¿Qué es una ecuación diferencial total?

Introducción

Las ecuaciones diferenciales totales son un tipo de ecuaciones diferenciales ordinarias que se utilizan ampliamente en física e ingeniería.

Edite la definición de este párrafo

Dado un subconjunto abierto simplemente conexo D de R2 y dos funciones continuas I y J en D, entonces la constante de primer orden de la siguiente forma Diferencial ecuación:

Se llama ecuación diferencial total. Si existe una función F continuamente diferenciable, se llama función potencial, tal que:

El nombre "ecuación diferencial total". se refiere a la derivada total de una función. Para la función F(x0,x1,...,xn ? 1,xn), la derivada total es:

Editar este párrafo función potencial

En la aplicación de la física, I y J normalmente no sólo son continuos, sino también continuamente diferenciables. El teorema de Schwartz (también conocido como teorema de Clairo) proporciona una condición necesaria para la existencia de una función potencial. Para ecuaciones diferenciales definidas en conjuntos simplemente conexos, esta condición también es suficiente y derivamos el siguiente teorema:

Dada una ecuación diferencial de la siguiente forma:

donde I y J son continuamente diferenciable en el subconjunto abierto simplemente conexo D de R2, entonces la función potencial F existe si y sólo si se cumple la siguiente ecuación:

Edite la solución de este párrafo

Dado un total ecuación diferencial definida sobre un subconjunto abierto simplemente conexo D de R2, su función potencial es F, entonces la función diferenciable f en D es la solución de la ecuación diferencial si y sólo si existe un número real c, tal que:

Para el problema de valor inicial:

Podemos usar la siguiente fórmula para encontrar una función potencial:

Resuelve la ecuación:

donde c es un número real, todas las soluciones se pueden construir.

Referencia: Boyce, W. E. y DiPrima, R. C. Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera, 4ª ed. Nueva York: Wiley, 1986.

Ross, C. C. §3.3 en Ecuaciones diferenciales. Nueva York: Springer-Verlag, 2004.

Zwillinger, D. Ch. 62 en Handbook of Differential Equations San Diego, CA: Academic Press, 1997.