¡Cómo encontrar la fórmula analítica de una función cuadrática! ¡Se requiere un proceso detallado!

El método para encontrar la expresión analítica de una función cuadrática se resume en cinco tipos

1 Tipo de tres puntos

Si hay tres puntos en la imagen. de la función cuadrática son coordenadas conocidas, puedes usar la fórmula estándar y= ax2 bx c.

Ejemplo 1 Se sabe que la imagen de la función cuadrática pasa por (1, 0), (-1, - 4) y (0, -3) Tres puntos, encuentre la fórmula analítica de esta función cuadrática.

Solución: suponga que la fórmula analítica de la función cuadrática es y=ax2 bx c. las soluciones conocidas. Se obtiene la solución, por lo que se obtiene la fórmula analítica de la función cuadrática. La fórmula es y=x2 2x-3.

Tipo de vértice

Si el. Se conocen las coordenadas del vértice de la imagen de la función cuadrática o la ecuación del eje de simetría y el valor máximo (mínimo) de la función. Entonces puedes usar la forma del vértice y=a(x-h)2 k.

Ejemplo 2 Se sabe que las coordenadas del vértice de la parábola son (2, 3) y pasa por el punto (3, 1). Encuentra su fórmula analítica.

Solución: Supongamos que la fórmula analítica de la función cuadrática es. y=a(x-h)2 k. De la condición, obtenemos 1=a(3-2)2 3.

La solución es a= -2.

Entonces, la fórmula analítica de la parábola es y=-2(x-2)2 3, es decir: y=-2x2 8x-5.

Tipo de intersección

Si el. Se conocen las coordenadas de los dos puntos de intersección de la imagen de la función cuadrática y el eje x o la distancia entre los dos puntos de intersección y el eje de simetría, el punto de intersección forma y=a(x-x1)?(x-x2) se puede utilizar.

Ejemplo 3 Se sabe que la imagen de la función cuadrática se cruza con el eje x en dos puntos (-1, 0) y (3, 0) y pasa por el punto ( 1, -5). Encuentra su fórmula analítica.

Solución: Supongamos que la fórmula analítica de la función cuadrática es y=a(x 1)(x-3). =a(1 1)(1-3).

La solución es a=54.

Entonces la fórmula analítica de la función cuadrática es y=54 (x 1)( x-3), luego y=54 x2—52 x—154.

4. Tipo de traducción

Traduce la imagen de la función cuadrática. La forma, la dirección de apertura y el tamaño no cambian. Lo que cambia es la coordenada del vértice. Por lo tanto, la función original se puede expresar analíticamente como forma de vértice, y luego seguir las reglas de "suma a la izquierda y resta a la derecha, suma y resta", puede obtener la fórmula analítica de la parábola. quieres.

Ejemplo 4 Traslada la parábola y=x2 2x-3 a la izquierda 4 unidades, y luego traslada hacia abajo 3 unidades para encontrar la fórmula analítica de la parábola obtenida.

Solución: La fórmula analítica de la función puede ser y=(x 1)2-4.

Dado que la traslación es 4 unidades hacia la izquierda y 3 unidades hacia abajo, la fórmula analítica de la función es y= (x 1 4)2-4-3, es decir, y=x2 10x 18.

5. Tipo integral

Uso integral de propiedades geométricas para encontrar la expresión analítica cuadrática.

Ejemplo 5 Como se muestra a continuación, la imagen de la función cuadrática y=ax2 bx c se cruza con el eje x en A, dos puntos B se cruzan con el eje y en el punto C. Si AC=20 , BC=15, ∠ABC=90°, encuentra la fórmula analítica de esta función cuadrática.

Solución: En Rt△ABC ,

AB= =25,

∵S△ABC=12 AC?BC=12 AB?OC,

∴OC=AC?BCAB =20 ×1525 =12.

∵AC2=AO? AB,

∴OA=AC2AB =20225 =16,

∴OB=9.

Así, las coordenadas de los tres puntos A, B y C son (-16, 0), (9, 0) y (0, 12) respectivamente.

Por lo tanto, la forma de tres puntos se puede utilizar para obtener La fórmula analítica de la función es: y=-112x2-712x12.