El concepto, imagen y propiedades de funciones cuadráticas

La función cuadrática es un polinomio (o monomio) cuadrático, y su expresión básica es y=ax?+bx+c(a≠0). El grado más alto de una función cuadrática debe ser cuadrático. La imagen de una función cuadrática es una parábola cuyo eje de simetría es paralelo o coincidente con el eje y.

Propiedades de la función

1. La gráfica de una función cuadrática es una parábola, pero una parábola no es necesariamente una función cuadrática. Una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo es una función cuadrática. Una parábola es una figura axialmente simétrica. El eje de simetría es una línea recta. [3] El único punto de intersección entre el eje de simetría y la parábola es el vértice P de la parábola. En particular, cuando b=0, el eje de simetría de la parábola es el eje y (es decir, la línea recta x=0).

2. La parábola tiene un vértice P y la coordenada es P. En ese momento, P estaba en el eje y; en ese momento, P estaba en el eje x.

3. El coeficiente del término cuadrático a determina la dirección de apertura y el tamaño de la parábola. Cuando a>0, la parábola se abre hacia arriba; cuando a<0, la parábola se abre hacia abajo. Cuanto mayor es |a|, menor es la apertura de la parábola; cuanto más pequeña es |a|, mayor es la apertura de la parábola.

4. El coeficiente del término lineal b y el coeficiente del término cuadrático a*** determinan la posición del eje de simetría. Cuando a y b tienen el mismo signo (es decir, ab>0), el eje de simetría está en el lado izquierdo del eje y cuando a y b tienen signos diferentes (es decir, ab<0), el eje de simetría; está en el lado derecho del eje y. (Se puede recordar convenientemente como: la izquierda es igual y la derecha es diferente)

5 El término constante c determina el punto de intersección de la parábola y el eje y. La parábola intersecta el eje y en (0, c)

6. El número de intersecciones entre la parábola y el eje x: Cuando, la parábola tiene 2 puntos de intersección con el eje x. Cuando , la parábola tiene 1 punto de intersección con el eje x. En ese momento, la parábola no tiene intersección con el eje x.

7. En ese momento, la función obtiene el valor mínimo en; arriba es una función decreciente, y arriba es una función creciente;

En ese momento, la función obtiene el valor máximo en; arriba es una función creciente, y arriba es una función decreciente; la apertura de la parábola es hacia abajo;

En ese momento, el eje de simetría de la parábola era el eje y. En ese momento, la función era una función par y la expresión analítica se transformó en y=ax?+c(a≠). 0).

8. Dominio: R

Rango de valores: cuando a>0, el rango de valores es; cuando a<0, el rango de valores es.

Paridad: Cuando b=0, esta función es una función par; cuando b no es igual a 0, esta función es una función no par ni impar.

Periodicidad: Ninguna

Fórmula analítica:

①Fórmula general:

⑴a≠0

⑵ Si >0, la parábola se abre hacia arriba; si a<0, la parábola se abre hacia abajo;

⑶Vértice:;

⑷

Si Δ >0, entonces la parábola se abre hacia arriba; la imagen de la función se cruza con el eje x en dos puntos:

y;

Si Δ=0, entonces la imagen de la función se cruza con el eje x en un punto:

Si Δ <0, no hay un punto común entre la imagen de la función y el eje x;

②Fórmula de vértice: en este momento, cuando el vértice es (h, k)

, el vértice correspondiente es, donde,;

③Fórmula del punto de intersección:

La imagen de la función intersecta el eje x en dos puntos y.

Expresión

Expresión de vértice

y=a(x-h)?+k(a≠0, a, h, k son constantes), las coordenadas de vértice son (h,k)[4], el eje de simetría es la recta x=h, las características de posición del vértice y la dirección de apertura de la imagen son las mismas que la imagen de la función y=ax?, cuando x= h, el valor máximo (pequeño) de y= k. A veces la pregunta le pedirá que utilice el método de coincidencia para convertir la expresión general en una expresión de vértice.

Ejemplo: Dado el vértice (1,2) y otro punto arbitrario (3,10) de la función cuadrática y, encuentra la fórmula analítica de y.

Solución: Supongamos y=a(x-1)?+2, sustituya (3,10) en la fórmula anterior y la solución es y=2(x-1)?+2.

Nota: A diferencia de la traslación de un punto en un sistema de coordenadas plano rectangular, en la fórmula de vértice después de la traslación de una función cuadrática, cuando h>0, cuanto mayor es h, más lejos está el eje de simetría de la la imagen es del eje y y en la dirección positiva del eje x, no puede considerarse simplemente como una traslación a la izquierda solo porque hay un signo negativo antes de h.

[2]

Se puede dividir en las siguientes situaciones:

Cuando h>0, ¿la imagen de y=a(x-h) puede ser paralela a la derecha por la parábola? y=ax? ¿Se obtiene moviendo h unidades;

Cuando h<0, ¿la imagen de y=a(x-h) se puede obtener moviendo la parábola y=ax paralela a la izquierda? | unidades;

Cuando h>0,k>0, mueve la parábola y=ax? paralela a la derecha h unidades, y luego muévela hacia arriba k unidades, puedes obtener la imagen de y=a. (x-h)?+k;

Cuando h>0,k<0, mueva la parábola y=ax? a la derecha h unidades, y luego muévala hacia abajo |k| a(x-h)?+k La imagen de )?+k imagen;

Cuando h<0,k<0, mueve la parábola y=ax? paralela a la izquierda |h| luego muévase hacia abajo |k| unidades. Se puede obtener la imagen de y=a(x-h)?+k.