¿Qué es la transformada de Laplace?
?La definición de la transformada de Laplace La transformada de Laplace es una transformación matemática integral. Su núcleo es conectar la función de tiempo f(t) con la función variable compleja F(s). en problemas complejos en el dominio de la frecuencia, y las ecuaciones diferenciales de alto orden en el dominio del tiempo se transforman en álgebra en el dominio de la frecuencia.
La solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden: y'+p(x)y=g(x).
Una ecuación diferencial de la forma y'+P(x)y=Q(x) se llama ecuación diferencial lineal de primer orden y Q(x) se llama término libre. Primer orden significa que la derivada de Y en la ecuación es una derivada de primer orden. Lineal significa que el exponente de cada término de la ecuación simplificada con respecto a yey' es 1. La solución de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden generalmente utiliza el método de variación constante, que fue descubierto por el famoso matemático francés Lagrange.
La solución general de la ecuación diferencial lineal de primer orden se puede obtener mediante el método de variación constante: primero resuelva la ecuación homogénea correspondiente a la ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden y cambie la constante en la solución general obtenida en una función desconocida. Para encontrar esta función desconocida, la solución que contiene la función desconocida se sustituye en la ecuación original para resolver la función desconocida, obteniendo así la solución general de la ecuación original.
Las ecuaciones diferenciales se refieren a expresiones relacionales que contienen funciones desconocidas y sus derivadas. Resolver ecuaciones diferenciales consiste en encontrar funciones desconocidas. Se desarrollaron ecuaciones diferenciales junto con el cálculo. Newton y Leibniz, los fundadores del cálculo, abordaron cuestiones relacionadas con las ecuaciones diferenciales en sus obras.
Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas y pueden resolver muchos problemas relacionados con las derivadas. Muchos problemas de cinemática y dinámica que involucran fuerzas variables en física, como el movimiento de caída de la resistencia del aire en función de la velocidad, se pueden resolver mediante ecuaciones diferenciales. Además, las ecuaciones diferenciales tienen aplicaciones en campos como la química, la ingeniería, la economía y la demografía.
Origen y Desarrollo
El origen de la investigación de ecuaciones diferenciales: Sus fuentes de investigación son extremadamente amplias y tienen una larga historia. Cuando Newton y G.W. Leibniz crearon las operaciones diferencial e integral, señalaron su reciprocidad. De hecho, esto resolvió el problema de resolver la ecuación diferencial más simple y'=f(x). Cuando la gente utiliza el cálculo para estudiar problemas planteados por la geometría, la mecánica y la física, surgen grandes cantidades de ecuaciones diferenciales.
El propio Newton había resuelto el problema de los dos cuerpos: el movimiento de un solo planeta bajo la atracción gravitacional del sol. Idealizó ambos objetos en puntos de partículas y obtuvo tres ecuaciones de segundo orden de tres funciones desconocidas. Cálculos simples demostraron que el problema se puede transformar en un problema plano, es decir, dos ecuaciones diferenciales de segundo orden de dos funciones desconocidas. Utilizando un método llamado "primera integración", el problema de resolverlo queda completamente resuelto.