¿Cómo encontrar la suma de cada multiplicación de una secuencia aritmética y una secuencia geométrica?

Wei Fengling

Palabras clave: suma de series, método de fracción general, resta fuera de lugar, suma inversa, método de agrupación, método de agrupación, método de fusión

Las secuencias son una parte importante del álgebra de la escuela secundaria y la base para el aprendizaje de matemáticas avanzadas. Desempeña un papel importante en los exámenes de ingreso a la universidad y en diversos concursos de matemáticas. La suma de una secuencia es uno de los contenidos importantes de la secuencia. A excepción de las secuencias aritméticas y geométricas, que tienen fórmulas de suma, la suma de la mayoría de las secuencias requiere ciertas habilidades. Aquí hablaremos sobre los métodos y técnicas básicos para sumar una secuencia basada en varias preguntas anteriores del examen de ingreso a la universidad.

1. Utilice fórmulas de suma comunes para resumir

Usar las siguientes fórmulas de suma comunes para resumir es el método más básico e importante para sumar una secuencia.

1. La fórmula de la suma de la secuencia aritmética:

2. La fórmula de la suma de la secuencia aritmética:

La fórmula de la suma de potencias de números naturales:

3, 4,

5,

[Ejemplo]Suma 1+x2+x4+x6+… x2n+4 (x ≠ 0)

Solución:∵x≠0

∴Esta serie es una serie geométrica con el primer término 1 y la razón común x2. Tiene n+3 términos.

Cuando x2 = 1, es decir, X = 1, la suma es n+3.

Comentarios:

(1) Utilice la fórmula de suma de series geométricas. Cuando la proporción común se expresa mediante letras, es necesario discutir si es 1. Si el problema tiene la forma de "relaciones congruentes" y no se especifica como una serie geométrica, entonces también se debe discutir si x es 0.

(2) Descubra cuántos elementos hay en la secuencia * * * El último elemento no es necesariamente el enésimo.

Correspondiente a la pregunta del examen de ingreso a la universidad: Sea la suma superior de la secuencia 1, (1+2),..., (1+2+),... el valor.

2. Suma de resta fuera de lugar

La suma de resta fuera de lugar ocupa una posición muy importante en el examen de ingreso a la universidad. Una serie de preguntas del examen de ingreso a la universidad en los últimos años han mostrado este contenido. . Necesitamos que los estudiantes tomen en serio este enfoque. Este método se utiliza para derivar los primeros n términos y fórmulas de series geométricas. Este método se utiliza principalmente para encontrar los primeros n términos y fórmulas de la secuencia {an bn}, donde {an} y {bn} son la secuencia aritmética y la secuencia geométrica respectivamente. Al sumar, generalmente se multiplican ambos lados de la fórmula de suma conocida por la razón común de la serie geométrica que forma la secuencia y luego se resta la nueva suma de la suma original para convertirla en una suma de serie geométrica con el mismo múltiplo; Este método se llama resta de dislocaciones.

[Ejemplo]Suma:().............①

Solución: Según el problema, la expresión general de {} El término es el producto del término general {2n-1} de la secuencia aritmética y el término general {} de la serie geométrica.

Un grupo............(2) (establecer desalineación del sistema)

①-②(resta de desalineación)

Usando la fórmula de suma de la secuencia proporcional, podemos obtener:

∴

Tenga en cuenta que 1 es un caso especial cuando la razón común x es 1.

2. Presta atención al último término en la resta fuera de lugar

La característica de este tipo de problemas es que la secuencia se multiplica por la contraparte de una secuencia aritmética y una secuencia geométrica.

Correspondiente a la pregunta del examen de ingreso a la universidad: Supongamos que la suma del primer término de la serie geométrica positiva y los primeros n términos es, y. El término general de (I); (ii) la suma de los primeros n elementos.

Tercero, suma inversa

Este es un método utilizado para derivar la fórmula de suma de los primeros n términos de una secuencia aritmética, es decir, organizar una secuencia en orden inverso (orden inverso ), y luego agréguelo al Obtener n original en la secuencia.

[Ejemplo] Verificación:

Prueba: supongamos

Invierta el lado derecho de la fórmula ①

(Secuencia opuesta)

También hay

…………..……..②

①+② (Suma en orden inverso)

∴

Cuarto, suma de grupos

Existe un tipo de serie, que no es una secuencia aritmética ni una secuencia geométrica. Si este tipo de secuencia se descompone correctamente, se puede dividir en varias secuencias aritméticas, secuencias proporcionales o secuencias ordinarias, y luego sumarlas y fusionarlas respectivamente.

Si la fórmula general de la sucesión es, una de ellas es una sucesión aritmética y la otra es una sucesión geométrica, generalmente se utiliza el método de combinación de grupos para encontrar la suma.

[Pregunta de ejemplo]: Encuentra la suma de los primeros n términos de una secuencia;

Análisis: La fórmula general de la secuencia es, y la secuencia es una secuencia aritmética y una secuencia geométrica, generalmente usando combinaciones de agrupaciones Método para encontrar la suma;

[Solución]: Porque, entonces.

(Agrupación)

El primer paréntesis es la suma de la secuencia geométrica y el siguiente paréntesis es la suma de la secuencia aritmética. Por lo tanto,

método de suma verbal (abreviatura de verbo) de términos divididos

Esta es la aplicación específica de la idea de descomposición y combinación en la suma de series. La esencia del método de división de términos es descomponer cada término (término general) en la secuencia y luego recombinarlo para que algunos términos puedan eliminarse y finalmente lograr el propósito de la suma. La descomposición de la terminología general (términos divididos) es la siguiente:

(1) (2)

(3) (4)

(5)

Encuentra la suma de los primeros n términos de una secuencia.

Respuesta: Hipótesis (término dividido)

Entonces (suma de términos divididos)

=

=

Resumen: La característica de esta deformación es que después de que cada elemento de la serie original se divide en dos elementos, la mayoría de los elementos del medio se anulan entre sí. Sólo quedan unos pocos artículos.

Nota: El resto de proyectos tienen las siguientes características.

1 El resto de prendas son simétricas de delante hacia atrás.

Los valores positivos y negativos del resto de ítems son opuestos.

[Ejercicio] En la secuencia {an}, encuentra la suma de los primeros n elementos de la secuencia {bn}.

6. Método de fusión y suma

Para algunas secuencias especiales, fusionar algunos elementos tiene algunas propiedades especiales. Por lo tanto, al encontrar la suma de la serie, primero puede sumar estos elementos y luego encontrar Sn.

[Ejemplo] En una serie geométrica en la que todos los términos son positivos, si es el valor.

Solución: Hipótesis

A partir de las propiedades de las series geométricas (buscando propiedades especiales)

y las propiedades de las operaciones logarítmicas.

(Suma)

=

=

=10

Hay muchas formas de sumar una secuencia , su importancia en el examen de ingreso a la universidad también es obvia. Nuestros estudiantes deben dominar varios métodos básicos en sus estudios y es más fácil resolver problemas de secuencia en la resolución de problemas.