¿Qué es la inducción matemática?

La inducción matemática es un método de prueba matemática, típicamente utilizado para determinar que una expresión es verdadera dentro del rango de todos los números naturales o para determinar que otra forma es verdadera en una secuencia infinita. Existe una visión formal generalizada utilizada en lógica matemática e informática de que las expresiones que pueden evaluarse son expresiones equivalentes, esto se conoce como inducción estructural. La prueba más antigua conocida mediante inducción matemática aparece en Arithmeticorum libri duo de Francesco Maurolico (1575). Maurolico demostró que la suma de los primeros n números impares es n^2. El método de prueba más simple y común de inducción matemática es demostrar que una expresión es verdadera cuando n pertenece a todos los números naturales. Este método consta de los dos pasos siguientes: Base de recursividad: demostrar que la expresión se cumple cuando n = 1. Base para la recursividad: Demuestre que si es cierto cuando n = m, entonces también lo es cuando n = m 1. (El "si" en la base de la recursividad se define como una hipótesis inductiva. No llame a todo el segundo paso una hipótesis inductiva). El principio de este método es que el primer paso es demostrar que el valor inicial es verdadero en la base de la recursividad. expresión y luego probar El proceso de prueba de un valor al siguiente es válido. Si se prueban ambos pasos, entonces la prueba de cualquier valor se puede incluir en el proceso iterativo. Tal vez sea más fácil pensar en el efecto dominó; si tienes una larga fila de fichas en posición vertical, entonces si puedes estar seguro de que: la primera ficha caerá. Mientras caiga una determinada ficha de dominó, también caerá la siguiente ficha de dominó que esté a su lado. Entonces podrás deducir que todas las fichas de dominó caerán. Los principios de la inducción matemática suelen especificarse como axiomas de los números naturales (véase el Axioma n.º 5 de Peano). Pero se puede demostrar utilizando algunos métodos lógicos; por ejemplo, si se utiliza el siguiente axioma: El conjunto de los números naturales es ordenado. Tenga en cuenta que algunos de los otros axiomas son de hecho formulaciones alternativas del principio de inducción matemática. Más bien, ambos son equivalentes. Pasos para demostrar mediante inducción matemática: (1) (Fundamento de la inducción) Demuestre que la proposición se cumple cuando se toma el primer valor; después de demostrar el primer paso, se obtiene la base de la recursividad, pero este paso por sí solo no puede explicar la conclusión. de Establecido; (2) (Recursión inductiva) Si la proposición se establece al asumir, probar que la proposición también se establece en ese momento demostrando el segundo paso, se obtiene la base de la recursividad, pero sin el primer paso, la; La base para la recursividad se pierde. Sólo combinando el primer y el segundo paso podemos obtener una conclusión universal (3) Sacar la conclusión: La proposición es verdadera para todos los números enteros positivos desde el principio; Nota: (1) Cuando se utiliza la inducción matemática para demostrar, los dos pasos de "fundamento inductivo" y "recursión inductiva" son indispensables (2) En el segundo paso, antes de la recursividad, no importa si se establece la conclusión; Determinado, por eso se usa la palabra hipótesis. La esencia de este paso es demostrar que la exactitud del par de proposiciones se puede transferir a la situación con este paso, combinado con la conclusión del primer paso (se establece el par de proposiciones). , podemos saber que el par de proposiciones también está establecido, y luego desde el segundo paso podemos ver que también está establecido,..., y siguiendo esta iteración, podemos saber que está establecido para todos los enteros positivos que no son menos que. En este paso, cuando se establece la proposición, se puede usar como condición, y cuando la situación debe probarse mediante el uso de suposiciones inductivas, definiciones conocidas, fórmulas y teoremas, que no se pueden sustituir directamente. proposiciones Ejemplo: Por ejemplo, prueba: 1 2 3 4... n=n*(n 1)/2 Primero prueba n=1 Es cierto cuando n=1, la fórmula izquierda=1, la fórmula derecha=1. *(1 1)/2=1, la izquierda y la derecha son iguales. Se demuestra que cuando n=1, la ecuación se cumple. Supongamos que cuando n=n, la ecuación se cumple. Siempre que se demuestre que cuando n=n 1, la ecuación se cumple, significa que cuando n=cualquier número natural, la ecuación se cumple.

(Debido a que n=1 es verdadero, entonces si n=1 1 también es verdadero, significa que n=2 también es verdadero. Si n=2 es verdadero, entonces si n=2 1 también es verdadero, significa que n= 3 también es cierto si se cumple cuando n=n, entonces si se cumple cuando n=n 1, entonces significa que cuando n 1, la ecuación también se cumple.) Cuando n=n, 1 2 3... n=. n*(n 1)/2, (Supuesto. ) Cuando n=n 1, la fórmula izquierda =1 2 3...n (n 1)=n*(n 1)/2 (n 1), después de descomponer factores y fusionando términos similares, obtenemos (n 1)* (n 1 1)/2, ¿es igual a la fórmula (n 1)*[(n 1) 1]? De ello se deduce que cuando n=n 1, la ecuación se cumple. Entonces la ecuación es válida para cualquier número natural. ¿Aún no lo entiendes? Debido a que n=1 es verdadero, también se puede demostrar que n=2=1 1 es verdadero,..., n=n 1 es verdadero, entonces...

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