¿Qué es la transformación de forma? En el pasado, los cursos de matemáticas en las escuelas primarias y secundarias generalmente solo discutían la simetría de figuras en geometría plana y geometría sólida. La transformación de traslación y la transformación de rotación de gráficos se analizan en la transformación de coordenadas de la geometría analítica. En períodos pasados, la transformación de coordenadas se ignoraba como un requisito más importante. La mayoría de los cursos de matemáticas en las escuelas secundarias normales se manejan de esta manera. Los estudios de matemáticas en servicio para profesores con formación universitaria a menudo comienzan directamente con la geometría analítica espacial o el análisis matemático. Por tanto, el conocimiento sobre la traslación y rotación de figuras planas se ha convertido en un punto ciego en el conocimiento matemático de la mayoría de los profesores de primaria. Por tanto, aunque no se requiere toda la etapa de educación obligatoria para estudiar las propiedades de las transformaciones a partir de la definición estricta de transformaciones geométricas, el profesorado debe tener un conocimiento profundo de los conceptos relevantes de las transformaciones gráficas para poder impartir bien esta parte. En términos generales, la traslación significa mover una figura una cierta distancia en una determinada dirección; la rotación significa girar una figura alrededor de un vértice en un cierto ángulo. Esta descripción es más adecuada para el nivel cognitivo de los estudiantes, pero ciertamente no es suficiente para los profesores. Por favor mire un caso. [Caso] En una clase abierta que enseñaba "Traslación y Rotación", la maestra creó una situación de juego en el patio de recreo. Al discutir el movimiento de la noria, los estudiantes inicialmente pensaron que era rotación. Inesperadamente, un compañero insistió en hablar. Dijo: He montado en una noria. Siempre me siento con la cabeza arriba y los pies abajo, así que creo que es traslación, no rotación. Todos quedaron atónitos por un momento y la respuesta del maestro fue pedirles a los estudiantes que discutieran en grupos. Esto es hilarante. Algunas personas coinciden en que la dirección de la persona no ha cambiado; otras objetan porque la persona va en círculo. No supe hasta el final de la clase si era traducción, rotación o ninguna de las dos. Después de clase, los profesores que vinieron a ver también hablaban de ello. La mayoría de la gente piensa que el movimiento entre la persona sentada en la noria y la cabina no es una traducción, pero algunos piensan que sí lo es. ¿Está girando? También hay dos opiniones. Esto demuestra que es muy necesario que los profesores comprendan los conceptos por sí mismos. Aquí se describen los conceptos y propiedades más importantes de la forma más sencilla posible. 1. ¿Qué es la transformación? En términos generales, la llamada transformación se refiere a la regla correspondiente que satisface ciertos requisitos en un conjunto superior. En lo que respecta a la transformación de gráficos, dado que las figuras geométricas son colecciones de puntos, la transformación de gráficos se puede lograr mediante la transformación de puntos. Si cada punto de una figura plana corresponde a un punto de una nueva figura en el plano, y cada punto de la nueva figura corresponde a solo un punto de la figura original, esta correspondencia se llama transformación. Las transformaciones geométricas más importantes son las transformaciones de congruencia y las transformaciones de similitud. Las transformaciones que mantienen sin cambios la forma y el tamaño del gráfico son transformaciones congruentes. En la transformación congruente, la distancia entre dos puntos cualesquiera en el gráfico original es igual a la distancia entre los dos puntos correspondientes en el nuevo gráfico, por lo que también se denomina transformación que preserva la distancia. Las transformaciones que mantienen la forma del gráfico sin cambios y solo cambian el tamaño del gráfico son transformaciones similares. En una transformación de similitud, el tamaño de todas las esquinas de la forma original permanece sin cambios, por lo que también se denomina transformación conforme. Las matemáticas de la escuela primaria introducen principalmente la transformación de traslación, la transformación de rotación y la transformación de simetría axial. Estas tres transformaciones son transformaciones congruentes. Transformaciones similares sólo se producen en el segundo período de aprendizaje. Por ejemplo, al aprender proporciones, dos gráficos se amplían o reducen en proporción, lo que en realidad es una transformación similar. 2. ¿Qué son la transformación de traslación, la transformación de rotación y la transformación de simetría axial? Hablemos primero de traducción y rotación. Si las líneas que conectan cualquier punto de la imagen original con el punto correspondiente de la nueva imagen tienen la misma dirección y la misma longitud, dicha transformación congruente se denomina transformación de traslación, o traducción para abreviar. Es decir, la característica básica de la traducción es que "las líneas rectas entre cada punto y su punto correspondiente son paralelas (o coincidentes) e iguales" antes y después del movimiento gráfico. Obviamente, se necesitan dos elementos para determinar la transformación de traslación: uno es la dirección y el otro es la distancia. Si cada punto de la nueva figura se obtiene girando un punto de la figura original en un ángulo igual alrededor de un punto fijo (llamado centro de rotación), dicha transformación congruente se denomina transformación de rotación, o rotación para abreviar. En otras palabras, la característica básica de la rotación es que "la distancia entre los puntos correspondientes y el centro de rotación es igual antes y después de la rotación de la figura, y el ángulo entre las líneas que conectan cada conjunto de puntos correspondientes y el centro de rotación es igual al ángulo de rotación." Obviamente, se necesitan tres elementos para determinar la transformación de rotación: centro de rotación, dirección de rotación y ángulo de rotación. Ahora puedes responder a la pregunta anterior sobre la cabina de la noria. La noria gira, pero la cabina y las personas que están dentro siempre están con la cabeza hacia arriba y los pies hacia abajo. ¿Es una traducción? Según las características básicas de la traslación, podemos trazar una línea que conecte los puntos superior e inferior de la cabina en dos posiciones cualesquiera durante el movimiento (Figura 1). Son paralelos e iguales, por lo que son traslaciones. Entonces, ¿la cabina y la gente que está dentro están dando vueltas? Según las características básicas de rotación, dibuje una línea que conecte el punto medio de la parte inferior de la cabina y el centro de rotación de la noria (Figura 2). Obviamente, sus longitudes no son iguales.
Obviamente la noria gira, pero la cabina y las personas que están dentro no giran, sino que se trasladan. ¿Qué está sucediendo? Resulta que mientras la noria hace que la cabina gire en el sentido de las agujas del reloj, la gravedad de la tierra hace que la cabina que cuelga del gancho gire ligeramente en sentido antihorario, de modo que la cabina y las personas que están dentro siempre mantienen una dirección hacia arriba. Todos los puntos del cuerpo humano se mueven a la misma distancia. De hecho, la rotación y la traslación en matemáticas examinan principalmente la relación entre los puntos correspondientes de dos figuras estáticas al principio y al final del movimiento, lo que es diferente del enfoque del estudio de la "rotación" y la "traslación" de objetos en física. Hablemos primero de simetría. La simetría es un término utilizado en muchas disciplinas y ocupa una posición muy importante en las matemáticas. Los conceptos relacionados con la simetría, como polinomios simétricos, espacios simétricos, principios de simetría, etc., son todos conceptos importantes en matemáticas. Las matemáticas de la escuela primaria solo analizan la simetría de los gráficos y solo se refieren a la simetría de los gráficos planos con respecto a una línea recta. En cuanto a otras simetrías de gráficos, como la simetría rotacional y su caso especial de simetría central, están fuera del alcance de nuestra discusión. Sin embargo, cuando los estudiantes mencionan fenómenos como paralelogramos (simetría central) y aspas de ventilador (simetría rotacional), el profesor no debe negar categóricamente su simetría, simplemente señalar que no son figuras con simetría de eje. Si los segmentos de línea que conectan cada grupo de puntos correspondientes en la nueva imagen y la imagen original son perpendiculares a la misma línea recta y divididos en dos por la línea recta, dicha transformación congruente se llama transformación de simetría axial. Cada grupo de puntos correspondientes es un. punto simétrico, y la bisección vertical de los puntos simétricos está conectada. La línea recta del segmento se llama eje de simetría. En otras palabras, la característica básica de la simetría axial es que "los segmentos de línea que conectan cualquier conjunto de puntos correspondientes son bisecados perpendicularmente por el eje de simetría". Obviamente, la clave para determinar la transformación de simetría axial es encontrar el eje de simetría. La figura que constituye la simetría axial puede ser una, a la que se suele llamar figura axialmente simétrica (Figura 3), también pueden ser dos figuras, que se suele decir que son simétricas respecto de una recta (Figura 4); Cualquiera de las dos figuras axialmente simétricas puede considerarse como el resultado de la transformación axialmente simétrica de la otra figura. Los gráficos axisimétricos también se pueden ver como transformaciones axisimétricas de media base. También podemos usar un lenguaje más popular para describir intuitivamente figuras axialmente simétricas: si una figura se dobla por la mitad, y si las figuras en ambos lados del pliegue se superponen completamente, la figura se llama figura axialmente simétrica, y el pliegue (línea recta ) se llama eje de simetría. Por supuesto, esta descripción se centra en la caracterización de atributos gráficos y la penetración de la perspectiva de transformación de movimiento no es tan prominente. En matemáticas, para describir la dirección y la distancia de una traslación, generalmente se usan y analizan segmentos de línea dirigidos o vectores en un sistema de coordenadas específico. Para describir elementos rotados, la forma más sencilla es utilizar coordenadas polares. Debido a que la transformación de gráficos es la correspondencia entre puntos, para describirla con precisión, es inseparable del sistema de coordenadas. Si consideramos la transformación de gráficos como una especie de movimiento, también necesitamos un marco de referencia. De hecho, esta es también la razón principal por la que en el pasado la traslación y la rotación se combinaron en la geometría analítica. También es cierto que en matemáticas de la escuela primaria, el papel cuadriculado se utiliza a menudo cuando se habla de traducción y rotación. (3) ¿Cuál es la relación entre la transformación de traslación, la transformación de rotación y la transformación de simetría axial? En primer lugar, las tres transformaciones mantienen sin cambios la forma y el tamaño de la figura, que es su principal similitud. En segundo lugar, si se realizan dos transformaciones de simetría axial consecutivas, generalmente cuando los dos ejes de simetría son iguales, el resultado final de estas dos transformaciones de simetría axial es equivalente a una transformación de traslación. La dirección de traslación es perpendicular al eje de simetría, y la distancia de traslación es el doble de la distancia entre dos objetos simétricos. En resumen, dos pliegues (con los ejes de simetría paralelos entre sí) equivalen a una traslación. Cuando dos ejes de simetría se cruzan, el resultado final de estas dos transformaciones axisimétricas es equivalente a una transformación de rotación. El centro de rotación es la intersección de los ejes de simetría y el ángulo de rotación es el doble del ángulo entre los dos ejes de simetría. En resumen, dos pliegues (la intersección de los ejes de simetría) equivalen a una rotación. Las dos conclusiones anteriores son para la situación general de los gráficos. Mediante la transformación de simetría axial, algunos gráficos especiales se pueden trasladar o rotar solo una vez. Por ejemplo, la "casa con chimenea" de la Figura 5 ha sufrido dos transformaciones de simetría axial (los ejes de simetría son paralelos y están separados por 4 bloques), lo que equivale a una traslación de 8 bloques hacia la derecha. La "casa sin chimenea" en la Figura 6 equivale a una traslación siempre que experimente una transformación de simetría axial. Además, las dos conclusiones anteriores también son ciertas a la inversa. Es decir, una transformación de traslación se puede reemplazar por dos transformaciones axisimétricas (los ejes de simetría son paralelos entre sí); una transformación de rotación también se puede reemplazar por dos transformaciones axisimétricas (los ejes de simetría se cruzan). Se mueven de diferentes maneras, pero el efecto es el mismo. En los libros de texto de matemáticas de la escuela primaria, se pueden generar algunos patrones mediante diferentes transformaciones. Por ejemplo, en el patrón de cuatro hojas de la Figura 7, cada hoja se puede obtener mediante la transformación de simetría axial de hojas adyacentes, la rotación de 90 grados de hojas adyacentes o la traslación de hojas en la misma fila.