A medida que aumenta la frecuencia, la forma de onda sintetizada se acerca más a una onda cuadrada. Cuando n se acerca al infinito, es decir, cuando el rango del espectro es infinito, puede acercarse infinitamente a la onda cuadrada.
Desde una perspectiva del dominio de la frecuencia
Para quienes procesan imágenes, cada imagen digital es un conjunto de señales, lo que significa que realizar procesamiento de imágenes equivale a realizar procesamiento de señales. Dado que la señal tiene características en el dominio de la frecuencia y características en el dominio del tiempo, el canal que conecta el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia es la transformada de Fourier.
Análisis de características de frecuencia de la imagen
Cada píxel del espectro representa un valor de frecuencia y la amplitud se obtiene codificando el brillo del píxel. Para las imágenes, las características de frecuencia de la señal de la imagen son las siguientes:
Nota: el filtrado de paso bajo aquí se refiere a dejar ondas de baja frecuencia y filtrar ondas de alta frecuencia. El diagrama esquemático es un espectro centrado, es decir, desde el centro del espectro hasta las frecuencias circundantes de baja a alta. El esquema muestra que las frecuencias bajas, medias y altas alrededor del centro del punto de filtro quedan atrás. Sabemos que las bajas frecuencias corresponden a partes de la imagen que no cambian significativamente, por lo que la imagen se vuelve muy borrosa. Esto también se denomina filtrado suavizado en el procesamiento de imágenes.
En comparación con el suavizado, el efecto de enfocar una imagen es obviamente mejorar los bordes de la imagen.