¿Qué es un producto directo? ¿Qué es un producto cartesiano?
Producto cartesiano
Definición de nombre
Supongamos que el conjunto A={a, b} y el conjunto B={0, 1, 2}, entonces dos El producto cartesiano de los conjuntos es {(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}. Se puede ampliar a múltiples colecciones. Un ejemplo similar es si A representa el conjunto de estudiantes de una determinada escuela y B representa el conjunto de todos los cursos de la escuela, entonces el producto cartesiano de A y B representa todas las situaciones posibles de selección de cursos.
Propiedades de operación del producto cartesiano
Dado que las posiciones de xey en el par ordenado lt;x,ygt están determinadas, la notación de A×B también está determinada, no puede. escribirse como B×A
El producto cartesiano también se puede sintetizar a partir de múltiples conjuntos, A1×A2×…×An
Las propiedades operativas del producto cartesiano general no pueden. intercambiarse.
Producto cartesiano, combina los conjuntos A y B en el conjunto A×B, estipulando
A×B={lt;x,ygt;?x?A y? B}
Proceso de derivación
Dado un conjunto de dominios D1, D2,..., Dn, puede haber lo mismo en estos dominios. El producto cartesiano de D1, D2,…,Dn es:
D1×D2×…×Dn=｛(d1,d2,…,dn)｜di?8?3Di, i=1,2 ,...,n}
Una combinación de todos los valores en todos los campos no se puede repetir
El ejemplo proporciona tres campos:
D1=SUPERVISOR ={ Zhang Qingmei , Liu Yi}
D2=ESPECIALIDAD={Especialidad en informática, especialización en información}
D3=POSGRADO={Li Yong, Liu Chen, Wang Min}
Entonces el producto cartesiano de D1, D2 y D3 es D:
D=D1×D2×D3 =
{(Zhang Qingmei, estudiante de Ciencias de la Computación, Li Yong), (Zhang Qingmei, especialista en informática, Liu Chen),
(Zhang Qingmei, especialista en informática, Wang Min), (Zhang Qingmei, especialista en información, Li Yong),
(Zhang Qingmei, especialización en información, Liu Chen), (Zhang Qingmei, especialización en información, Wang Min),
(Liu Yi, especialización en informática, Li Yong), (Liu Yi, especialización en informática, Liu Chen ),
(Liu Yi, especialización en informática, Wang Min), (Liu Yi, especialización en información, Li Yong),
(Liu Yi, especialización en información, Liu Chen), ( Liu Yi, especialista en información, Wang Min) ｝
De esta manera, cada elemento de los tres conjuntos D1, D2 y D3 se combina correspondientemente para formar un gran grupo de conjuntos.
En este ejemplo, habrá 2X2X3 elementos en D. Si un conjunto tiene 1000 elementos y hay 3 de esos conjuntos, el nuevo conjunto compuesto por su producto cartesiano alcanzará los mil millones de elementos. Si un conjunto es infinito, entonces el nuevo conjunto tendrá infinitos elementos.
Pareja ordinal y producto cartesiano
En la vida diaria muchas cosas aparecen de dos en dos, y las cosas que aparecen de dos en dos tienen un orden determinado. Por ejemplo, arriba, abajo; izquierda, derecha; 3 <4; Zhang Hua es más alto que Li Ming; China está ubicada en las coordenadas de los puntos en el plano, etc. En términos generales, dos objetos con un orden fijo forman un par de secuencia, que a menudo expresa la relación entre los dos objetos. Denotado como 〈x, y〉. Cada uno de los ejemplos anteriores se puede expresar como 〈arriba, abajo〉; 〈izquierda, derecha〉; 〈3, 4〉; 〈Zhang Hua, Li Ming〉;
Un par ordenado puede considerarse como un conjunto con dos elementos. Pero lo que lo diferencia de los conjuntos generales es que los pares tienen un orden definido. En el conjunto {a, b} = {b, a}, pero el orden par 〈a, b〉 ≠ 〈b, a〉.
Sean x e y objetos arbitrarios, llame al conjunto {{x}, {x, y}} un grupo ordenado binario, o pares ordenados, abreviado como lt;
Llame a x el primer componente de lt;x,ygt; y llame a y el segundo componente.
Definición 3-4.1 Para cualquier par ordenado lt; a, bgt , lt; c, d gt , lt; a, bgt; c y b = d.
Defina de forma recursiva el grupo de secuencia n-ario lt; a1,..., angt;
lt; a1, a2gt; ={{a1}, {a1, a2}} /p>
lt; a1, a2, a3 gt; = {{a1, a2}, {a1, a2, a3}}
= lt; gt;
lt;a1,…angt; = lt;lt;a1,…an-1gt;, angt;
Dos grupos n-arios son iguales
lt ; a1,…an gt; = lt; b1,…bn gt;?(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
Definición 3-4.2 Para cualquier conjunto A1, A2 , …, An,
(1) A1×A2, llamado producto cartesiano del conjunto A1 y A2, se define como
A1 ×A2={x $u $ v(x = lt; u, vgt; ∧u ?A1∧v?A2)｝=｛lt; u, vgt | u ?A1∧v?A2}
(2) A1 definido de forma recursiva; × A2× … × An
A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An
Ejemplo 1 Si A={α, β }, B={1, 2, 3}, encuentre A×B, A×A, B×B y (A×B)?(B×A).
Solución A×B={〈α,1〉,〈α,2〉,〈α,3〉,〈β,1〉,〈β,2〉,lt;β,3〉}
B×A={〈1,α〉,〈1,β〉,〈2,α〉,〈2,β〉,〈3,α〉,〈3,β〉}
p>
A×A={〈α,α〉,〈α,β〉,〈β,α〉,〈β,β〉}
B×B= {〈1,1 〉,〈1,2〉,〈1,3〉,〈2,1〉,〈2,2〉,〈2,3〉,〈3,1〉,〈3,2〉,〈 3,3〉}
(A×B)?(B×A)=?
Del ejemplo 1 podemos ver que (A×B)?(B×A) =?
Estamos de acuerdo en que si A=? o B=?, entonces A×B=?.
De la definición de Descartes:
(A×B)×C={〈〈a, b〉, c〉|(〈a, b〉∈A×B) ∧ (c∈C)}
={〈a, b, c〉|(a∈A)∧(b∈B)∧(c∈C)}
A × (B×C)={〈a,〈b,c〉〉|(a∈A)∧(〈b,c〉∈B×C)}
Desde 〈a,〈b, c 〉〉no es un triple, entonces
(A×B)×C ≠A×(B×C)
Teorema 3-4.1 Sean A, B, C cualquier conjunto , * representa la operación ?, ? o –, entonces se llega a las siguientes conclusiones:
El producto cartesiano se puede dejar asignado para operaciones de unión e intersección. Es decir:
A×(B*C)=(A×B)*(A×C)
El producto cartesiano se puede distribuir por la derecha para operaciones de unión e intersección.
Es decir:
(B*C) ×A=(B×A)*(C×A)
¤ Cuando * representa ?, la prueba de la conclusión (1) es de la siguiente manera: (Discute el método narrativo)
Primero prueba A×(B ? C)?(A×B) ? (A×C) A partir de lt;x,ygt;∈A×(B). ?C), Se deduce que lt; >
A partir de lt?, la idea de prueba de la conclusión (2): (algoritmo de predicado) Consulte la página P-103. ¤
Teorema 3-4.2 Supongamos que A, B, C son conjuntos cualesquiera. Si C ≠ F, entonces se llega a la siguiente conclusión:
A?B?(A×C ? B× C) ? (C×A?C×B) ¤
Idea de demostración para la primera mitad del teorema: (algoritmo de predicado)
Primera prueba A?B ? A×C?B ×C)
Con A?B como condición, partiendo de lt;x, ygt;∈A×C, se puede deducir quelt (A×C?B×C) ) Conclusión.
Demuestre nuevamente (A×C ?B×C) ? A?B
Con C≠F como condición, comenzando desde x∈A, para y∈C, use ? Fórmula adicional, derivar x∈B
Se llega a la conclusión (A?B). Consulte la página P-103. ¤
Teorema 3-4.3 Supongamos que A, B, C y D son cuatro conjuntos cualesquiera no vacíos, entonces se llega a la siguiente conclusión:
A×B ? necesario y suficiente La condición es A? C, B?
¤ Idea de prueba: (algoritmo de predicado)
Primero prueba la suficiencia: A×B ? C, B ? D
Para cualquier x∈A, y∈B, a partir de lt;x, ygt;∈A×B, use la condición A×B, lt;x, ygt;∈ C×D, se deduce que x∈C, y∈D.
Demuestre la necesidad nuevamente: A? C, B? D ?A×B? C×D
Para cualquier x∈A, y∈B, a partir de lt;x, de ygt;∈A×B, podemos deducir lt;x, ygt;∈C×D.
El producto de Descartes también se llama producto directo. Supongamos que A y B son dos conjuntos cualesquiera. Tome cualquier elemento x del conjunto A y tome cualquier elemento y del conjunto B para formar un par ordenado (x, y). de ellos se llama producto directo del conjunto A y el conjunto B, denotado como A×B, es decir, A×B={(x, y)|x∈A and y∈B}.