¿Qué es la geometría?
La geometría, como la aritmética, surge de la práctica. También se puede decir que la historia de la geometría es similar a la de la aritmética. En la antigüedad, la gente acumuló en la práctica una gran cantidad de conceptos como plano, línea recta, cuadrado, círculo, largo, corto, segmento, estrecho, grueso y delgado, y gradualmente se dio cuenta de la relación, la relación posicional y la relación cuantitativa entre estos conceptos. , estos conceptos más tarde se convirtieron en los conceptos básicos de la geometría.
Los conceptos geométricos originales formaron gradualmente un conocimiento geométrico relativamente superficial, que es necesario para la práctica de producción. Aunque este conocimiento es disperso y mayoritariamente empírico, la geometría se basa en este conocimiento disperso, empírico y superficial de la geometría.
La geometría es una de las ramas más antiguas de las matemáticas y una de las más fundamentales en su campo. La antigua China, la antigua Babilonia, el antiguo Egipto, la antigua India y la antigua Grecia son importantes lugares de nacimiento de la geometría.
Un gran número de reliquias culturales desenterradas demuestran que en el período prehistórico de China, la gente dominaba una gran cantidad de conocimientos básicos de geometría. Una mirada a los muchos patrones simétricos exquisitos dibujados en los objetos utilizados por los pueblos antiguos, así como a algunas vasijas de diseño simple que prestan atención al volumen y las proporciones del volumen, es suficiente para mostrar cuán rico era el conocimiento geométrico que tenía la gente en ese momento.
El trabajo de los eruditos griegos jugó un papel clave a la hora de hacer de la geometría una disciplina sistemática. Hace más de dos mil años, la antigua Grecia tenía un comercio próspero y una producción relativamente desarrollada. Un grupo de académicos deseosos de perseguir el conocimiento científico, y el estudio de la geometría era el contenido más interesante. Aquí se menciona la contribución del filósofo Platón y del filósofo Aristóteles al desarrollo de la geometría.
Platón introdujo el método de pensamiento de la lógica en la geometría, de modo que el conocimiento geométrico original se desarrolló gradualmente en una dirección sistemática y rigurosa bajo la guía de la lógica. Platón enseñó geometría a sus alumnos en Atenas y utilizó el razonamiento lógico para demostrar algunas de las proposiciones de la geometría. Aristóteles es reconocido como el fundador de la lógica y su método de razonamiento silogístico deductivo tuvo una gran influencia en el desarrollo de la geometría. Hasta el día de hoy, los silogismos todavía se utilizan para razonar en geometría elemental.
Sin embargo, a pesar del rico conocimiento de la geometría en ese momento, este conocimiento todavía estaba disperso, aislado y asistemático. Fue el destacado matemático griego Euclides quien verdaderamente resumió la geometría en un tema teóricamente riguroso.
Euclides fue a Alejandría a enseñar alrededor del año 300 a.C. Es un educador respetado, gentil y honesto. Amaba las matemáticas y conocía algunos de los principios de geometría de Platón. Recopiló con gran detalle todos los hechos geométricos que se podían conocer en ese momento, compiló un riguroso conjunto de teorías de acuerdo con los métodos de razonamiento lógico propuestos por Platón y Aristóteles, y escribió una de las primeras obras maestras de la historia de las matemáticas: "Elementos de Geometría".
La gran importancia histórica de "Elementos de Geometría" es que fue el primer modelo en utilizar métodos axiomáticos para establecer un sistema matemático deductivo. En este libro, todo el conocimiento geométrico se desarrolla y describe a partir de supuestos iniciales de división y razonamiento lógico. En otras palabras, la geometría se ha convertido verdaderamente en una materia con un sistema teórico y métodos científicos relativamente rigurosos desde la publicación de "Elementos de geometría".
"Elementos de Geometría" de Euclidiano
"Elementos de Geometría" de Euclidiano tiene trece volúmenes El primer volumen habla de las condiciones para la congruencia de los triángulos. La relación entre lados y ángulos. la teoría de líneas paralelas, las condiciones para productos iguales (áreas iguales) de triángulos y polígonos; el segundo volumen habla de cómo convertir triángulos en cuadrados con productos iguales; el tercer volumen habla de círculos; el cuarto volumen trata de polígonos inscritos y circunscritos; el Libro Sexto trata de la teoría de polígonos semejantes; los Libros Quinto, Siete, Ocho, Nueve y Diez describen la teoría de proporciones y ganancias aritméticas y finalmente se describe el contenido de la geometría sólida;
De estos contenidos se desprende que el contenido principal de geometría elemental en los cursos de secundaria se ha incluido completamente en elementos geométricos. Por lo tanto, la gente cree desde hace mucho tiempo que "Elementos de geometría" ha sido el libro de texto estándar para difundir el conocimiento de la geometría durante más de dos mil años. La geometría que es un elemento de la geometría se llama geometría euclidiana, o simplemente geometría euclidiana.
La característica más importante de "Elementos de Geometría" es el establecimiento de un estricto sistema geométrico, que incluye principalmente cuatro contenidos: definiciones, axiomas, postulados y proposiciones (incluidos métodos de dibujo y teoremas). El primer volumen de "Elementos de geometría" contiene 23 definiciones, 5 axiomas y 5 postulados. (El último postulado es el famoso postulado de las paralelas, o el quinto postulado. Desencadenó la discusión más famosa sobre la teoría de las líneas paralelas en la historia de la geometría durante más de dos mil años y finalmente dio origen a la geometría no euclidiana).
Estas Definiciones, axiomas y postulados son la base de todo el libro "Elementos". A partir de estas definiciones, axiomas y supuestos, todo el libro desarrolla de forma lógica sus distintas partes. Por ejemplo, cada teorema que aparece después explica lo que se sabe y lo que se verifica. Debemos realizar un razonamiento lógico basado en las definiciones, axiomas y teoremas anteriores y dar demostraciones cuidadosas.
En cuanto a los métodos de argumentación geométrica, Euclides propuso el análisis, la síntesis y la reductio ad absurdum. El llamado método analítico consiste en asumir que se ha obtenido lo requerido, analizar las condiciones establecidas en este momento y luego realizar los pasos de prueba; el método integral es partir de los hechos que se han probado anteriormente y deducir gradualmente; las cuestiones a probar el método de prueba por contradicción es retener la proposición Suponer una conclusión negativa, partir del lado opuesto de la conclusión y deducir resultados que contradigan los hechos probados o las condiciones conocidas, confirmando así que la conclusión de la La proposición original es correcta, también llamada prueba por contradicción.
El nacimiento de los "Elementos de la Geometría" de Euclides es de gran importancia en la historia del desarrollo de la geometría. Esto marca que la geometría se ha convertido en una disciplina con un sistema teórico y métodos científicos relativamente rigurosos.
Han pasado más de dos mil años desde que Euclides publicó "Elementos de Geometría". A pesar del rápido desarrollo de la ciencia y la tecnología, la geometría euclidiana sigue siendo un buen material didáctico para que los estudiantes de secundaria aprendan los conceptos básicos de las matemáticas.
Debido a que la geometría euclidiana tiene las características de una intuición clara y un método de deducción lógica estricto, se ha convertido en un buen material de enseñanza para que los adolescentes cultiven y mejoren su capacidad de pensamiento lógico en la práctica a largo plazo. No sé cuántos científicos a lo largo de la historia se han beneficiado del estudio de la geometría y han hecho grandes contribuciones.
Cuando era adolescente, Newton compró una copia de Geometry en un club nocturno cerca de la Universidad de Cambridge. Al principio, pensó que el contenido del libro no excedía el alcance del sentido común, por lo que no lo leyó en serio, sino que estaba muy interesado en la "Geometría coordinada" de Descartes y lo leyó con atención. Más tarde, Newton suspendió el examen de beca en abril de 1664. El Dr. Barrow, el examinador en ese momento, le dijo: "Debido a que tu conocimiento básico de geometría es tan pobre, no puedes hacerlo por mucho que lo intentes". Esta conversación sorprendió mucho a Newton. Luego, Newton estudió los "Elementos de la Geometría" de principio a fin, sentando una base matemática sólida para futuros trabajos científicos.
Einstein, la superestrella científica de la física moderna, también era un científico que dominaba la geometría y utilizaba métodos de pensamiento geométrico para crear su propio trabajo de investigación. Cuando Einstein recordó el camino que había recorrido, mencionó específicamente que cuando tenía doce años, "la claridad y confiabilidad de la geometría me dejaron una impresión indescriptible". Más tarde, el método de pensamiento geométrico realmente inspiró su trabajo. En repetidas ocasiones ha propuesto que en la investigación física los argumentos lógicos deben basarse en varios supuestos básicos de los llamados axiomas. En la teoría especial de la relatividad, Einstein utilizó esta forma de pensar para basar toda la teoría en dos axiomas: el principio de la relatividad y el principio de invariancia de la velocidad de la luz.
En la historia del desarrollo de la geometría, los "Elementos" de Euclides jugaron un papel histórico importante. Este papel se reduce a un punto: proponer los "fundamentos" de la geometría y su estructura lógica. En sus "Elementos", utilizó cadenas lógicas para desplegar toda la geometría, lo que no tenía precedentes.
Sin embargo, en la larga historia del conocimiento humano, por muy brillantes que sean sus predecesores y las celebridades, es imposible resolver todos los problemas. Debido a las limitaciones de las condiciones históricas, los problemas "básicos" de la geometría planteados por Euclides en "Elementos de geometría" no se han resuelto por completo y su sistema teórico no es perfecto. Por ejemplo, la definición de línea recta es en realidad una definición desconocida que explica otra definición desconocida. Dicha definición no desempeña ningún papel en el razonamiento lógico. Para otro ejemplo, Euclides utilizó el concepto de "continuidad" en el razonamiento lógico, pero nunca fue mencionado en "Elementos de geometría".
El sistema de axiomas de la geometría moderna
El descubrimiento de algunas lagunas y fallas en los resultados lógicos en "Elementos de geometría" es una oportunidad para promover el desarrollo continuo de la geometría. Finalmente, en el libro "Fundamentos de la geometría" publicado en 1899, el matemático alemán Hilbert propuso un sistema relativamente completo de axiomas geométricos basado en resumir el trabajo de sus predecesores. Este sistema de axiomas se llama axiomas de Hilbert.
Hilbert no sólo propuso un sistema geométrico completo, sino que también propuso los principios para establecer un sistema axiomático. Es decir, en un sistema de axiomas geométricos, qué axiomas deben usarse y cuántos axiomas deben incluirse deben considerarse desde los siguientes tres aspectos:
1 La existencia de * * * (armonía) se refiere a. que en un sistema de axiomas, todos los axiomas no deben ser contradictorios, deben ser armoniosos y existir en el mismo sistema.
En segundo lugar, la independencia. Cada axioma en el sistema de axiomas debe ser independiente e independiente entre sí. Ningún axioma puede derivarse de otros axiomas.
En tercer lugar, la completitud. Los axiomas contenidos en el sistema de axiomas deberían ser suficientes para probar cualquier proposición nueva en esta disciplina.
Este método de investigación de utilizar sistemas axiomáticos para definir objetos básicos y sus relaciones en geometría se ha convertido en el llamado "método axiomático" en matemáticas, propuesto por Euclides en "Elementos de geometría". método axiomático clásico.
El método axiomático aporta una nueva perspectiva a la investigación geométrica. En la teoría axiomática, debido a que los objetos básicos no están definidos, no es necesario explorar la imagen intuitiva de los objetos. Solo es necesario estudiar las relaciones y propiedades entre los objetos abstractos. Desde la perspectiva de las leyes axiomáticas, podemos usar arbitrariamente puntos, líneas y superficies para representar cosas específicas, siempre que estas cosas específicas satisfagan las relaciones de combinación, relaciones de secuencia y relaciones contractuales en los axiomas, de modo que estas relaciones satisfagan las disposiciones. del sistema de axiomas. Los requisitos constituyen la geometría.
Así, todos los elementos que se ajustan al sistema de axiomas pueden formar geometría. No existe sólo una imagen intuitiva de cada geometría, sino que pueden haber infinitas. A cada imagen intuitiva la llamamos interpretación geométrica o modelo geométrico. Las figuras geométricas familiares no son necesarias para aprender geometría, es solo una imagen intuitiva.
En este sentido, los objetos de la investigación de la geometría son más amplios y el significado de la geometría es más abstracto que en la época de Euclides. Estos han tenido un profundo impacto en el desarrollo de la geometría moderna.