¿Por qué los problemas matemáticos de permutación~combinación~probabilidad~ son tan difíciles~ ~Dame algunos consejos~ ~¡Más recompensas~!
Primero, clasificación razonable y método preciso paso a paso
Para resolver el problema de la permutación y combinación restringidas, debemos clasificar según la naturaleza de los elementos y proceder paso a paso. paso de acuerdo con el proceso continuo de las cosas para garantizar que cada paso sea independiente, de modo que los estándares de clasificación sean claros, los niveles sean claros y no haya duplicaciones ni omisiones.
Ejemplo 1. Cinco personas se alinean en fila, con A no a la cabeza y B no al final. Los diferentes arreglos son ().
A.120 tipos B.96 tipos C.78 tipos D.72
Análisis: Según el significado de la pregunta, se puede ordenar A primero y discutir según su clasificación. : 1) Si A está en Finalmente, las cuatro personas restantes se pueden organizar libremente y tienen diferentes arreglos 2) Si A está en la segunda, tercera o cuarta posición, existe un método de arreglo; Según el principio de clasificación y conteo, hay muchas formas de ordenarlos, elija C.
Al resolver el problema de coexistencia de permutaciones y combinaciones, generalmente se utiliza el método de primero seleccionar (combinación) y luego ordenar (organizar).
Ejemplo 2. ¿Cuántas formas hay de poner cuatro bolas diferentes en cuatro cajas numeradas 1, 2, 3 y 4, dejando solo una caja vacía?
Análisis: Como resulta que hay una caja vacía, debe haber dos bolas en una caja. 1) Selección: elija dos bolas de cuatro, elija tres cajas de cuatro; 2) Organizar: las dos bolas seleccionadas se consideran un elemento y las otras dos bolas se consideran ***3 elementos. Las tres cajas seleccionadas vienen en diversas disposiciones, por lo que existen diversas formas de solicitar su liberación.
2. Métodos de análisis de elementos y de posición
Para problemas de permutación y combinación con condiciones adicionales, generalmente se utiliza el método de considerar elementos y posiciones especiales primero, y luego otros elementos y posiciones. .
Ejemplo 3, use cinco números 0, 2, 3, 4 y 5 para formar un número de tres dígitos sin números repetidos, entre los cuales los números pares * * * tienen ().
A. 24 libras 30 centímetros. 40ds. 60
[Análisis] Debido a que el número de tres dígitos es un número par, el número al final debe ser un número par, y debido a que 0 no puede clasificarse en primer lugar, 0 es uno de los elementos "especiales" y se le debe dar prioridad. Se puede dividir en dos categorías: 1) 0 al final de la línea, 2) 0 al final, que se basa en el principio de conteo de fracciones, **.
Ejemplo 4. Hay ocho farolas en la carretera. Para ahorrar energía sin afectar la iluminación normal, puede apagar tres luces, pero no se pueden apagar dos o tres luces adyacentes al mismo tiempo, ni tampoco las luces en ambos extremos. Entonces, ¿cuántas formas hay de apagar las luces de calificación?
Análisis: A primera vista, hay seis formas de apagar una luz. Apagar la segunda luz y la tercera luz requiere una discusión clasificada, lo cual es muy complicado. Si lo pensamos desde el lado opuesto, cada método de apagar luces corresponde a un arreglo de luces encendidas y apagadas que cumple con los requisitos de la pregunta, entonces el problema se transforma en "insertar tres luces oscuras en cuatro espacios, y cinco las luces están encendidas" pregunta. Entonces, hay varias formas de apagar las luces.
3. Método de inserción y método de enlace
Para la disposición de algunos elementos no adyacentes, podemos organizar otros elementos primero y luego insertar los elementos no adyacentes en los dispuestos entre ellos. los elementos y los huecos en ambos extremos.
Ejemplo 5. Siete personas se pusieron en fila y tomaron fotografías. Si A, B y C no son adyacentes, ¿cuántas disposiciones diferentes existen?
Análisis: una forma es organizar a las otras cuatro personas primero y luego seleccionar tres posiciones entre los cinco "espacios" entre ellos y en ambos extremos para que A, B y C se inserten, de modo que haya Diferentes métodos.
Para la disposición del "pequeño conjunto" del área, los elementos del área se pueden agrupar como una unidad, organizarse junto con otros elementos y luego disponerse en el área.
Ejemplo 6. Siete personas se pusieron en fila y tomaron fotografías. a, B y C son adyacentes. ¿Cuántos arreglos diferentes hay?
Análisis: considerando que A, B y C son una "unidad", existe un acuerdo con los otros cuatro *** 5 yuanes, y también existe un acuerdo entre A, B y C. , entonces** *Hay un acuerdo.
4. Método de eliminación global
Para las preguntas con palabras negativas, se podrán eliminar en su conjunto las que no cumplan los requisitos. En este momento, tenga cuidado de no reducir demasiado o muy poco.
Por ejemplo, el Ejemplo 3 también se puede resolver con este método: cinco dígitos forman una matriz de tres dígitos. Después de la disposición, se encuentra que 0 no ocupa el primer lugar, y los números 3 y 5 sí. no clasificado en último lugar. Estas dos permutaciones deben eliminarse, por lo que hay un número par.
5. Utilice "división" para resolver problemas de orden fijo.
Para problemas en los que ciertos elementos están organizados en un orden determinado, puede organizar estos elementos junto con otros elementos y luego usarlos. el número total de arreglos Dividir por el número total de permutaciones de estos elementos.
Ejemplo 7: Se alinean seis personas, A, B y C en el orden "A-B-C". ¿Cuántas formas hay de hacer cola?
Análisis: Independientemente de las condiciones adicionales, existen tres métodos de cola. Solo uno de A, B y C cumple con los requisitos. Por tanto, existen varios métodos de permutación calificados.
6. Modelo estructural "Método de partición"
Para problemas de disposición complejos, podemos diseñar otro escenario y construir un modelo de partición para resolver el problema.
Ejemplo 8. ¿Cuántas soluciones enteras positivas tiene la ecuación a+b+c+d=12?
Análisis: establezca un modelo de deflector: coloque 12 bolas idénticas en una fila, inserte aleatoriamente 3 deflectores en los espacios entre ellas y divida las bolas en 4 pilas. El número de bolas de cada pila obtenido por cada división corresponde a un conjunto de soluciones enteras positivas de A, B, C y D, por lo que el número de conjuntos de soluciones enteras positivas de la ecuación original.
Otro ejemplo es el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación a+b+c+d=12; el número de términos en las expansiones trinomiales y cuárticas se pueden resolver usando este método después de la transformación.
7. "Método de trazo recto" para calificar preguntas
Si no hay otros requisitos especiales, el problema de varios elementos en las filas delantera y trasera se puede resolver organizándolos en una fila.
Ejemplo 9. Siete personas se sientan en dos filas, tres en la primera fila y cuatro en la segunda fila. ¿Cuántas posiciones diferentes para sentarse hay?
Análisis: 7 personas pueden sentarse en las dos primeras filas a voluntad, sin otras condiciones, por lo que las dos filas pueden tratarse como una sola fila, con diferentes métodos de asiento.
8. Método de tabla
Algunos problemas complejos se pueden visualizar a través de listas.
Ejemplo 10, 9 personas forman un equipo de baloncesto, 7 de ellas son buenas jugando de delantero y 3 son buenas de guardia. Ahora elija 5 personas (2 defensores y 3 delanteros, los delanteros se dividen en izquierda, centro y derecha, y los defensores se dividen en izquierda y derecha) para formar un equipo para competir. ¿Cuántos métodos diferentes de formación de equipos existen?
Análisis: Como en el título, hay una persona que puede jugar tanto de delantero como de defensa, pero hay 6 personas que solo pueden jugar de delantero y dos que solo pueden jugar de defensa. La lista es la siguiente:
Número de personas
Seis personas sólo pueden atacar.
Dos personas sólo pueden defender.
Un jugador es a la vez ofensivo y defensivo.
Resultados
Diferentes
Métodos de selección
Tres
2
Tres
1
1 (Wei)
2
2
1 (frente)
Desde la mesa, * * * hay un camino.
Además de los métodos anteriores, a veces también podemos resolver problemas estableciendo incógnitas y utilizando ecuaciones. Los problemas simples se pueden resolver mediante enumeración. Las ideas matemáticas comúnmente utilizadas para resolver este tipo de problemas son la discusión de clasificación, la transformación y la simetría. La permutación y combinación es uno de los puntos y dificultades clave en las matemáticas de la escuela secundaria, y también es la base para un mayor aprendizaje de la probabilidad. De hecho, muchos problemas de probabilidad también pueden reducirse a problemas de permutación y combinación. Este tipo de problema no sólo es abstracto en contenido y flexible en solución, sino que también es propenso a errores de “repetición” y “omisión” en el proceso de resolución del problema, que son incluso difíciles de detectar. Por lo tanto, debemos prestar atención a acumular experiencia, resumir las reglas de resolución de problemas y dominar algunas habilidades, para que finalmente podamos aplicarlas con flexibilidad.
¿Por qué son tan difíciles los problemas matemáticos de probabilidades de permutación y combinación? Para resolver problemas de permutación y combinación, primero debe revisar cuidadosamente la pregunta para determinar si es una pregunta de permutación y combinación o una pregunta mixta de permutación y combinación. Luego, comprenda las características esenciales del problema y utilice de manera flexible principios y fórmulas básicos para analizar. y solucionarlo. También preste atención a algunas estrategias y métodos para resolver algunos problemas aparentemente complejos. A continuación se muestran algunos métodos y estrategias de resolución de problemas de uso común.
Primero, clasificación razonable y método preciso paso a paso
Para resolver el problema de la permutación y combinación restringidas, debemos clasificar según la naturaleza de los elementos y proceder paso a paso. paso de acuerdo con el proceso continuo de las cosas para garantizar que cada paso sea independiente, de modo que los estándares de clasificación sean claros, los niveles sean claros y no haya duplicaciones ni omisiones.
Ejemplo 1. Cinco personas se alinean en fila, con A no a la cabeza y B no al final. Los diferentes arreglos son ().
A.120 tipos B.96 tipos C.78 tipos D.72
Análisis: Según el significado de la pregunta, se puede ordenar A primero y discutir según su clasificación. : 1) Si A está en Finalmente, las cuatro personas restantes se pueden organizar libremente y tienen diferentes arreglos 2) Si A está en la segunda, tercera o cuarta posición, existe un método de arreglo; Según el principio de clasificación y conteo, hay muchas formas de ordenarlos, elija C.
Al resolver el problema de coexistencia de permutaciones y combinaciones, generalmente se utiliza el método de primero seleccionar (combinación) y luego ordenar (organizar).
Ejemplo 2. ¿Cuántas formas hay de poner cuatro bolas diferentes en cuatro cajas numeradas 1, 2, 3 y 4, dejando solo una caja vacía?
Análisis: Como resulta que hay una caja vacía, debe haber dos bolas en una caja. 1) Selección: elija dos bolas de cuatro, elija tres cajas de cuatro; 2) Organizar: las dos bolas seleccionadas se consideran un elemento y las otras dos bolas se consideran ***3 elementos. Las tres cajas seleccionadas vienen en diversas disposiciones, por lo que existen diversas formas de solicitar su liberación.
La solución a un problema matemático de probabilidad de permutación y combinación:
***108 cartas, cada una con 27 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona atrape a los Cuatro Reyes?
C(4,4)C(104,23)/C(108,27)
≈0,0033
= 0,33%.
Se puede observar que esta probabilidad es muy pequeña.
Después de aprender la secuencia matemática y la permutación y combinación de probabilidades, no sé cómo simplificar problemas complejos y no tengo miedo cuando me encuentro con problemas. Si vas a la universidad, descubrirás que las permutaciones y probabilidades de la escuela secundaria son simplemente infantiles y que la complejidad de la universidad está desapareciendo. Si no lo comprende, puede conectar los temas del libro con su propia vida, hacer que los temas abstractos sean prácticos y concretos y comprenderlos lentamente. Además, estudie las siguientes preguntas de ejemplo para dominar las ideas y reglas para resolver problemas.
La probabilidad de resolver un problema matemático de probabilidad relacionado con "combinación y permutación" sin miopía es C 25 ^ 2/C 50 ^ 2 = 12/49.
Entonces la probabilidad de tener miopía es 1-12/49 = 37/49.
Probabilidad en secundaria, métodos de resolución de problemas y técnicas de permutación y combinación. Estrategias para resolver problemas de permutación y combinación
Palabras clave: permutación y combinación, estrategias de resolución de problemas
Primero, método de vinculación de problemas adyacentes
Ejemplo 1.7 Los estudiantes se paran juntos Fila . ¿Cuántos arreglos diferentes deben tener A y B para estar juntos?
Solución: El problema de disponer dos elementos juntos se puede resolver utilizando el método de "encuadernación". Primero, A, B y las otras cinco personas están dispuestas como un solo elemento, considerando el orden de A y B, por lo que * * * hay una especie.
Comentarios: En general, los individuos están colocados en una fila, uno de ellos uno al lado del otro, lo que se puede resolver mediante el método de "agrupación", y existen diferentes disposiciones.
2. Método de inserción nulo de problema no adyacente
Ejemplo 2. Siete estudiantes estaban en fila. ¿Cuántos arreglos diferentes hay cuando A y B no son adyacentes?
Solución: La disposición no adyacente de A y B generalmente adopta el método del "espacio de inserción", por lo que el número total de disposiciones no adyacentes de A y B debe ser: especies.
Comentario: Si los individuos están en fila, los lugares donde los individuos no son adyacentes se pueden resolver "insertando espacio". Hay dos formas de organizarlos.
Tres. Problemas complejos: método de eliminación completa
Cuando el método directo es difícil de considerar o la clasificación no es clara o es múltiple, se puede considerar el "método de eliminación". Al resolver problemas geométricos, debemos prestar atención a las restricciones de las figuras geométricas sobre sus elementos constituyentes.
Ejemplo 3. (Examen Nacional de Ingreso a la Universidad de 1996) Hay siete puntos en el centro y vértices de un hexágono regular ¿Cuántos triángulos hay con tres de ellos como vértices?
Solución: Hay varias formas de encontrar tres puntos a partir de siete puntos, pero el centro y el vértice contenidos en la diagonal de un hexágono regular tienen tres * * * rectas, por lo que el triángulo que cumple las condiciones es - 3 = 32 individuos.
Cuarto, elementos especiales: método de prioridad
Para problemas escritos de permutación y combinación con condiciones limitadas, se puede dar prioridad a posiciones especiales y luego se pueden considerar otras posiciones.
Ejemplo 4. (Preguntas del examen de ingreso a la universidad de Shanghai de 1995) El maestro 1 y los 4 estudiantes galardonados hicieron fila para tomar fotografías. Si los profesores no están dispuestos en ambos extremos, existen disposiciones diferentes.
Solución: Consideremos primero la disposición de elementos especiales (maestros). Debido a que el maestro no lo organiza en ambos extremos, puedes elegir una de las tres posiciones en el medio. Otros estudiantes tienen arreglos diferentes, por lo que * * * hay = 72 arreglos diferentes.
Ejemplo 5. (Examen de ingreso a la universidad nacional de 2000) Entre los 10 miembros del equipo de tenis de mesa, 3 son los jugadores principales y 5 miembros son enviados a participar. Los tres jugadores principales deben ubicarse en las posiciones uno, tres y cinco, y los otros siete deben ubicarse en las posiciones dos y cuatro, por lo que los estilos de juego tienen diferentes arreglos.
Solución: Debido a que las posiciones No. 1, No. 3 y No. 5 son especiales, solo se pueden organizar los jugadores principales. Hay dos arreglos, y los otros siete jugadores eligen dos para ser colocados. en las posiciones No. 2 y No. 4, por lo que hay = 252 arreglos diferentes para jugar.
5. Múltiples cuestiones: método de discusión de clasificación
Para muchos elementos y muchas opciones, puede discutirlos según sus necesidades y finalmente hacer un resumen.
Ejemplo 6. (Reclutamiento de primavera de Beijing 2003) Los cinco programas originalmente programados para la fiesta de Año Nuevo de una determinada clase se organizaron en la lista de programas y se agregaron dos programas nuevos antes de la presentación. Si estos dos programas se insertan en la lista de programas original, el número de métodos de inserción diferentes es (A).
A.42 B.30 C.20 D.12
Solución: Los dos nuevos programas se pueden dividir en situaciones adyacentes y no adyacentes: 1. No adyacentes: * *Hay especies A62 2. Adyacentes: * *Hay especies A2A61; Entonces, el número de métodos de interpolación diferentes es: A62 +A22A61=42, así que elija A.
Ejemplo 7. (Examen nacional de ingreso a la universidad de 2003) Como se muestra en la figura, una región se divide en cinco regiones administrativas. Ahora el mapa está en color, lo que requiere que las regiones adyacentes no puedan usar el mismo color. Hay cuatro colores para elegir, entonces, ¿cuántas formas diferentes de colorearlo hay? (Respuesta con números)
Solución: El área 1 está adyacente a las otras cuatro áreas, y cada dos áreas está adyacente a las tres áreas. Se pueden pintar tres o cuatro colores. Hay = 24 formas de colorear con tres colores y = 48 formas de colorear con cuatro colores, por lo que * * * * hay 24 + 48 = 72 formas, y 72 deben completarse.
6. Problemas mixtos: primera y última disposición
Para problemas de aplicación mixta de permutación y combinación, se puede adoptar la estrategia de seleccionar elementos primero y luego ordenarlos.
Ejemplo 8. (Examen de ingreso a la universidad de Beijing de 2002) 12 estudiantes fueron a tres intersecciones diferentes para investigar el flujo de tráfico. Si hay 4 estudiantes en cada intersección, los diferentes planes de asignación serán ().
A.
C.
Solución: Este problema pertenece al problema de agrupación uniforme. Luego, los 12 estudiantes se dividieron en 3 grupos * * * Hay una manera. Tres intersecciones diferentes tienen diferentes planes de asignación. Hay: opciones, así que elige a.
Ejemplo 9. (Examen de ingreso a la Universidad de Beijing en 2003) Seleccione tres vegetales de los cuatro tipos de vegetales: pepino, col china, colza y lentejas, y plántelos en tres terrenos con diferentes texturas de suelo. Entre ellos, se deben plantar pepinos. los diferentes métodos de siembra son ().
A.24 especies B.18 especies C.12 especies D.6.
Solución: Seleccionar primero, luego organizar e implementar paso a paso. Según el significado de la pregunta, los diferentes métodos de selección son C32, los diferentes métodos de disposición son A31 A22, por lo que los diferentes métodos de plantación son A31 C32 A22 = 12, por lo que se debe seleccionar C.
Siete. Distribución de los mismos elementos - método de separación por deflectores
Ejemplo 10. Envíe 10 libros idénticos a tres salas de lectura para estudiantes numeradas 1, 2 y 3. La cantidad de libros asignados a cada sala de lectura no es menor que su número. Intenta encontrar el número de diferencias. Utilice tantos métodos como sea posible para resolver el problema y considere si estos métodos son aplicables a situaciones más generales.
Esta pregunta examina el problema de combinación.
Solución: Deje que las salas de lectura 2 y 3 obtengan 1 libro y 2 libros en secuencia; distribuya los siete libros restantes para garantizar que cada sala de lectura tenga al menos un libro, lo que equivale a siete libros idénticos. "Yoes" idénticos se insertan en los seis "espacios" entre los libros (generalmente considerados como "particiones").
* * * Hay 15 métodos de inserción.
En resumen, las ideas para resolver problemas verbales de permutación y combinación se pueden resumir de la siguiente manera: permutación y agrupación claras, suma y multiplicación claras; disposición ordenada, combinación desordenada significa suma y paso a paso; multiplicación.
Específicamente, suelen existir los siguientes métodos para resolver los problemas de aplicación de permutación y combinación:
(1) Tomar elementos como cuerpo principal, es decir, cumplir primero con los requisitos de elementos especiales, y luego considerar otros elementos.
(2) Centrarse en la selección del sitio, es decir, primero cumplir con los requisitos para la selección de sitios especiales y luego considerar otras selecciones de sitios.
(3) Sin considerar condiciones adicionales, calcule el número de permutaciones o combinaciones y luego reste el número de permutaciones y combinaciones no calificadas.
Estrategias para resolver problemas de permutación y combinación
Escuela secundaria superior Zhang No. 2, ciudad de Anlu, provincia de Hubei
El conocimiento de permutación y combinación se ha extendido ampliamente. utilizado en la práctica y dominando El conocimiento de permutaciones y combinaciones puede ayudarnos a resolver muchos problemas de aplicaciones prácticas en la producción y la vida. El problema de la permutación y combinación simultáneas siempre ha sido un problema de larga data. Por lo tanto, para comprender completamente el conocimiento de la permutación y combinación, es necesario resumir las reglas y métodos de permutación y combinación para resolver problemas.
En primer lugar, hablemos de las reglas generales de resolución de problemas de preguntas integrales de permutación y combinación:
1) Si se debe utilizar el "principio de conteo categórico" o el "principio de conteo de pasos". El principio de conteo paso a paso” depende de cómo completamos una tarea. La forma en que están las cosas. Podemos utilizar el "principio de conteo de clasificación" cuando se completa la clasificación y el "principio de conteo de pasos" cuando es necesario completarlo paso a paso. Entonces, ¿cómo determinar si es clasificación o paso a paso? "Clasificado" significa que cualquiera de ellos puede completar un evento determinado de forma independiente, mientras que "Progresivo" significa que se deben completar todos los pasos de un evento determinado. Por lo tanto, una comprensión precisa de los dos principios enfatiza que varios métodos para completar una cosa no interfieren entre sí, son independientes entre sí, se cruzan entre sí para formar un conjunto vacío y se integran en un conjunto completo. No importa qué método utilice, puede completar las cosas de forma independiente. El principio de conteo paso a paso enfatiza que todos los pasos son indispensables y que todos los pasos deben completarse para completar la tarea.
2) Las definiciones de permutaciones y combinaciones son similares, y su diferencia radica en si están relacionadas con el orden.
3) Los problemas de disposición complejos a menudo se visualizan mediante experimentos, dibujando "diagramas de árbol" y "diagramas de bloques" para encontrar soluciones. Debido a que es difícil probar la exactitud de los resultados, a menudo es necesario utilizar diferentes métodos para obtener la prueba.
4) Clasificar según la naturaleza de los elementos y proceder paso a paso según la continuidad de los eventos son los métodos de pensamiento básicos para abordar problemas de permutación y combinación. Preste atención al significado de palabras restrictivas como. "al menos, como máximo".
5) La idea general es seleccionar elementos (combinación) primero, luego ordenarlos, "clasificarlos" según las propiedades de los elementos y "paso a paso" según el proceso de eventos. Es siempre el principio básico y el principio para tratar problemas de disposición y método de combinación. A través de la capacitación en resolución de problemas, preste atención a acumular y dominar las habilidades básicas de clasificación y paso a paso, asegurando que cada paso sea independiente, de modo que los estándares de clasificación sean claros, los pasos sean claros y no haya repetición o omisión.
6) Al resolver problemas integrales de permutación y combinación, debe tener un conocimiento profundo del concepto de permutación y combinación, ser capaz de clasificar hábilmente el problema y tener en cuenta la fórmula de los números de permutación y combinación. y las propiedades de los números de combinación. Los errores comunes son la duplicación y la omisión de recuentos.
En resumen, las reglas básicas para resolver problemas de permutación y combinación son: suma categórica, multiplicación paso a paso, permutación y agrupación clara, suma y multiplicación clara, combinación desordenada cuando es difícil; hacer lo contrario y eliminar indirectamente.
En segundo lugar, al comprender las características y leyes esenciales del problema, utilice de manera flexible principios y fórmulas básicos para analizar y resolver, y preste atención a algunas estrategias y métodos de resolución de problemas, de modo que algunos problemas aparentemente complejos puedan resolverse. resolverse fácilmente. A continuación se muestran algunos métodos y estrategias de resolución de problemas de uso común.
1. "Método de priorización" de elementos (posiciones) especiales: Para la disposición y combinación de elementos (posiciones) especiales, generalmente se consideran primero los elementos (posiciones) especiales y luego los demás.
Ejemplo 1. Usa los cinco números 0, 2, 3, 4 y 5 para formar un número de tres dígitos sin repetir los números pares * * * tienen ().
A.24 B.30 C.40 D.60
[Análisis] Debido a que el número de tres dígitos es un número par, el número al final debe ser un número par , y debido a que 0 no se puede organizar primero, 0 es uno de los elementos "especiales" y se le debe dar prioridad. Se puede dividir en dos categorías: 0 al final y 0 al final: 1) A42 está al final de la línea 0, 2) C21A38 no está al final.
2. Método de eliminación total: Para las emisiones negativas se podrán eliminar del total las no calificadas. Por ejemplo, en el caso de 1, este método también se puede utilizar para resolver: hay un A53 en la disposición completa de cinco números que forman un número de tres dígitos. Después de ordenar, se descubrió que 0 no puede clasificarse en primer lugar y que los números 3 y 5 no pueden clasificarse en último lugar. Estas dos permutaciones deben excluirse, por lo que hay A53-3A42+C21A31 = 30 números pares.
3. Realizar una clasificación razonable y una clasificación precisa paso a paso de los problemas de permutación y combinación restringida, clasificarlos paso a paso según la naturaleza de los elementos y el proceso continuo de las cosas, para Logre estándares de clasificación claros y una jerarquía paso a paso. Claro, no pesado ni con fugas.
4. Método de vinculación para problemas adyacentes: al resolver problemas que requieren que ciertos elementos sean adyacentes, primero considere todo el problema y "vincule" los elementos adyacentes en un elemento "grande" y organícelo con otros elementos. considere métodos vinculantes.
Ejemplo 2, hay 8 libros diferentes; incluidos 3 libros de matemáticas, 2 libros de idiomas extranjeros y 3 libros de otras materias. Si estos libros están dispuestos en una fila en la estantería y los libros de matemáticas también están dispuestos juntos, entonces hay () formas de organizar los libros extranjeros juntos. (Resultados expresados como valores numéricos)
Solución: "agrupar" tres libros de matemáticas como un libro grande y "agrupar" dos libros de idiomas extranjeros como un libro grande. Junto con los otros tres libros, se lo considera los Cinco Elementos. * * * Hay una disposición A55; los otros tres libros de matemáticas están en una disposición A33 y los dos libros de idiomas extranjeros están en una disposición A22. Según el principio de conteo de pasos, * * * existe un método de clasificación A55 A33 A22 = 1440 (tipos).
Nota: Cuando utilice el método de vinculación para resolver problemas de permutación y combinación, debe prestar atención al orden interno de "vincular" elementos grandes.
5. El "método de interpolación" se utiliza para problemas no adyacentes: los problemas no adyacentes significan que algunos elementos no pueden ser adyacentes y están separados por otros elementos. Para resolver este problema, primero puede organizar otros elementos y luego insertar los elementos no adyacentes especificados en los espacios y posiciones en ambos extremos, lo que se denomina interpolación.
Ejemplo 3: Usa 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 para formar un número de ocho dígitos sin números repetidos. Se requiere que 1 y 2 sean adyacentes, 2 y 4 sean adyacentes, 5 y 6 sean adyacentes y 7 no sea adyacente a 8. Hay números de ocho dígitos como () * *. (Respuesta con números)
Solución: Dado que se requiere que 1 y 2 sean adyacentes y 2 y 4 son adyacentes, los tres números 1, 2 y 4 se pueden unir para formar un elemento grande. Esto solo 2 se pueden organizar en el medio del elemento grande, y 1 y 4 se pueden organizar en ambos lados, por lo que hay A22 formas de organizar el elemento grande, y luego 5 y 6 se pueden unir en un elemento grande. Organice estos tres elementos primero. * * * Hay 33 arreglos, y luego selecciona dos de los espacios formados por los tres elementos dispuestos al frente y las cuatro posiciones en ambos extremos de * * *, e inserta los números 7 y 8 que no son adyacentes entre sí. * * * Hay métodos de inserción A42, por lo que los ocho bits calificados * * son A22A3A342 = 288 (tipos).
Nota: Al utilizar la interpolación para resolver problemas no adyacentes, preste atención a si la posición a insertar incluye ambos extremos.
6. Utilice "división" para arreglar el orden: para problemas en los que ciertos elementos están organizados en un orden determinado, primero puede organizar estos elementos con otros elementos y luego dividir el número total de arreglos por el número de estos elementos Número total de permutaciones.
Ejemplo 4: Se alinean seis personas, A, B y C en el orden "A-B-C". ¿Cuántas formas hay de hacer cola?
Análisis: independientemente de las condiciones adicionales, existen métodos de cola A66 y solo uno de los métodos de cola A33 de A, B y C cumple con los requisitos. Entonces hay A66 ÷A33 =120 permutaciones que cumplen las condiciones. (o A63)
Ejemplo 5. Cuatro niños y tres niñas no tienen la misma altura. Ahora, alinéelos en una fila y pídales a las niñas que los ordenen de bajo a alto, de izquierda a derecha. ¿Cuántas permutaciones hay?
Solución: Primero, cuatro de los siete puestos se dan a niños, y hay un arreglo de A74. Los tres puestos restantes se dan a niñas, y solo hay un arreglo, por lo que hay un arreglo. de la A74. (También puede ser A77 ÷A33)
7. Utilice el "método de disposición directa" para resolver el problema de organizar varios elementos en varias filas, y puede utilizar el método de disposición unificada.
Ejemplo 6. Siete personas se sientan en dos filas, tres en la primera fila y cuatro en la segunda fila. ¿Cuántas posiciones diferentes para sentarse hay?
Análisis: Siete personas pueden sentarse en las dos primeras filas como quieran. No hay otras condiciones, por lo que las dos filas pueden tratarse como una sola, y hay 77 formas diferentes de sentarse.
Ocho.
Método de prueba elemento por elemento: cuando aumentan las condiciones adicionales en las preguntas y los puntos difíciles se resuelven directamente, las reglas se encuentran gradualmente mediante experimentos.
Ejemplo 7. Llena los cuadrados con los números 1, 2, 3, 4 y 1 en cada cuadrado. El número de métodos de llenado para diferentes números en el cuadrado es ().
A.6 B.9 C.11 D.23
Solución: La primera caja puede contener 2 o 3 o 4. Si el primer cuadro se llena con 2, el segundo cuadro se puede llenar con 1, 3 o 4. Si el segundo cuadro se completa con 1, entonces los dos últimos cuadros tienen solo un método. Si el segundo cuadro se llena con 3 o 4, entonces solo hay una forma de llenar los dos últimos cuadros. Hay nueve formas de completar A * * *, elija b.
9. Modelo estructural "Método de partición"
Para problemas de disposición complejos, podemos diseñar otro escenario y construir un modelo de partición para resolver el problema.
Ejemplo 8. ¿Cuántas soluciones enteras positivas tiene la ecuación a+b+c+d=12?
Análisis: establezca un modelo de deflector: coloque 12 bolas idénticas en una fila, inserte aleatoriamente 3 deflectores en los espacios entre ellas y divida las bolas en 4 pilas. El número de bolas de cada pila obtenido por cada división corresponde a un conjunto de soluciones enteras positivas de A, B, C y D, por lo que el número de conjuntos de soluciones enteras positivas de la ecuación original.
Otro ejemplo es el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación a+b+c+d=12, que se pueden resolver usando este método.
10. Si tiene dificultades, utilice el método de eliminación inversa.
Para las preguntas de combinación y permutación "más" o "menor", si la respuesta directa requiere una discusión compleja, puede hacerlo. considere "El método de" eliminación general "es eliminar permutaciones y combinaciones no calificadas en el grupo, calculando así el número de permutaciones y combinaciones calificadas.
Ejemplo 9. Seleccione aleatoriamente 3 televisores de 4 televisores tipo A y 5 televisores tipo B, entre los cuales hay al menos 1 televisor tipo A y 1 televisor tipo B, de modo que existan () diferentes métodos de selección.
A.140 especies B.80 especies C.70 especies D.35 especies.
Solución: Entre las tres estaciones extraídas, ninguna contiene A o no cumple con el significado de la pregunta, por lo que el método de extracción que cumple con el significado de la pregunta es C93-C43-C53=70 ( ), entonces C.
Nota: Este método es adecuado para ejercicios con situaciones negativas claras y cálculos simples.
XI. Método de exploración paso a paso: los problemas con situaciones complejas y patrones difíciles de descubrir requieren un análisis y una exploración cuidadosos.
Ejemplo 10, del 1 al 100, si se sacan dos números diferentes a la vez para que la suma sea mayor que 100, ¿cuántos números diferentes se sacan?
Solución: En la suma de dos números, el número menor es el sumando, 1+100 > cuando 100 y 1 son sumandos, quedan 1 y 2 como sumandos,..., 49 es el sumando, 50 es el sumando, pero 51 es el sumando, 48 es el sumando, ..., 99.
Doce. Correspondencia uno a uno:
Por ejemplo: 11. ¿Cuántos juegos se necesitarán para realizar una ronda eliminatoria de una sola vuelta entre 100 jugadores (es decir, salir del juego después de fallar) para finalmente producir un campeón?
Solución: Para producir un campeón se deben eliminar todos los jugadores excepto el campeón, es decir, se deben eliminar 99 jugadores y se debe eliminar 1 jugador, por lo que hay 99 juegos.
Cabe señalar que el método anterior es un método común para resolver problemas generales de permutación y combinación, pero no es absoluto. Matemáticas es un curso muy flexible y, a veces, existen múltiples soluciones para el mismo problema. En este momento, es necesario pensar y analizar detenidamente y elegir el mejor método con flexibilidad. También existen "clasificación", "alineación", "método de igual probabilidad" y similares para problemas multivariados, que no entraré en detalles aquí.
Problema de probabilidad de combinación y permutación de matemáticas de secundaria ~Solución: La combinación numérica de A, B y C solo puede ser (2, 1, 1) (1) 3 partes, todas organizadas en 3x2x1 = 6 (2), la combinación general de dos personas es [(4x3)/(2x62).
¿Cuáles son las técnicas de respuesta para permutaciones y combinaciones matemáticas? Tu pregunta es muy vaga.
Para permutaciones y combinaciones, solo necesitas comprender una cosa: orden o desorden (es decir, si cambiar el orden conducirá a resultados diferentes). Para distinguir si deben estar ordenadas o combinadas)
Luego, para cada pregunta, puedes utilizar el método paso a paso correspondiente (dibuja primero y luego subraya). )
Enumeración (la más estúpida...
Adecuado para lotes pequeños)
Convierta su pensamiento (por ejemplo, si ordena las cinco tarjetas 1 2 34 4 4, ¿cuántos arreglos diferentes se pueden usar para convertir su pensamiento en el intervalo formado insertando 1 2? 3 en 44 respectivamente. Piénselo ~.
También podemos suponer que es 1 2 3 4 5. ¿Cuántos tipos hay)
En general? Ver más. No importa cuánto digas aquí, todo son palabras vacías. Simplemente practique más y lea más preguntas. .
¿Permutación y combinación, ejemplos de probabilidad y análisis específicos, habilidades para resolver problemas? Terminé el libro de matemáticas de secundaria, está muy claro, puedes leerlo tú mismo.
¿Por qué los problemas de matemáticas son tan difíciles? Memoriza fórmulas para preguntas de matemáticas y haz más preguntas. Si tiene preguntas incorrectas, debe revisar los puntos de conocimiento que son insuficientes. Simplemente lea más.