¿Cuál es el límite?
Límite de secuencia
Definición
Supongamos que |Xn| es una secuencia infinita. Si hay una constante a para cualquier número positivo dado ε (no importa cuán pequeño sea), entonces siempre hay un entero positivo n tal que cuando n >: todo Xn cuando n tiene la desigualdad xn-a |
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1. Unicidad: Si el límite de la secuencia existe y el valor límite es único, el límite de su subsecuencia es igual al límite de la secuencia original; 2. Acotación: si una secuencia {xn} converge (tiene un límite), entonces esta secuencia {xn} debe estar acotada. Sin embargo, si una serie es acotada, es posible que no converja. Por ejemplo, {xn}: 1, -1, -1,...(-1) n 1,...3 Preservación del número: si una serie {xn} converge. 0 (o a
El límite de secuencias comunes
Cuando n→∞, el límite de An=c es C = 1/n, an = x n (∣ x ∣ es menor que 1), el límite es 0.
Condiciones suficientes para la existencia del límite de secuencia de edición
Principio de sujeción
Existe una secuencia que satisface un ≤ bn ≤ cn y n ∈ z * { An}, {Bn} y {Cn}. Si lim An = lim Cn = a, entonces Limbn = a.
Teorema de convergencia monótona
La secuencia acotada monótona debe converger es una de las conclusiones importantes del sistema de números reales, y su aplicación importante es demostrar la existencia del límite lim (1 1/n) n】
Criterio de convergencia de Cauchy.
Supongamos que {Xn} es una secuencia A, y si ε > 0, existe N∈Z*. Siempre que N satisfaga N > n, entonces para cualquier entero positivo p, existe una serie {Xn). } como | x (n p) -xn | < ε. Llamada serie de Cauchy, esta estabilidad asintótica y convergencia son equivalentes entre sí
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Definición profesional.
Supongamos que la función f(x) está en el punto x, y hay una definición en la vecindad centrípeta de . Si hay una constante a, para cualquier número positivo dado ε (sin importar cómo. pequeño que es), el total Hay un número positivo δ, tal que cuando f(x) está infinitamente cerca de una cierta constante A cuando x→∞, entonces A se llama límite de la función f(x) cuando x tiende a ∞. Sea limf(x)=A, x→∞ 2. Configure la función y=f(x) definida cerca del punto A. Cuando x se acerca a A infinitamente (marcado como x→a), el valor de la función se acerca a a. cierta constante infinitamente, entonces A se llama límite de la función f(x) cuando x se aproxima a A infinitamente. Escribe lim f(x)=A, x → a. función
1: Si la función f (x) está a la izquierda de x desde el punto x = x0 Cuando el lado se acerca a x0, se acerca infinitamente a la constante a (es decir, x < x0), entonces a se llama límite izquierdo de la función f(x) en el punto x0, y se registra como x→x0-limf(x)=a 2: Si x del punto x se acerca a x0 = cuando x0) se acerca infinitamente al punto. x0, la función f(x) se aproxima infinitamente a la constante a, es decir, a es el límite derecho de la función f(x) en el punto x0, registrado como x → x0 LIMF ( x) = A. Nota: Si los lados izquierdo y Los límites derechos de una función en x(0) son diferentes, entonces la función no tiene límite en x(0).
Dos restricciones importantes
1, x→0, sin(x)/x →1 2, x→0, (1 x) 1/x → e o x →∞ , (1 1/.
Limitaciones funcionales de este párrafo de edición de algoritmos
Supongamos que existen lim f(x) y lim g(x), sea lim f (x) = a , lim g (x) = b, entonces existe el siguiente algoritmo.
Operaciones lineales
Suma y resta: lim (f (x) g (x)) = a Multiplicar b números: lim( c* f(x))= c * A (donde c es una constante).
Operaciones no lineales
Multiplicación y división: lim(f(x)* g(x))= a * B lim(f(x)/g(x))= a / B (donde B≠0) potencia: lim (f (x)) n = a n.
Edite la idea de limitación en este párrafo
Introducción
La idea de límite es una idea importante en la que se basa el análisis matemático. sobre el concepto de límite y teoría de límites (incluidas las series) es una disciplina que estudia las funciones como su principal herramienta. El llamado pensamiento límite hace referencia a una idea matemática que utiliza el concepto de límites para analizar y resolver problemas. Los pasos generales para resolver problemas usando el pensamiento límite se pueden resumir de la siguiente manera: para la cantidad desconocida que se está investigando, primero intente concebir una variable relacionada con ella y confirme que el resultado de esta variable a través del proceso infinito es finalmente la cantidad desconocida; , obtenga el resultado mediante el cálculo del límite. La idea de límite es la idea básica del cálculo. Una serie de conceptos importantes en el análisis matemático, como la continuidad de funciones, derivadas, integrales definidas, etc., se definen con la ayuda de límites. Si quiere preguntar "¿Cuál es el tema del análisis matemático?", se puede resumir en una frase: "El análisis matemático es una disciplina que utiliza el pensamiento extremo para estudiar funciones".
Generación y desarrollo
(1) Origen. Como todos los métodos de pensamiento científico, el pensamiento extremo también es producto de la práctica social. La idea de límites se remonta a la antigüedad. La técnica de corte de círculos de Liu Hui es una aplicación de ideas de límites primitivas basadas en la intuición. El método exhaustivo de los antiguos griegos también incluía la idea de límites. Sin embargo, debido al "miedo al infinito" de los griegos, obviamente evitaron "tomar el límite" y, en cambio, confiaron en la prueba indirecta, la reductio ad absurdum, para completar las pruebas relevantes. . En el siglo XVI, el matemático holandés Steven mejoró el método exhaustivo de los antiguos griegos en el proceso de examinar el centro de gravedad de un triángulo. Se basó en la intuición geométrica, utilizó audazmente el pensamiento extremo para pensar en problemas y abandonó la prueba de la ley de reducción. De esta manera, sin darse cuenta, "señaló la dirección para el desarrollo de métodos límite en conceptos prácticos". (2) El desarrollo posterior del pensamiento límite está estrechamente relacionado con el establecimiento del cálculo. En el siglo XVI, Europa se encontraba en la etapa incipiente del capitalismo y sus fuerzas productivas se desarrollaron enormemente. Un gran número de problemas de producción y tecnología no pueden resolverse únicamente con matemáticas elementales. Se requieren matemáticas para romper con el alcance tradicional de las constantes de investigación y proporcionar nuevas herramientas que puedan usarse para describir y estudiar el proceso de cambio de movimiento. Este es el trasfondo social que empuja los límites y establece el cálculo. Inicialmente, Newton y Leibniz establecieron el cálculo basándose en el concepto de infinitesimales. Posteriormente, por dificultades lógicas, todos aceptaron la idea de límites en distintos grados en sus últimos años. Newton usó la relación δ s/δ t del cambio en la distancia δ s al cambio en el tiempo δ t para representar la velocidad promedio del objeto en movimiento, de modo que δ t se aproxima a cero infinitamente, obteniendo así la velocidad instantánea del objeto, y de aquí la derivada y Conceptos de la teoría diferencial. Se dio cuenta de la importancia del concepto de límites e intentó utilizarlo como base para el cálculo. Dijo: “Si dos cantidades y sus proporciones permanecen iguales durante un tiempo finito y se acercan tanto antes del final de este tiempo que la diferencia es menor que cualquier diferencia dada, eventualmente se volverán iguales ". Pero el concepto de límites de Newton también se basaba en la intuición geométrica, por lo que no pudo obtener una expresión límite estricta. El concepto de límite de Newton sólo se acerca a la siguiente descripción en lenguaje intuitivo: "Si n aumenta infinitamente, an está infinitamente cerca de la constante A, entonces se dice que an tiene A como límite". La gente acepta fácilmente este lenguaje descriptivo y esta definición se utiliza a menudo en algunos lectores modernos de cálculo elemental. Sin embargo, esta definición no proporciona cuantitativamente la relación entre los dos "procesos infinitos" y no puede utilizarse como base lógica para la argumentación científica. Fue precisamente debido a la falta de definiciones estrictas de límites en ese momento que la teoría del cálculo fue puesta en duda y atacada. Por ejemplo, en el concepto de velocidad instantánea, ¿es δ t igual a cero? Si es cero, ¿cómo se puede utilizar para dividir? Si es distinto de cero, ¿cómo elimino los elementos que lo contienen? Ésta es la paradoja infinitesimal en la historia de las matemáticas. El filósofo y arzobispo inglés Becquerel fue muy violento en su ataque al cálculo.
Dijo que la derivación del cálculo era "un sofisma obvio". El feroz ataque de Becquerel al cálculo estaba, por un lado, al servicio de la religión, por otro lado, debido a que el cálculo en ese momento carecía de una base teórica sólida, ni siquiera el propio Newton pudo deshacerse de la confusión en el concepto de límites; . Este hecho muestra que comprender el concepto de límites y establecer una base teórica rigurosa del cálculo no sólo son necesarios para las matemáticas en sí, sino que también tienen una gran importancia epistemológica. (3) La perfección de la idea de límite perfecto está estrechamente relacionada con el rigor del cálculo. Durante mucho tiempo, muchas personas han intentado resolver el problema de los fundamentos teóricos del cálculo, pero no han logrado sus objetivos. Esto se debe a que el objeto de investigación de las matemáticas se ha expandido de constantes a variables, y las personas no tienen muy claras las leyes únicas de las matemáticas variables y todavía no comprenden las diferencias y conexiones entre las matemáticas variables y las matemáticas constantes y la unidad de los opuestos; entre finito e infinito aún no está claro. De esta manera, los métodos de pensamiento tradicionales de las personas para lidiar con las matemáticas constantes no pueden adaptarse a las nuevas necesidades de las matemáticas variables, ni pueden utilizar únicamente conceptos antiguos para explicar la relación dialéctica entre "cero" y "distinto de cero". En el siglo XVIII, Robbins, d'Alembert, Laurier y otros establecieron claramente que el límite debe ser el concepto básico del cálculo, y todos hicieron sus propias definiciones de límite. La definición de D'Alembert es: "Una cantidad es el límite de otra cantidad si la segunda cantidad está más cerca de la primera cantidad que cualquier valor dado", lo cual está cerca de la definición correcta de límite; sin embargo, no se puede escapar a las definiciones de estas personas. sobre la intuición geométrica. Esto sólo puede ser así porque la mayoría de los conceptos aritméticos y geométricos anteriores al siglo XIX se basaban en el concepto de cantidades geométricas. El matemático checo Bolzano fue el primero en dar la definición correcta de derivada utilizando el concepto de límite. Definió la derivada de la función f(x) como el límite f’(x) del cociente de diferencias δy/δx. Enfatizó que f’(x) no es el cociente de dos ceros. Las ideas de Bolzano eran valiosas, pero todavía no entendía la naturaleza de los límites. En el siglo XIX, el matemático francés Cauchy desarrolló plenamente el concepto de límite y su teoría basándose en el trabajo de sus predecesores. Señaló durante el análisis: "Cuando el valor de una variable se acerca infinitamente a un valor fijo, la diferencia entre el valor de la variable y el valor fijo es lo más pequeña posible. Este valor fijo se llama valor límite de todos los demás valores. Especialmente cuando la variable Cuando el valor (valor absoluto) de es infinito, Cauchy considera el infinitesimal como una variable con un límite de 0, aclarando la vaga comprensión del infinitesimal como "cero distinto de cero", es decir, en. En el proceso de cambio, su valor puede ser distinto de cero, pero su tendencia cambiante es "cero" y puede ser infinitamente cercana a cero. Cauchy intentó eliminar la intuición geométrica en el concepto de límite y aclarar la definición de límite, cumpliendo así. El deseo de Newton, sin embargo, todavía hay una "aproximación infinita" en la narrativa de Cauchy "Cuanto más pequeño, mejor" y otras palabras descriptivas, por lo que todavía hay rastros de intuición de la geometría y la física, pero no ha alcanzado el nivel de rigor completo. Para eliminar los rastros de intuición en el concepto de límite, Wilstrass propuso una definición estática de límite, que proporcionó una base para el cálculo. La llamada an=A significa: "Si hay ε>; 0. , siempre hay un número natural n, de modo que cuando n >; cuando n, la desigualdad |
Edita este y otros párrafos.
1.0.999999 ...= 1? (El siguiente párrafo no es una prueba, solo para entender - razón: El primer paso en la suma decimal es alinear los dígitos, es decir, saber cuál dígito para sumar, con qué dígito operar Lo siguiente agrega 0.33333... Alinear los puntos decimales con el punto decimal no garantiza los estándares anteriores, por lo que es imposible sumar infinitos decimales) Todo el mundo sabe que 1/3. 0,333333..., multiplica ambos lados por 3 para obtener 1 = 0,999999..., pero parece extraño porque hay un número "finito" a la izquierda y un número "infinito" a la derecha. 10× 0,999999...-1× 0,999999...= 9 = 9× 0,9999999...∴ 0,999999...= 1 segundo ¿Qué es un "número irracional"? Sabemos que un número como la raíz cuadrada de 2 no se puede representar mediante la relación de dos números enteros. Cada uno de sus dígitos debe determinarse mediante cálculos continuos y es infinito. Este número interminable va en gran medida en contra de los hábitos de pensamiento de las personas.
Combinado con algunas de las dificultades anteriores, la gente necesita urgentemente una forma de pensar para definir y estudiar este número "infinito", que dio lugar a la idea de límites de secuencia. Raíces similares todavía se encuentran en la física (de hecho, desde la perspectiva de la historia del desarrollo científico, la filosofía es la verdadera fuerza impulsora del desarrollo, pero la física ha desempeñado un papel incomparable en su promoción), como la cuestión de la velocidad instantánea. Sabemos que la velocidad se puede expresar mediante la relación entre la diferencia de desplazamiento y la diferencia de tiempo. Si la diferencia de tiempo tiende a cero, esta relación es la velocidad instantánea en un momento determinado. Esto plantea una pregunta: encuentre la relación entre la diferencia de tiempo y la diferencia de desplazamiento. Esta relación tiende a ¿Tiene sentido lo infinitesimal, es decir, 0÷0 (este significado se refiere al significado "analítico", porque el significado geométrico es bastante intuitivo, cuál es la pendiente de la recta tangente en este punto)? Esto también obligó a la gente a desarrollar una explicación racional para esto, y así nació la idea de los límites. Generalmente se cree que la definición de límite en el verdadero sentido moderno fue dada por Weierstrass, un profesor de matemáticas de escuela secundaria en ese momento, y es significativa para nuestros profesores de escuela secundaria de hoy. 3. El "círculo secante" de Liu Hui tiene un círculo con un radio de 1. Cuando solo conocemos el método de cálculo del área del lado recto, necesitamos calcular su área. Para hacer esto, primero inscribió un hexágono regular con área A1, y luego inscribió un dodecágono regular con área A2 y un cuadrilátero inscrito con área A3, duplicando así el número de lados. Cuando N aumenta infinitamente, An está infinitamente cerca del área de un círculo. Usó la desigualdad An 65438 para calcular el polígono de novena potencia de 3072 = 6 * 2. Un ltan 2[(an 1)-an](n = 1, 2, 3)...) obtiene pi =3927/1250, que es aproximadamente 3,1416.