¿Cómo calcular la expresión analítica de una función cuadrática?

La expresión analítica de una función cuadrática se puede calcular en forma de expresión general, expresión de vértice o expresión de intersección.

1. Fórmula general

Fórmula general: y=ax2 bx c (a≠0).

2. Fórmula de vértice

Fórmula de vértice: y=a (x-m) 2 k (a≠0), donde las coordenadas del vértice son (m, k) y el eje de simetría es Línea x=m.

3. Fórmula del punto de intersección

Fórmula del punto de intersección: y=a (x-x1) (x-x2) (a≠0), donde x1 y x2 son la relación entre la parábola y el eje x La abscisa del punto de intersección.

Selección de problemas prácticos:

1. Método del coeficiente indeterminado

Para encontrar la expresión analítica de una función cuadrática, generalmente utilizamos el método del coeficiente indeterminado, que es decir, un polinomio expresado en otra forma nueva que contiene coeficientes indeterminados, se obtiene una identidad.

Luego se deriva la ecuación o sistema de ecuaciones que deben satisfacer los coeficientes en base a las propiedades de la identidad. Luego resolviendo la ecuación o sistema de ecuaciones se pueden encontrar los coeficientes indeterminados, o la relación que. Se pueden encontrar ciertos coeficientes que satisfacen, este método de resolución de problemas se llama método de coeficiente indeterminado.

2. Pasos

Combinamos el método del coeficiente indeterminado y las tres formas básicas de funciones cuadráticas para determinar la relación funcional. Debemos establecer fórmulas analíticas apropiadas según diferentes condiciones. Como sigue:

Paso 1: Si se dan tres puntos cualesquiera en la parábola, la fórmula general y=ax2 bx c (a≠0) generalmente se puede usar para resolver el problema.

Paso 2: Si se dan las coordenadas del vértice o el eje de simetría o el valor máximo de la parábola, generalmente se puede establecer la fórmula del vértice y=a(x-m)2k(a≠0) para resolver el problema. .

Paso 3: Si se da el punto de intersección de la parábola y el eje x o el eje de simetría o la distancia de intersección con el eje x, la fórmula del punto de intersección y=a (x-x1) (x-x2) ( a≠0) para resolver. Vale la pena señalar que el requisito previo para usar la expresión de intersección para encontrar la expresión analítica de una función cuadrática es que la función cuadrática tenga coordenadas de intersección con el eje x.

3. Ejemplo clásico

Se sabe que la gráfica de una función cuadrática pasa por tres puntos (-1, -3), (2,12) y (1,1). ), entonces La fórmula analítica de esta función es _______.

Solución: Sustituyendo las coordenadas de los puntos (-1, -3), (2, 12) y (1, 1) en y=ax2 bx c, podemos obtener:

-3 =a(-1)2 b(-1) c

12=a·22 b·2 c

1=a·12 b·1 c

La solución es a=3, b=2, c=-4.

Entonces la fórmula analítica de la función requerida es y=3x2 2x-4.

Reflexión sobre la resolución del problema: Dados los tres puntos en la gráfica de la función cuadrática, podemos establecer su fórmula analítica como y=ax2 bx c, sustituir las coordenadas de los tres puntos y transformar el problema para resolver a Para un sistema de ecuaciones lineales de tres variables, es fácil obtener a=3, b=2, c=-4, por lo que la fórmula analítica de la función buscada es y=3x2 2x-4.