¿Cuál es el conjunto de los números reales?

El conjunto de los números reales contiene el conjunto de todos los números racionales e irracionales, normalmente representados por una letra R mayúscula.

Resumen del conjunto de números reales:

En el siglo XVIII se desarrolló el cálculo a partir de los números reales. Pero el conjunto de los números reales no estaba definido con precisión en aquella época. No fue hasta 1871 que el matemático alemán Cantor propuso por primera vez una definición estricta de los números reales. La definición se basa en cuatro conjuntos de axiomas.

1. Teorema de la suma

Para cualquier elemento a y b que pertenezca al conjunto R, se puede definir su suma a+b, y a+b pertenece a R; un elemento constante 0, y a+0=a=a (por lo tanto, el número opuesto existe) la suma tiene la ley conmutativa, a+b=b+a la suma tiene la ley asociativa, (a+b)+c; =a+(b+c).

2. Teorema de la multiplicación

Para cualquier elemento a y b que pertenezca al conjunto R, se puede definir su multiplicación a·b, y a·b pertenece a R; el elemento constante 1, y debe ajustarse a la fórmula a·1=1·a=a (por lo tanto hay un recíproco excepto 0); la multiplicación tiene la ley conmutativa, a·b=b·a; , (a·b)·c=a· (b·c)·a=a·b+a·; do.

3. Los axiomas de orden x, y∈R, xy son verdaderos si x0, entonces x·z

4. Axioma de completitud

Cualquier conjunto no vacío con un límite superior (contenido en R) debe tener un supremo. Supongamos que A y B son dos conjuntos contenidos en R, y para cualquier x que pertenezca a A y y que pertenezca a B, x < y, entonces debe haber c que pertenezca a R, de modo que para cualquier x que pertenezca a A y y que pertenezca a B , debe haber x

El conjunto de números reales R tiene propiedades cerradas para las cuatro operaciones aritméticas de suma, resta, multiplicación y división (el divisor no es cero). Es decir, la suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos números reales cualesquiera siguen siendo números reales. El conjunto de los números reales es ordenado, es decir, dos números reales cualesquiera a y b deben satisfacer una de las tres relaciones siguientes: a< b, a= b> b. El tamaño real es transitivo, es decir, si a > b > c, entonces a > c.

Los números reales tienen propiedades de Arquímedes, es decir, para cualquier a, b- R, si b>a>0, existe un entero positivo n tal que na>b. El conjunto R de los números reales es denso, es decir, existe otro número real entre dos números reales desiguales, tanto racionales como irracionales.