Métodos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden

El método de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden es el siguiente:

Los métodos de solución más utilizados son el método de coeficientes indeterminados, el método polinomial, el método de variación constante y el método del operador diferencial.

Método polinomial:

Supongamos que la ecuación diferencial lineal de coeficiente constante y''+py'+qy =pm, (x)e^(λx), donde p, q, λ son constantes, pm(x) es un polinomio de m grados de x, sea y=ze^(λz), entonces la ecuación se puede reducir a: F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1 !z′+ F(λ)z=pm(x), donde F(λ)=λ^2+pλ+q es el polinomio característico de la ecuación homogénea correspondiente a la ecuación.

Método ascendente:

Supongamos y''+p(x)y'+q(x)y=f(x), cuando f(x) es un polinomio, supongamos f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an En este momento, ambos lados de la ecuación se derivan n veces con respecto a x, y obtenemos. :

y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+ y…

y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!

y ^(n+2 )+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!

Sea y^n=a0n!/q(q≠0), en este momento, y ^(n+2) =y^(n+1)=0. De y^(n+1) e y^n, podemos obtener y^(n-1) a través de la penúltima ecuación, y luego subir a la ecuación y''+p(x)y'+q(x ) y=f(x), se puede obtener una solución especial de la ecuación y(x).