¿Por qué hay sólo cinco clasificaciones de poliedros regulares?
Los únicos cinco tipos de poliedros regulares son el tetraedro regular, el hexaedro regular, el octaedro regular, el dodecaedro regular y el icosaedro regular.
El llamado poliedro regular, por supuesto, primero debe asegurarse de que sea un poliedro, y su característica especial es que cada una de sus caras es un polígono regular, y los polígonos regulares de cada cara son congruentes. .
En otras palabras, si recortas las caras del poliedro regular, pueden superponerse por completo. Aunque la familia de los poliedros es muy numerosa. Pero los miembros del poliedro regular son muy pocos, sólo cinco.
Supongamos que cada vértice del poliedro regular tiene m aristas y que cada cara es un n-gón regular. El número de vértices del poliedro es V, el número de caras es F y el número de. los bordes son E. Debido a que dos caras adyacentes tienen un borde común, entonces
Porque dos vértices adyacentes tienen un borde común, entonces
Y debido al teorema del poliedro de Euler, obtenemos V+F-E=2, se puede obtener a partir de las tres fórmulas anteriores
Para que la fórmula anterior sea verdadera, debe satisfacer 2m+2n-mn>0, es decir, 1/m+1/n>1/2. Porque m≥3, entonces
entonces n<6.
Cuando n=3, m<6, entonces los valores que m puede tomar son 3, 4 y 5
Cuando n=4, m<4, entonces; los valores que m puede tomar El valor es 3;
Cuando n=5, m<10/3, entonces el valor que m puede tomar es 3.
Cuando n=3, m=3, V=4, F=4, E=6 cuando n=3, m=4, V=6, F=8, E=12; n=3, m=5, V=12, F=20, E=30 cuando n=4, m=3, V=8, F=6, E=12; , V=20, F=12, E=30; por lo tanto, solo existen los cinco tipos de poliedros regulares anteriores.
Información ampliada:
1. Propiedades de los poliedros regulares
1 Si dos poliedros regulares son poliedros regulares del mismo tipo, entonces las propiedades de los dos. poliedros regulares Los ángulos diédricos son iguales.
2. La esfera circunscrita, la esfera inscrita y la esfera inscrita del poliedro regular existen todas y los centros de las tres esferas coinciden.
3. El punto donde coinciden el circuncentro, el centro interior y el centro del borde interior de un poliedro regular se llama centro del poliedro regular.
4. Una línea recta que pasa por cualquier vértice de un poliedro regular y el centro del poliedro regular, excepto el tetraedro regular, debe pasar por otro vértice del poliedro regular, y las distancias entre estos dos vértices y el centro del poliedro regular son iguales.
5. A excepción del tetraedro regular, los dos puntos que conectan el centro f11 del poliedro regular se llaman vértices de la relación. Las dos aristas que conectan dos vértices opuestos se denominan aristas opuestas del poliedro regular. Las dos caras encerradas por las aristas se llaman lados opuestos de un poliedro regular.
6. A excepción del tetraedro regular, las aristas y lados opuestos del poliedro regular son paralelos.
2. Varios parámetros del poliedro regular
Materiales de referencia:
Enciclopedia Baidu-Poliedro regular