¿Qué es pitagórico?
Los llamados números pitagóricos generalmente se refieren a los tres números enteros positivos (a, b, c) que pueden formar los tres lados de un triángulo rectángulo.
Es decir, a^2 b^2=c^2, a, b, c∈N
Y porque, cualquier matriz pitagórica (a, b, c) La nueva La matriz (na, nb, nc) obtenida multiplicando tres números simultáneamente por un número entero n sigue siendo un número pitagórico, por lo que generalmente lo que queremos encontrar es una matriz pitagórica en la que a, byc sean primos relativos.
Para este tipo de matrices, existen dos métodos prácticos y de uso común:
1 Cuando a es un número impar 2n 1 mayor que 1, b=2*n^ 2 2* norte, c=2*n^2 2*n 1.
De hecho, es dividir el número cuadrado de a en dos números naturales consecutivos, por ejemplo:
Cuando n=1 (a, b, c) = (3, 4, 5)
Cuando n=2 (a, b, c) = (5, 12, 13)
Cuando n=3 (a, b, c) = ( 7, 24, 25)
... ...
Esta es la rutina más clásica, y como dos números naturales consecutivos deben ser primos entre sí, todos los arreglos pitagóricos obtenidos usando esta rutina Todos son mutuamente primos.
2. Cuando a es un número par 2n mayor que 4, b=n^2-1, c=n^2 1
Es decir, resta la mitad del cuadrado de a respectivamente 1 y más 1, por ejemplo:
Cuando n=3 (a, b, c) = (6, 8, 10)
Cuando n=4 (a) , b, c )=(8, 15, 17)
Cuando n=5 (a, b, c)=(10, 24, 26)
Cuando n=6 (a, b , c)=(12, 35, 37)
... ...
Esta es una rutina clásica cuando n es un número impar, debido a. (a, b, c ) son tres números pares, por lo que el arreglo pitagórico no debe ser coprimo y cuando n es un número par, dado que b y c son dos números impares consecutivos, deben ser coprimos, por lo que el arreglo pitagórico es coprimo; .
Entonces, si solo desea obtener una matriz relativamente prima, esto se puede cambiar a, for a=4n (ngt;=2), b=4*n^2-1, c=4* n^ 2 1, por ejemplo:
Cuando n=2 (a, b, c)= (8, 15, 17)
Cuando n=3 (a, b, c)= (12, 35, 37)
Cuando n=4 (a, b, c) = (16, 63, 65)
Número pitagórico
Cualquier conjunto de números enteros positivos que puedan formar los tres lados de un triángulo rectángulo se llama número pitagórico.
① Observa 3, 4, 5; 5, 12, 13; 7, 24, 25... y descubre que estos números pitagóricos son todos números impares y que no ha habido discontinuidad desde 3. Calcula 0,5 (9-1), 0,5 (9 1) y 0,5 (25-1), 0,5 (25 1), y según las reglas que descubriste, escribe las fórmulas que puedan expresar los acordes de 7, 24 y 25. respectivamente.
②De acuerdo con la regla de ①, use la expresión algebraica de n para representar los ganchos, hebras y cuerdas de todos estos números pitagóricos, adivine razonablemente dos relaciones iguales entre ellas y haga una conjetura sobre una de ellas. ellos.
③Continúe observando 4, 3, 5; 6, 8, 10; 8, 15, 17;... Puede encontrar que el primer número de cada grupo es un número par y no existe. romper con 4, usando métodos de exploración similares a los mencionados anteriormente y usando la expresión algebraica de m para representar sus cuerdas combinadas.
Supongamos que las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son a, b y c. Según el teorema de Pitágoras, a2 b2 = c2, que es condición suficiente y necesaria para formar los tres lados de un triángulo rectángulo. un triángulo rectángulo. Por lo tanto, requerir un conjunto de números pitagóricos es resolver la ecuación indefinida x2 y2=z2 y encontrar una solución entera positiva.
Ejemplo: Se sabe que en △ABC, las longitudes de los tres lados son a, b, c, a=n2-1, b=2n, c=n2 1 (n>1). Verifique: ∠ C=90°.
Este ejemplo muestra que para cualquier número par 2n mayor que 2 (n>1), se puede formar un conjunto de números pitagóricos, siendo los tres lados: 2n, n2-1, n2 1. Tales como: 6, 8, 10, 8, 15, 17, 10, 24, 26...etc.
Observa los siguientes números pitagóricos: 3, 4, 5, 5, 12, 13, 7, 24, 25, 9, 40, 41, 11, 60, 61... Estos números pitagóricos son todo Es un triángulo rectángulo con números impares como lados. Del ejemplo anterior, sabemos que cualquier número par mayor que 2 puede formar un conjunto de números pitagóricos. De hecho, cualquier número impar mayor que 1, 2n 1 (n>1), también puede formar un número pitagórico. son 2n 1, 2n2 2n, 2n2 2n 1, esto se puede demostrar mediante el teorema inverso del teorema de Pitágoras.
Observando y analizando los números pitagóricos antes mencionados, podemos ver que tienen las siguientes dos características:
1 El lado rectángulo corto de un triángulo rectángulo es impar. número, y el otro lado rectángulo y la hipotenusa son dos números naturales consecutivos.
2. El perímetro de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado del lado corto derecho y a la suma de los otros dos lados.
Dominar las dos características anteriores proporciona comodidad para resolver un tipo de problemas.
Ejemplo: Las longitudes de los tres lados de un triángulo rectángulo son números enteros positivos, y la longitud de uno de los lados derechos cortos es 13. ¿Cuál es el perímetro de este triángulo rectángulo?
Utilice la Característica 1 para resolver: Suponga que los tres lados de este triángulo rectángulo son 13, x y x 1, entonces: 169 x2=(x 1)2, la solución es x=84, el perímetro de este triángulo = 13 84 85=182.
Usa la característica 2 para resolver: Este triángulo rectángulo es un triángulo rectángulo con números impares como lados, por lo que el perímetro = 169 13 = 182.
La fórmula general de los números pitagóricos:
Título: Dado que a^2 b^2=c^2, a, b, c son todos números enteros positivos, encuentre a, b , las condiciones satisfechas por c.
Respuesta:
Conclusión 1: Como se puede ver en la pregunta, a bgt (1), es fácil obtener las condiciones para establecer un triángulo pensando en él.
Conclusión 2: a^2=c^2-b^2=(c b)*(c-b) (2)
La clave de la pregunta se puede ver en (2 ) Es para averiguar las propiedades de factorizar a^2, sea X=c b, Y=c-b
Entonces: a^2=X*Y, (Xgt; Y, agt; Y) (3 )
Primero descomponga Y. Sea k=m^2 el factor más grande de Y que se puede escribir como un número cuadrado, entonces Y=n*m^2 (4)
También se puede ver en la ecuación (3) que a^2=X*n*m^2 (5)
Comparando ambos lados de la ecuación (5), a debe ser divisible por m, y no puede haber un número primo en n El factor cuadrado de , de lo contrario es inconsistente con el número cuadrado máximo en (4).
De manera similar, se puede ver que a^2=Y*n'*m'^2 (6), X=n'*m'^2 y n' es el producto de diferentes números primos. números
Multiplica la Fórmula (5) y la Fórmula (6) para obtener a^2=(m*m')^2*n'*n, (n, n' son los productos de diferentes números primos ) (7)
Según (7), sabemos que n*n' sigue siendo un número cuadrado, y dado que n' y n son todos productos de diferentes números primos, sabemos que n=n ' (autoprobado, relativamente simple)
Se puede ver que a=m'*m*n
c=(X Y)/2=(n*m^2 n*m'^2)/2=n*(m^2 m'^ 2)/2
b=(X-Y)/2=n*(m'^2-m^2) /2
a=m*n*m'
Rutinas comunes de los números pitagóricos
Los llamados números pitagóricos generalmente se refieren a los tres enteros positivos ( a, b, c) que pueden formar los tres lados de un triángulo rectángulo.
Es decir, a^2 b^2=c^2, a, b, c∈N
Y porque, cualquier matriz pitagórica (a, b, c) La nueva La matriz (na, nb, nc) obtenida multiplicando tres números simultáneamente por un número entero n sigue siendo un número pitagórico, por lo que generalmente lo que queremos encontrar es una matriz pitagórica en la que a, byc sean primos relativos.
Para este tipo de matrices, existen dos métodos prácticos y de uso común:
1 Cuando a es un número impar 2n 1 mayor que 1, b=2*n^ 2 2* norte, c=2*n^2 2*n 1.
De hecho, es dividir el número cuadrado de a en dos números naturales consecutivos, por ejemplo:
Cuando n=1 (a, b, c) = (3, 4, 5)
Cuando n=2 (a, b, c) = (5, 12, 13)
Cuando n = 3 (a, b, c) = ( 7, 24, 25)
... ...
Esta es la rutina más clásica, y como dos números naturales consecutivos deben ser primos entre sí, todos los arreglos pitagóricos obtenidos usando esta rutina Todos son mutuamente primos.
2. Cuando a es un número par 2n mayor que 4, b=n^2-1, c=n^2 1
Es decir, resta la mitad del cuadrado de a respectivamente. 1 y más 1, por ejemplo:
Cuando n=3 (a, b, c) = (6, 8, 10)
Cuando n=4 (a). , b, c )=(8, 15, 17)
Cuando n=5 (a, b, c)=(10, 24, 26)
Cuando n=6 (a, b , c)=(12, 35, 37)
... ...
Esta es una rutina clásica cuando n es un número impar, debido a. (a, b, c ) son tres números pares, por lo que el arreglo pitagórico no debe ser coprimo y cuando n es un número par, dado que b y c son dos números impares consecutivos, deben ser coprimos, por lo que el arreglo pitagórico es coprimo; .
Entonces, si solo desea obtener una matriz relativamente prima, esto se puede cambiar a, for a=4n (ngt;=2), b=4*n^2-1, c=4* n^ 2 1, por ejemplo:
Cuando n=2 (a, b, c)= (8, 15, 17)
Cuando n=3 (a, b, c)= (12, 35, 37)
Cuando n=4 (a, b, c) = (16, 63, 65)