Preguntas de la Olimpiada de Matemáticas de séptimo grado
A: 2a(x-1)=(5-a)x 3b.
2ax-2a=5x-ax 3b
3ax-5x=2a 3b
x(3a-5)=2a 3b
La ecuación 2a(x-1)=(5-a)x 3b tiene muchas soluciones para x.
Así que no importa el valor que tome X, siempre es cierto.
Entonces esta ecuación no tiene nada que ver con x.
Entonces 3a-5 = 0, 2a 3b = 0.
a=5/3, b= -10/9
2. ¿Cuál es la suma de todos los números posibles de cuatro dígitos compuestos por números naturales del 1 al 9 sin números repetidos?
a: Primero, echemos un vistazo a cuántos números de cuatro dígitos hay en un * * *.
Hay 9 posibilidades entre mil, 8 posibilidades entre cien, 7 posibilidades entre diez y un individuo tiene 6 posibilidades.
Un * * * tiene 3024 números de cuatro dígitos.
Echemos un vistazo primero a los asientos. Porque cada número tiene el mismo estatus, un noveno, es decir, 336 unidades es 1, 336 unidades es 2, 336 unidades es 3,... 336 unidades es 9.
Todos estos bits suman 336×(1 2 ... 9)×1.
Mira diez más. Porque todo número tiene el mismo estatus,
Un noveno, es decir, 336 dígitos son 1, 336 dígitos son 2, 336 dígitos son 3,... 336 dígitos son 9.
Todos estos bits suman 336×(1 2 ... 9)×10.
Mira unos cientos más. Del análisis anterior, podemos ver que la suma de todas las centenas es 336 × (1 2 ... 9) × 100.
Mira varios miles más. Del análisis anterior, podemos ver que la suma de todos los miles es 336× (1 2 ... 9)× 1000.
Entonces, la suma de todos los números de cuatro dígitos es:
336 ×(1 2 ... 9) × 1 336 × (1 2 ... 9) × 10 336 × (1 2 ... 9) × 100 336 × (1 2 ... 9) × 1000
=336×(1 2 ... 9)×(1 10 100 1000)
=336×45×1111
=16798320
Una mesa cuadrada consta de un tablero y cuatro patas. Con 1 metro cúbico de madera se pueden fabricar 50 tableros o 300 patas. Ahora hay 5 metros cúbicos de madera. ¿Cuántas piezas de madera se pueden usar para hacer una mesa y cuántas patas se pueden usar para hacer una mesa cuadrada?
La velocidad del barco en aguas tranquilas es de 24 kilómetros por hora, y la velocidad actual es de 2 kilómetros por hora. Un barco tarda 6 horas en viajar de ida y vuelta entre A y B. ¿Cuánto tiempo le toma navegar río abajo desde A y de B a A? ¿Cuál es la distancia entre A y B?
Hay 200 toneladas de carbón en el almacén A y 70 toneladas en el almacén B. Si el almacén A transporta 15 toneladas por día y el almacén B transporta 25 toneladas por día, ¿cuántos días tardará el almacén B en ¿Contiene el doble de carbón que el almacén A?
Hay 27 trabajadores en el taller A, 19 trabajadores en el taller B y ahora hay 20 trabajadores nuevos. Para que el taller A tenga el doble de trabajadores que el taller B, ¿cómo se deben asignar los nuevos trabajadores a los dos talleres?
1. Suponiendo que se pueden hacer X mesas cuadradas, entonces
es necesario hacer x tableros y 4 patas.
x *(1/50) 4x *(1/300)= 5
La solución es x=150.
2. Solución: Supongamos que la distancia entre A y B es de X kilómetros.
Según el significado de la pregunta: x/(24 2) x/(24-2)=6.
La solución es x=71,5.
Reglas..........
3 preguntas
Después de x días de resolver, el medio almacenado pertenece al almacén doble.
Entonces 2*(200-15x)=70 25x.
La solución es x=6.
4 preguntas
Si se asignan X personas al taller A, se asignarán 20 x personas al taller B.
Según el significado de la pregunta, 27 x=2*(19 20-x)
La solución es x=17.
1. Un número de dos dígitos, donde el dígito de las decenas es X y el dígito es X-1. ¿Cuál es el número de dos cifras que se obtiene transponiendo las decenas y las cifras?
2. La pequeña madre llevó a Mi Yuan a comprar comida en la calle. Gastó la mitad en carne y el tercio restante en verduras. Entonces, ¿cuánto dinero le queda?
Respuestas relacionadas:
La primera pregunta: 11X-10
La segunda pregunta: M-m/2-m/2/3=1/3M de yuanes.
Como se muestra a continuación, ¿cuál es el quinto número en la línea 100?
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17.......
La respuesta es 4955.
Desde la capa más externa del lado izquierdo del gráfico, 1247 1116, los siguientes números son siempre mayores que los números anteriores.
El segundo es 1 mayor que 1...El tercero es 2...El cuarto es 3...El quinto es 4...El sexto es 5... ... es mayor que el quinto, por lo que podemos establecer el enésimo número en la capa más externa de la izquierda en X, entonces X es igual a [1 más 2 más 3 más 2 más 3 más... más < 100-. 1 >] es igual a 4951.
Entonces el quinto número en la línea 100 es 4955.
1. Calcula el valor de 1 3 5 7… 1997 1999.
2. Si el valor de 2x |4-5x| |1-3x| 4 es una constante, encuentre las condiciones que debe satisfacer X y el valor de esta constante.
Tercero, conocido
1 2 3
- - - = 0 ①
x y z
1 6 5
- - - - - =0 ②
x y z
x y z
Encuentra el valor de - - -.
y z x
Cuarto, agregue un " " o "-" arbitrariamente antes de cada número en 1, 2, 3, ..., 1998, luego el resultado final calculado es Impar o ¿incluso?
5. Cierta escuela celebró un concurso de matemáticas en el primer grado de la escuela secundaria. El número de participantes fue tres veces mayor que el de los no participantes. Si el número de estudiantes que no participan se reduce en 6, entonces la relación entre el número de participantes y el número de no participantes es
2.1 Encuentre el conocimiento de los participantes y los no participantes, y el número de estudiantes de primer grado.
Respuesta: Una pregunta:
Fórmula original = (1 1999)*[(1999-1)/2 1]/2
=2000*1000 /2
=1000000
Dos preguntas:
2x |4-5x| |1-3x| El valor de 4 es una constante, entonces
4-5X≥0, 1-3X≤0
Entonces: 1/3≤X≤4/5.
Fórmula original=2X 4-5X 3X-1 4=7.
Tres preguntas:
Sustitución: 1/X=6/Y 5/Z cambia de ② a ①.
8/Y 8/Z=0
Por lo tanto, si sustituimos Y=-Z en 1/X=6/Y 5/Z, obtenemos:
1/X=1/Y
Entonces: X=Y
X/Y Y/Z Z/X = 1-1-1 =-1
Cuatro preguntas:
En 1, 2, 3,..., 1998, * *hay 999 números impares y 999 números pares,
Independientemente de la suma entre dos números pares Aún restando, los resultados son todos números pares, por lo que solo se considera la relación entre números impares.
Debido a que el resultado de la suma y resta entre dos números impares cualesquiera es un número par,
Entonces, en el análisis final, todo es suma y resta entre números pares y impares. .
Así que el resultado final es extraño.
Cinco preguntas:
Supongamos que el número de personas que no participaron en el concurso es X, entonces el número de personas que participan en el concurso es 3X y el número total de estudiantes en la escuela es 4X.
Si hay 6 estudiantes menos en un grado, el número total es 4X-6.
Si el número de no participantes aumenta en 6, entonces el número de no participantes es X 6.
El número de participantes es 4X-6-(X 6)=3X-12.
La proporción de participantes y no participantes es de 2:1.
Entonces: 3X-12=2*(X 6)
Solución: X=24 (personas), el número de participantes es 3X=72, y el número total de estudiantes en la escuela es 4X=96.
Menos un medio y un tercio
Menos un cuarto, menos un quinto, menos un sexto.
Séptimas, octavas, novenas y décimas. . . . . .
¿Cuál es el séptimo número de la fila 2007 en este grupo?
El número de la fila 1 es 1.
La segunda línea tiene dos números.
Hay tres números en la tercera línea,
....
Entonces hay n números en la enésima línea,
1 a Fila 2006, total:
1 2 3... 2006 = 2006 * 2007/2 = 2013021.
2013021 7=2013028
Séptimo en 2007 la fracción de la fila es 1/2013028.
También se comprueba que las posiciones impares de cada fila son números negativos.
Entonces la séptima línea en 2007 es: -1/2013028.
1 Se sabe que la ecuación 2a(x-1)=(5-a)x 3b sobre x tiene innumerables soluciones, por lo que a = _ _ _ _ _ _ _ _ _.
A: 2a(x-1)=(5-a)x 3b.
2ax-2a=5x-ax 3b
3ax-5x=2a 3b
x(3a-5)=2a 3b
La ecuación 2a(x-1)=(5-a)x 3b tiene muchas soluciones para x.
Así que no importa el valor que tome X, siempre es cierto.
Entonces esta ecuación no tiene nada que ver con x.
Entonces 3a-5 = 0, 2a 3b = 0.
a=5/3, b= -10/9
2. ¿Cuál es la suma de todos los números posibles de cuatro dígitos compuestos por números naturales del 1 al 9 sin números repetidos?
a: Primero, echemos un vistazo a cuántos números de cuatro dígitos hay en un * * *.
Hay 9 posibilidades entre mil, 8 posibilidades entre cien, 7 posibilidades entre diez y un individuo tiene 6 posibilidades.
Un * * * tiene 3024 números de cuatro dígitos.
Echemos un vistazo primero a los asientos. Porque cada número tiene el mismo estatus,
Un noveno, es decir, 336 unidades es 1, 336 unidades es 2, 336 unidades es 3,...336 unidades es 9.
Todos estos bits suman 336×(1 2 ... 9)×1.
Mira diez más.
Porque todo número tiene el mismo estatus,
Un noveno, es decir, 336 dígitos son 1, 336 dígitos son 2, 336 dígitos son 3,... 336 dígitos son 9.
Todos estos bits suman 336×(1 2 ... 9)×10.
Mira unos cientos más. Del análisis anterior, podemos ver que la suma de todas las centenas es 336 × (1 2 ... 9) × 100.
Mira varios miles más. Del análisis anterior, podemos ver que la suma de todos los miles es 336× (1 2 ... 9)× 1000.
Entonces, la suma de todos los números de cuatro dígitos es:
336 ×(1 2 ... 9) × 1 336 × (1 2 ... 9) × 10 336 × (1 2 ... 9) × 100 336 × (1 2 ... 9) × 1000
=336×(1 2 ... 9)×(1 10 100 1000)
=336×45×1111
=16798320
Número conocido de columnas: 1, 6, 11, 16. .......
P:
¿Cuál es el número 17?
¿La suma del top 20?
Por favor responda usando la fórmula dada.
Pregunta 2:
Hay un número de columna: 2.4.6.8...192.
P:
¿Su suma?
Por favor, determine qué posición en la secuencia es 48. (Se pueden enumerar las ecuaciones)
3. Hay un número entero. La suma de los tres restos obtenidos al dividir 70, 110 y 160 es 50. Entonces, ¿cuál es este número entero?
4. Supongamos que M y N son números naturales. Recuerda que PM es la suma de todos los dígitos del número natural M, y PN es la suma de todos los dígitos del número natural N. Recuerda también que. M*N es M Resto después de dividir por N, dado M N=4084, ¿cuál es el valor de (PM PN)*9?
5. Como se muestra en la figura, se sabe que CD=5, DE=7, EF=15, FG=6. La línea AB divide la figura en dos partes. El área de la parte izquierda es 38 y el área de la parte derecha es 65. ¿Cuál es el área del triángulo ADG?
6. Un número natural se puede expresar como la suma de 9 números naturales consecutivos, 10 números naturales consecutivos y 11 números naturales consecutivos. ¿Cuál es el número natural más pequeño que satisface las condiciones anteriores?
7. Se sabe que el contenido de alcohol puro del alcohol A es 72, el contenido de alcohol puro del alcohol B es 58 y el contenido de alcohol puro de los dos alcoholes mezclados es 62. Si la cantidad de cada alcohol es 15 litros más que la cantidad original y el contenido de alcohol puro después de mezclar es 63,25, ¿cuántos litros de metanol se toman para la primera mezcla?
8. En la siguiente fórmula, diferentes caracteres chinos representan números diferentes y los mismos caracteres chinos representan el mismo número. Entonces, ¿qué representan los tres dígitos de "Feliz Año Nuevo"?
9. Hay dos centros comerciales. Cuando el beneficio del primer centro comercial disminuye en 15 y el beneficio del segundo aumenta en 18, los beneficios de los dos centros comerciales son los mismos. Entonces, ¿cuántas veces la ganancia del primer centro comercial es la ganancia del segundo centro comercial?
10, toma tres de los nueve números del 1 al 9. Estos tres números pueden formar seis números diferentes de tres cifras. Si la suma de seis números de tres cifras es 3330, ¿cuál es el mayor de los seis números de tres cifras?
11. Hay cinco equipos A, B, C, D y E participando en el partido de fútbol de todos contra todos, y cada dos equipos jugarán un partido. Cuando el partido está a punto de finalizar, las estadísticas son las siguientes:
Nombre del equipo Número de victorias, empates, derrotas, goles marcados y goles recibidos
Una pieza 2 1 0 4 1
B 1 2 0 4 2
C 1 1 1 2 3
D 1 0 3 5 5
E 0 2 1 1 5
Se sabe que A y E y B y C están empatados, y los puntajes son ambos 1:1.
¿Cuál es la fracción entre B y D?
12. Un autobús y una furgoneta salen al mismo tiempo de A y B y van en direcciones opuestas. La velocidad del autobús es de 32 kilómetros por hora y la velocidad de la furgoneta es de 40 kilómetros por hora. Cuando los dos coches alcanzan el segundo y primer lugar respectivamente, regresan inmediatamente al punto de partida. Al regresar, la velocidad del turismo aumenta 8 kilómetros por hora y la velocidad de la furgoneta disminuye 5 kilómetros por hora. Se sabe que los dos encuentros están separados por 70 kilómetros. ¿Cuántas horas antes regresa la furgoneta al punto de partida que el autobús?
A (referido como 1) y B (referido como 2) están caminando en las escaleras mecánicas de un centro comercial. 1 va del piso 1 al segundo piso y 2 va del segundo piso al piso 1. 1. Párese en el ascensor y suba dos escalones por segundo (nota: el ascensor también se está moviendo). Se necesitan 50 segundos para caminar hasta el segundo piso.
Toma tres de los nueve números del 1 al 9. Estos tres números pueden formar seis números diferentes de tres dígitos. Si la suma de seis números de tres cifras es 3330, ¿cuál es el mayor de los seis números de tres cifras?
Las preguntas vienen primero, las respuestas siguen.
2. Supongamos que a, b, c son números reales y | a | a = 0, | ab | c |-c = 0. a b El valor de |-c-b | a-c |.
3. Si m < 0, n > 0, | m |
4. Supongamos que (3x-1)7 = a7x 7 a6x 6… a 1x A0. A0 El valor de A2 A4 A6.
5. Ecuaciones conocidas
Si existe solución, halla el valor de k.
6. Resuelve la ecuación 2 | x 1 |
7. Resolver ecuaciones
8. Resolver la desigualdad || x 3 |-x-1 ||
9. Compara los siguientes dos números:
10.x, y y z son todos números reales no negativos y satisfacen:
x 3y 2z= 3, 3x 3y z=4,
Encuentra los valores máximo y mínimo de u = 3x-2y 4z.
11. Encuentra el cociente y el resto de x4-2x3 x2 2x-1 dividido por x2 x 1.
12. Como se muestra en la Figura 1-88, Zhu Xiao vive en la Aldea A y la abuela vive en la Aldea B. El domingo, Zhu Xiao fue a visitar a su abuela. Primero cortó un manojo de pasto en la ladera norte y luego cortó un manojo de leña en la ladera sur para enviárselo a su abuela. Disculpe, ¿qué ruta debería elegir Zhu Xiao para tomar la distancia más corta?
13. Como se muestra en la Figura 1-89. AOB es una línea recta, OC y OE son las bisectrices de ∠AOD y ∠DOB respectivamente, ∠COD = 55. Encuentra los ángulos complementarios de ∠DOE.
14. Como se muestra en la Figura 1-90, la recta bisectriz ∠ABC, ∠ CBF = ∠ CFB = 55, ∠ EDF = 70. Verificación: BC ∠ AE.
15. Como se muestra en la Figura 1-91. En △ABC, EF⊥AB, CD⊥AB, ∠ CDG = ∠ BEF. Verificación: ∠ AGD = ∠ ACB.
16. Como se muestra en la Figura 1-92. En △ABC, ∠B=∠C, BD⊥AC está en d
17. En △ABC, E es el punto medio de AC, D está en BC, BD:DC=1:2, AD y BE se cruzan en f, encuentre la relación entre el área de △BDF y el área del cuadrilátero FDCE .
18. Como se muestra en la Figura 1-94, los dos lados opuestos del cuadrilátero ABCD se extienden y se cruzan en K y L. La diagonal AC‖KL y la extensión BD se cruzan en f. FLORIDA.
19. ¿La suma del número obtenido cambiando arbitrariamente el orden de un número de tres cifras y el número original puede ser 999? Explique por qué.
20. Hay un trozo de papel cuadriculado con 8 filas y 8 columnas, 32 cuadrados están pintados de negro al azar y los 32 cuadrados restantes están pintados de blanco. A continuación, trabaje en el papel cuadriculado de colores, cambiando cada vez el color de cada cuadrado en cualquier columna horizontal o vertical simultáneamente.
¿Puedes terminar con una hoja de papel marcada con solo un cuadrado negro?
21. Si los números enteros positivos p y p 2 son números primos mayores que 3, entonces verifique: 6 |
22. Sea n el entero positivo más pequeño que cumple las siguientes condiciones. Es múltiplo de 75 y tiene exactamente
23. Cada taburete tiene tres patas y cada silla tiene cuatro patas. Cuando todos están sentados, hay 43 patas (incluidas dos patas para cada persona). ¿Cuántas personas hay en la sala?
24. Encuentra la solución entera de la ecuación indefinida 49x-56y 14z=35.
25. Ocho hombres y ocho mujeres bailan en grupos.
(1) Si hay dos subestaciones de hombres y mujeres;
(2) Si hombres y mujeres están parados en dos filas, independientemente del orden, solo cómo hombres y mujeres Se considerarán socios de forma.
¿Cuántas situaciones diferentes hay?
26. ¿Cuántos de los cinco números compuestos por 1, 2, 3, 4 y 5 son mayores que 34152?
27. El tren A tiene 92 metros de largo y el tren B tiene 84 metros de largo. Si viajaran en direcciones opuestas, se perderían después de 1,5 segundos. Si viajaran en la misma dirección, se perderían después de 6 segundos. Encuentra la velocidad de los dos trenes.
28. Dos equipos de producción A y B cultivan las mismas verduras. Después de cuatro días, el Equipo A completa el resto solo, faltando dos días más. Si el grupo A completa todas las tareas por sí solo tres días más rápido que el grupo B, ¿cuántos días le tomará al grupo A completarlas solo?
29. Un barco parte de un puerto a 240 millas náuticas de distancia antes de llegar a su destino a 48 millas náuticas de distancia, su velocidad disminuye en 65.438 00 millas náuticas por hora. El tiempo total que tarda en llegar es igual al tiempo que tardaría en viajar si su velocidad original se redujera en 4 nudos por hora, por lo que podemos encontrar la velocidad original.
30. Los dos talleres A y B de una determinada fábrica planearon obtener una ganancia fiscal de 7,5 millones de yuanes el año pasado. Como resultado, el taller A superó el plan en un 15% y el taller B superó el plan. plan en un 10% Los dos talleres * * * completaron una ganancia fiscal de 8,45 millones de yuanes. ¿Cuántos millones de yuanes en ganancias fiscales obtuvieron estos dos talleres el año pasado?
31. Se sabe que la suma de los precios originales de los dos artículos es 150 yuanes. Debido a cambios en el mercado, el precio del primer bien disminuye en 10 y el precio del segundo bien aumenta en 20. Después del ajuste de precios, la suma de los precios unitarios del primer y segundo producto disminuye en 1. ¿Cuáles son los precios unitarios originales del primer y segundo artículo?
32. Xiaohong compró dos cepillos de dientes para niños y tres tubos de pasta de dientes en la tienda las últimas vacaciones de verano y acaba de gastar el dinero que trajo consigo. Se sabe que cada pasta de dientes cuesta 1 yuan más que cada cepillo de dientes. Este verano fue a la tienda con el mismo dinero y compró el mismo cepillo y pasta de dientes. Debido a que cada cepillo de dientes subió a 1,68 yuanes este año y el precio de cada pasta de dientes aumentó en 30 yuanes, Xiaohong tuvo que comprar dos cepillos de dientes y dos pastas de dientes, y recuperó 40 centavos. ¿Cuánto cuesta cada pasta de dientes?
33. Si un centro comercial vende productos con un precio unitario de 8 yuanes a 12 yuanes por pieza, puede vender 400 piezas por día. Según la experiencia, si vendes 1 yuan menos por artículo, puedes vender 200 artículos más cada día. ¿Cuánto se debe reducir por artículo para obtener el mejor beneficio?
34. La distancia del pueblo A al pueblo B es de 28 kilómetros. Hoy, A anda en bicicleta a una velocidad de 0,4 km/min, desde la ciudad A hasta la ciudad B. 25 minutos más tarde, B anda en bicicleta a una velocidad de 0,6 km/min para alcanzar a A. ¿Cuántos minutos se necesitan para alcanzar a A?
35 Hay tres aleaciones: la primera contiene 60% de cobre y 40% de manganeso; la segunda contiene 10% de manganeso y 90% de níquel; la tercera aleación contiene 20% de cobre, 50% de manganeso y 30%; de níquel. Estas tres aleaciones forman ahora una nueva aleación que contiene níquel 45 y pesa 1 kg.
(1) Intente utilizar el peso de la primera aleación en la nueva aleación para expresar el peso de la segunda aleación.
(2) Encuentre el rango de peso de la segunda aleación; en la nueva aleación;
(3) Encuentre el rango de peso del manganeso en la nueva aleación.
Respuestas a las preguntas de repaso de matemáticas de la Olimpiada de primer grado
Autor: Anónimo Fuente del artículo: Guía para la competencia de matemáticas de la escuela secundaria Clics: 456 Hora de actualización: 4 de febrero de 2006
2. Porque | A | =-A, a ≤ 0, y porque | AB | AB, b ≤ 0, y porque | Entonces A B ≤ 0, c-b≥0, A-C ≤ 0.
Fórmula original =-b (a b)-(c-b)-(a-c) = B.
3. Debido a que m < 0, n > 0, entonces | m | Cuando x m≥0, |x m| = x m; cuando x-n≤0, |x-n| = n-X, cuando -m≤x≤n,
|x m|
4. Supongamos x=1 y x=-1 respectivamente, y sustitúyalos en las ecuaciones conocidas para obtener
a0 a2 a4 a6=-8128.
5.② ③Organización
x=-6y, ④
(k-5) Cuando se sustituye ①, y = 0.
Cuando k=5, y tiene infinitas soluciones, por lo que el sistema de ecuaciones original tiene infinitas soluciones cuando k≠5, y=0, si se sustituye ②, obtenemos (1-k) x =; 1 k, porque x=-6y=0, entonces 1 k = 0, entonces k =-1.
Por lo tanto, cuando k=5 o k=-1, el sistema de ecuaciones original tiene solución.
Cuando < x ≤ 3, 2 (x 1)-(x-3) = 6, entonces x = 1; cuando x > 3, hay
, por lo que debería ser abandonar.
7. De | x-y | = 2
X-y=2, o x-y=-2,
Por lo tanto
De antes en el sistema de ecuaciones.
|2 años| |y|=4.
Cuando y
Del mismo modo, el último sistema de ecuaciones se puede utilizar para resolver.
Entonces la solución es
x de la solución ① ≤- 3; resuelva para ②
-3 < x
x de la solución; ③ > 1.
Entonces la solución a la desigualdad original es x 0,9. Supongamos que A = 99991111, entonces
Por lo tanto
Es obvio que a > 1, entonces a-b > 0, es decir, a > B.
Se pueden conocer 10.y y Z.
Debido a que y y z son números reales no negativos, tenemos
u=3x-2y 4z
11.
Entonces el cociente es x2 -3x 3, el resto es 2x-4.
12. La ruta del cilindro pequeño es una polilínea compuesta por tres segmentos de línea (Figura 1-97).
Utilizamos el método de "simetría" para convertir la polilínea del pequeño cilindro en una "conexión" (un segmento de línea) entre dos puntos. El punto de simetría en la ladera norte de Shijiacun (la ladera se considera una línea recta) es A'; el punto de simetría de la aldea B en la ladera sur es B', que conecta A' B'. Si las intersecciones de los segmentos de línea conectados por A' B ' y las vertientes norte y sur son A y B respectivamente, entonces la ruta A → A → B → B es la mejor opción (es decir, la ruta más corta).
Obviamente, la longitud de la ruta A → A → B → B es exactamente igual a la longitud del segmento de línea A′B′. Utilizando el método de simetría anterior, cualquier otra ruta desde el pueblo A al pueblo B se puede transformar en una polilínea que conecte A' y B'. Todas sus longitudes son más largas que el segmento de línea A'B'. Entonces la distancia de A a A → B → B es la más corta.
13. Como se muestra en la Figura 1-98. Debido a que OC y OE son las bisectrices de los ángulos de ∠AOD y ∠DOB respectivamente, y ∠AOD ∠DOB=∠AOB=180,
Entonces ∠ Coe = 90.
Porque ∠ COD = 55,
Entonces ∠ DOE = 90-55 = 35.
Por lo tanto, el ángulo suplementario de ∠DOE es
180 -35 =145.
14. Porque Be biseca a ABC,
∠CBF = ∠ABF,
Porque ∠CBF = ∠CFB,
Entonces ∠ABF = ∠CFB
Por lo tanto
AB‖CD (los ángulos internos de dislocación son iguales y las dos rectas son paralelas).
∠ABC dividido por ∠CBF = 55 es igual a BE, entonces
∠ABC=2×55 =110. ①
AB‖CD es conocido en la Bolsa de Valores de Shanghai, por lo que
∠EDF=∠A=70, ②
Conocido por ① y ②
BC‖AE (los ángulos interiores de un mismo lado son complementarios y las dos rectas son paralelas).
15. Como se muestra en la Figura 1-100. EF ⊥ AB, CD⊥AB, entonces
∠EFB=∠CDB=90 grados,
Entonces EF‖CD (el mismo ángulo, dos rectas son paralelas). Por lo tanto
∠BEF=∠BCD (dos rectas son paralelas y los ángulos congruentes son iguales). ①También sepa que ∠ CDG = ∠ BEF. ②.
De ①, ② ∠ BCD = ∠ CDG.
Por lo tanto
BC‖DG (los ángulos internos de dislocación son iguales y las dos rectas son paralelas).
Por lo tanto
∠AGD=∠ACB (las dos rectas son paralelas y tienen el mismo ángulo).
16. En △BCD,
∠ DBC ∠ C = 90 (porque ∠ BDC = 90), ①
Y en △ABC, ∠ B= ∠C, entonces
∠A ∠B ∠C=∠A 2∠C=180,
Por lo tanto
a ①, ②
17. Como se muestra en la Figura 1-101, sea G el punto medio de DC, conectado a GE. En ΔADC, G y E son los puntos medios de CD y CA respectivamente. Entonces GE‖AD, es decir, en △BEG, DF‖GE.
Y
S△EFD = S△BFG-Saefd = 4S△BFD-Saefd,
Entonces s △ efgd = 3s △ BFD .
Supongamos que S△BFD=x, entonces SEFDG=3x.. En △BCE, G es la bisectriz del lado BC, entonces
S△CEG=S△BCEE,
S△CEG=S△BCEE,
Por lo tanto
Por lo tanto
SEFDC=3x 2x=5x,
Por lo tanto
S△BFD∶SEFDC =1 :5.
18. Como se muestra en la Figura 1-102.
Dado que se conoce AC‖KL, S△ACK=S△ACL, entonces
Eso es KF = fl.
B1 = 9, a a1=9, entonces A B C A1 B1 = 9 9, es decir, 2(a B C) = 27, lo cual es una contradicción.
20.La respuesta es no. Deje que la columna horizontal o vertical contenga k cuadrados negros y 8k cuadrados blancos, donde 0 ≤ k ≤ 8. Cuando el color de los cuadrados cambia, obtienes 8k cuadrados negros yk cuadrados blancos. Por lo tanto, después de una operación, el número de cuadrados negros "aumenta" (8-k)-k=8-2k, es decir, aumenta en 1.
21. Un número primo p mayor que 3 sólo puede tener la forma 6k 1 y 6k 5.
Si p = 6k 1 (k ≥ 1), entonces p 2 = 3 (2k 1) no es un número primo, entonces, p
22 De la condición n = 75k = 3× 52× k. , se puede ver que para hacer n lo más pequeño posible, puede establecer n=2α3β5γ (β≥1, γ≥2) y tener
(α 1)(β 1)(γ 1) =75.
Entonces, α 1, β 1 y γ 1 son todos números impares, y α, β y γ son todos números pares. Por lo tanto, γ = 2. En este momento,
(α 1)(β 1)=25.
Por lo tanto
Por lo tanto, (α, β) = (0, 24) , O (α, β) = (4, 4), es decir, n = 20.324.52.
23. Hay taburetes X y sillas Y.
3x 4y 2(x y)=43,
Es decir, 5x 6y = 43.
Entonces x=5 e y=3 son las únicas soluciones enteras no negativas, por lo que hay 8 personas en la habitación.
24. La ecuación original se puede simplificar a
7x-8y 2z=5.
Supongamos 7x-8y=t, t 2z = 5. Es fácil ver que x=7t, y=6t es el conjunto de soluciones enteras de 7x-8y = t, por lo que todas sus soluciones enteras son
Y t=1 y z=2 son t 2z = Un conjunto de soluciones enteras de 5. Todas sus soluciones enteras son
Sustituyendo la expresión de t en las expresiones de x e y, obtenemos todas las soluciones enteras de la ecuación original de la siguiente manera
25. Hay 8 métodos de selección para la primera posición y solo 7 métodos de selección para la segunda posición... Según el principio de multiplicación, hombres y mujeres tienen métodos diferentes.
8×7×6×5×4×3×2×1=40320
Hay dos disposiciones diferentes. Existe una relación de posición relativa entre las dos columnas, por lo que hay 2 × 403202 ** situaciones diferentes.
(2) Considere las cuestiones de emparejamiento una por una.
Hay 8 situaciones posibles para emparejar con el macho A, y 7 situaciones diferentes para emparejar con el macho B,..., las dos columnas se pueden intercambiar, por lo que * * * Sí.
2×8×7×6×5×4×3×2×1=80640
Diferentes situaciones.
26. Cinco diezmilésimas.
4×3×2×1=24 (piezas).
Son cuatro decenas de miles.
4×3×2×1=24 (piezas).
El número de miles es 3, el número de miles solo puede ser 5 o 4, el número de miles es 3×2×1=6, el número de miles es 4 de la siguiente manera:
34215, 34251, 34512, 34521.
Entonces, siempre hay * * *
24 24 6 4=58
Este número es mayor que 34152.
27. La distancia recorrida por dos vehículos es la suma de las longitudes de los dos vehículos, es decir,
92 84 = 176 (metros).
Supongamos que la velocidad del tren A es x metros/segundo, la velocidad del tren B es y metros/segundo, la velocidad de los dos vagones que viajan en dirección opuesta es x y; viajando en la misma dirección es X-Y.
Obtén la solución
X=9(días), x 3 = 12(días).
X=16 (millas náuticas/hora).
Después de la inspección, x=16 nudos es la velocidad original.
30. El año pasado, los talleres A y B planearon lograr ganancias fiscales de X millones e Y millones respectivamente.
Obtenga la solución
Por lo tanto, el Taller A superó la ganancia fiscal.
El taller b sobrecumplió las ganancias fiscales.
Por lo tanto, A* * * completó una ganancia fiscal de 400 60 = 460 (diez mil yuanes), y B * * * completó una ganancia fiscal de 350 35 = 385 (diez mil yuanes).
31. Supongamos que los precios unitarios originales de los dos productos son X yuanes e Y yuanes respectivamente, que se pueden obtener según el significado de la pregunta.
Teniendo
0,9x 1,2y=148,5, ③
Obtén X=150-y de ① y sustitúyelo en ③.
0.9(150-y) 1.2y = 148.5,
El resultado de la solución es y=45 (yuanes), entonces x=105 (yuanes).
32. Supongamos que cada cepillo de dientes costó X yuanes el año pasado. Veamos qué significa la pregunta.
2×1.68 2(x 1)(1 30)=[2x 3(x 1)]-0.4,
Es decir,
2× 1,68 2×1,3 2×1,3x = 5x 2,6,
Es decir, 2,4x = 2,4x=2×1,68,
Entonces x=1,4 (yuanes).
Si y es el precio de cada pasta de dientes el año pasado, entonces y = 1,4 1 = 2,4 (yuanes).
33. El beneficio original es 4×400=1600 yuanes. Si el precio por pieza se reduce en X yuanes, entonces cada pieza aún puede obtener una ganancia de (4-x) yuanes, donde 0 < x < 4. Dado que se pueden vender (400 200x) piezas todos los días después de la reducción de precio, si la ganancia diaria se establece en Y yuanes, entonces
y=(4-x)(400 200x)
= 200(4-x)(2 x)
=200(8 2x-x2)
=-200(x2-2x 1) 200 1600
=-200(x-1)2 1800.
Por lo tanto, cuando x=1, el valor máximo de Y=1800 (yuanes). Es decir, cuando el precio de cada artículo se reduce en 1 yuan, el beneficio máximo es de 1.800 yuanes. En ese momento, se vendieron 200 yuanes más que antes, por lo que las ganancias aumentaron en 200 yuanes.
34. Supongamos que B tarda x minutos en alcanzar a A. Luego A necesita caminar (25 x) minutos hasta el lugar donde lo adelantan. Entonces las distancias recorridas por A y B son. 0,4 (25 x) km y 0,6 x km. Porque caminan del mismo modo,
0,4(25 x)=0,6x,
X=50 minutos. Por lo tanto
Izquierda = 0,4 (25 50) = 30 (km),
Derecha = 0,6×50=30 (km),
En otras palabras, B tardó 50 minutos en caminar 30 kilómetros antes de alcanzar a A. Pero solo hay 28 kilómetros entre A y B. Por lo tanto, B no puede alcanzar a A hasta la ciudad B.
35. Según el significado de la pregunta, supongamos que la nueva aleación contiene la primera aleación x (g), la segunda aleación y y la tercera aleación z.
(2) Cuando x = 0, y = 250, y es el más pequeño en este momento, cuando z = 0, y = 500 es el más grande, es decir, 250≤y≤500; segundo tipo de aleación nueva. El rango de peso de la aleación y es: mínimo 250 g, máximo 500 g.
(3) En la nueva aleación, el peso del manganeso es:
x 40 y 10 z 50=400-0.3x,
y 0≤ x ≤500, por lo que el rango de peso de manganeso en la nueva aleación es: mínimo 250 gramos, máximo 400 gramos.
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