¿Cuál es el significado geométrico de la integral doble?
El significado geométrico de la integral definida es el área dirigida del trapecio curvo, y el significado físico es la distancia de un movimiento lineal de velocidad variable o el trabajo realizado por una fuerza variable.
El significado geométrico de la integral doble es el volumen direccional del cilindro superior curvo, y el significado físico es la presión agregada al área plana (la presión es variable).
Propiedades lineales de las integrales:
Propiedad 1 (Aditividad integral) La integral doble de la suma (diferencia) de una función es igual a la suma (diferencia) de las integrales dobles de cada función
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Propiedad 2 (la integral satisface la multiplicación) el factor coeficiente constante del integrando se puede mencionar como propiedad comparativa fuera del signo integral:
Propiedad 3 Si f (x, y) ≦ en el área D Evaluabilidad de g(x, y): Propiedad 4 Sean M y m los valores máximo y mínimo de la función f(x, y) respectivamente en el área cerrada acotada D, y σ es el área del área D. Propiedad 5 Si en el área cerrada D, f (x, y) = k (k es una constante), y σ es el área de D, entonces Sσ = k∫∫dσ = kσ.
Teorema del valor medio integral doble: Supongamos que la función f (x, y) es continua en la región cerrada acotada D, y σ es el área de la región, entonces hay al menos un punto (ξ, η) en D.
Método de solución
La integral doble, al igual que la integral definida, no es una función, sino un valor numérico. Por lo tanto, si una función continua f (x, y) contiene una integral doble, integrándola dos veces se puede resolver el valor específico de la integral doble.
El área integral D es el área encerrada por .
La integral doble es una constante, sea A. Haz una integral definida doble sobre la región de integración D en ambos lados de la ecuación.
Entonces la expresión específica de esta función es: f (x, y) = xy+1/8 El lado derecho de la ecuación es el valor integral doble A, y el lado izquierdo de la ecuación es. Según la propiedad 5, se puede reducir a la constante A multiplicada por 1/3 del área de la región de integración, y la ecuación que contiene la integral doble se puede reducir al número desconocido A para resolver.
Supongamos que Ω es un área cerrada acotada del espacio, y f (x, y, z) es continua en Ω.
(1) Si Ω es simétrica con respecto a xOy (o xOz o yOz), y f (x, y, z) es una función impar con respecto a z (o y o x)
( 2) Si Ω es simétrico con respecto a xOy (o xOz o yOz), Ω1 es la parte de Ω en un lado del plano coordenado correspondiente, y f (x, y, z) es una función par con respecto a z (o y o x)
(3) Si Ω y Ω' son simétricos con respecto al plano y=x