【Urgente】¿Cuáles son las aplicaciones profesionales del cálculo?
Palabras clave: cálculo; análisis marginal; costo; ganancia; valor mínimo?
1 ¿Cuál es la aplicación de los derivados en el análisis económico?
1.1 ¿Cuál es la aplicación del análisis marginal en el análisis económico?
1.1.1 ¿Demanda marginal y oferta marginal?
Supongamos que la función de demanda Q=f(p) es diferenciable en el punto p (donde Q es la demanda y p es el precio del producto), ¿cuál es su función marginal Q? =f? (p) se denomina función de demanda marginal, denominada demanda marginal. De manera similar, si la función de oferta Q=Q(P) es diferenciable (donde Q es la cantidad de oferta y P es el precio del producto), su función marginal Q=Q(p) se llama función de oferta marginal, o oferta marginal para abreviar. . ?
1.1.2 ¿Función de coste marginal?
Función de coste total C=C(Q)=C? C? 1(Q); función de costo promedio = (q) = c(q)q; función de costo marginal c? =¿C? (preguntar). ¿do? (Q? 0) cuando la salida es q? 0, su importancia económica es: ¿cuándo la producción alcanza Q? 0. Si se aumenta o disminuye una unidad de producto, ¿el costo aumentará o disminuirá en C? '? (Q? 0) unidades. ?
1.1.3 ¿Función de ingreso marginal?
Función ingreso total r = r(q); función ingreso promedio = (q); función ingreso marginal r' = r' (q).
R'(Q? 0) se llama cuando el volumen de ventas del producto es q? El ingreso marginal es 0. Su importancia económica es: ¿cuándo el volumen de ventas llega a Q? 0. Si aumenta o disminuye una unidad de producto, ¿los ingresos aumentarán o disminuirán R? '(Q? 0) unidades. ?
1.1.4 ¿Función de beneficio marginal?
Función de beneficio L = L(Q)= R(Q)-C(Q); función de beneficio promedio =(Q) función de beneficio marginal L'=L'(Q)=R'(Q); )-C'(Q). La salida de L'(Q?0) es q? 0, su importancia económica es: ¿cuándo la producción alcanza Q? 0. Cada vez que se aumenta o disminuye una unidad de producto, la ganancia aumentará o disminuirá en L'(Q? 0) unidades en consecuencia. ?
Ejemplo 1 El costo total C (miles de yuanes) de la producción mensual de Q (toneladas) de productos de una empresa es función de la producción Q, ¿C (Q) = Q? 2-10Q+20. Si el precio de venta de cada tonelada de producto es de 20.000 yuanes, se requiere una producción mensual de 10 toneladas, 15 toneladas y 20 toneladas de beneficio marginal. ?
Solución: La función de ingresos totales de producir q toneladas de productos por mes es:?
R(Q)=20Q?
¿L(Q)=R(Q)-C(Q)=20Q-(Q?2-1Q+20)?
=-P? 2+30T-20?
L'(Q)=(-Q?2+30Q-20)'=-2Q+30?
¿Cuáles son las ganancias marginales para una producción mensual de 10 toneladas, 15 toneladas y 20 toneladas?
l '(10)=-2×130 = 10 (mil yuanes/tonelada);?
L'(15)=-2×15+30=0 (mil yuanes/tonelada);?
L'(20)=-2×230=-10 (mil yuanes/tonelada);?
Los resultados anteriores muestran que cuando la producción mensual es de 65.438+00 toneladas, si la producción aumenta en 65.438+00 toneladas, la ganancia aumentará en 65.438+00.000 yuanes cuando la producción mensual es de 15 toneladas. si la producción aumenta en 1 tonelada, la ganancia no aumentará; cuando la producción mensual sea de 20 toneladas, si la producción aumenta en 1 tonelada, la ganancia disminuirá en 10.000 yuanes. ?
Obviamente, las empresas no pueden aumentar sus ganancias aumentando la producción, entonces, ¿qué tipo de producción se debe mantener para maximizar las ganancias? ?
1.2 ¿Aplicación de la elasticidad en el análisis económico?
1.2.1 ¿Función de elasticidad?
Supongamos que la función y=f(x) es diferenciable en el punto X, la relación entre el cambio relativo de la función δYY = f(X+δX)-f(X)y y el cambio relativo de la variable independiente δxx, δX El límite cuando →0 se llama tasa de cambio relativa de la función y=f(x) en el punto X, o función elástica.
¿Recuerdas EyeEx? OjoEx=? ¿lím? δx→0
? Δ?yy? Δ?xx=? ¿lím? δx→0? Δ?y? Δ?x.xy=f'(x)xf(x)
¿En el punto x=x? 0, el valor de la función elástica Ef(x?0)Ex=f'(x?0)xf(x?0) en el punto x=x se llama f(x)? Cuando el valor de la elasticidad es 0, se llama elasticidad. EE.UU.? xf(x?0)% significa en el punto x=x? 0. Cuando X cambia en un 1%, f(x) cambia aproximadamente EE? xf(x?0)%. ?
1.2.2 ¿Elasticidad de la demanda?
En economía, la tasa relativa de cambio de la demanda respecto del precio se llama elasticidad de la demanda. ?
En cuanto a la función de demanda Q=f(P) (o P=P(Q)), ya que la función de demanda del bien Q=f(p) (o P=P(Q)) es una función monótonamente decreciente, δ p y δ q tienen signos diferentes, por lo que la función de elasticidad de la demanda respecto del precio se define especialmente como η (p) =-f' (p).
Ejemplo 2 Supongamos que la función de demanda de un determinado bien es Q=e-p5. , encuentre (1) la función de elasticidad de la demanda; (2) la elasticidad de la demanda cuando p = 3, p = 5, p = 6. ?
Solución: (1)η(p)=-f '(p)PF(p)=-(-15)E-P5? . pe-p5? =p5?
(2)η(3)=35=0.6;η(5)=55=1;η(6)=65=1.2?
η(3)= 0.6 <1, significa que cuando P = 3, el precio aumenta un 1%, la demanda solo disminuye un 0,6% y la magnitud del cambio en la demanda es menor que la magnitud del cambio de precio. ?
η(5)=1, lo que significa que cuando P=5, el precio aumenta un 1%, la demanda disminuye un 1% y el precio y la demanda cambian en la misma medida. η(6)= 1,2>1, lo que significa que cuando P=6, el precio aumenta un 1%, la demanda disminuye un 1,2% y la magnitud del cambio en la demanda es mayor que la magnitud del cambio de precio. ?
1.2.3 ¿Elasticidad ingreso?
El ingreso r es el producto del precio del producto p y el volumen de ventas q, es decir.
R=PQ=Pf(p)?
r ' = f(p)+pf '(p)= f(p)(1+f '(p)pf(p))= f(p)(1-η)?
Por tanto, la elasticidad renta es erep = r' (p). PR(p)= f(p)(1-η)PPF(p)= 1-η.
?
De esta forma se deriva la relación entre la elasticidad ingreso y la elasticidad de la demanda: en cualquier nivel de precios, la suma de la elasticidad ingreso y la elasticidad de la demanda es igual a 1. ?
(1) Si η;0 el precio aumenta (o disminuye) en un 1%, el ingreso aumenta (o disminuye) en un 1-η)%;?
(2) Si eta>1, entonces Erep
(3) Si eta=1, entonces EREP=0, el precio cambia un 1% y el ingreso permanece sin cambios. ?
1.3 ¿Cuáles son las aplicaciones de los valores máximos y mínimos en los problemas económicos?
La optimización es el núcleo de las actividades de gestión económica. Varios problemas de optimización son también uno de los temas más preocupantes en el cálculo, como minimizar costos, maximizar beneficios, maximizar ganancias y minimizar gastos bajo ciertas condiciones, etc. . A continuación se presentan algunas aplicaciones de la función máxima en la optimización de la eficiencia económica. ?
1.3.1 ¿Cuestión de coste mínimo?
Ejemplo 3 ¿Supongamos que la función de costo total de una fábrica que produce x unidades de un determinado producto en cada lote es c(x)=mx? 3-nx? 2+px, (constante m & gt0, n & gt0, p & gt0), (1) ¿Cuántas unidades se deben producir en cada lote para minimizar el costo promedio? (2) Encuentre el costo promedio mínimo y el costo marginal correspondiente. ?
Solución: (1) Costo promedio (X) = C (x) x = mx? 2-nx+p,? do'? =2mx-n?
¿Pedido? do'? , x=n2m, y? c' '? (x)= 2m>0. Por lo tanto, el costo promedio se minimiza cuando se producen n2 millones de unidades por lote.
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(2)(n2m)=m(n2m)? 2-n(n2m)+p=(4mp-n?24m), y C'(x)=3mx? 2-2nx+p，C'(n2m)=3m(n2m)? 2-2m(n2m)+p=4mp-n? 24mEntonces, el costo promedio mínimo es igual a su costo marginal correspondiente. ?
1.3.2 ¿Cuestión de máximo beneficio?
El ejemplo 4 supone que el costo fijo de producir un producto es 60.000 yuanes, el costo variable es 20 yuanes por pieza y la función de precio p=60-Q1000 (Q es el volumen de ventas). Suponiendo que la oferta y la demanda están equilibradas, pregunte cuál será la producción y el beneficio será máximo. ¿Cuál es el beneficio máximo? ?
Solución: ¿La función de coste total del producto C(Q)=600020Q?
Función de beneficio r(Q)= PQ =(60-Q 1000)Q = 60Q-Q? ¿21000?
¿Entonces la función de ingreso L(Q)=R(Q)-C(Q)=-Q? 210040Q-60000?
L'(Q)=-1500Q+40, suponiendo L'(Q)=0, ¿obtenemos Q=20000?
∫L ' '(Q)=-1500 & lt; Cuando 0∴Q=2000, l es el más grande, ¿L (2000) = 340.000 yuanes?
Por tanto, al producir 20.000 productos, el beneficio máximo es de 340.000 yuanes.
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2. ¿Cuáles son las aplicaciones de los puntos en la economía?
En gestión económica, la función total (función original) generalmente se resuelve utilizando una integral indefinida o una integral definida con un límite superior variable, si se encuentra que la función total cambia dentro de un cierto rango, la función total (función original) generalmente se resuelve utilizando una integral indefinida o una integral definida con un límite superior variable; Para resolverlo se utiliza la integral definida. ?
Ejemplo 5 Supongamos que el costo marginal de producir el producto X es C=102x y su costo fijo es C. 0=1000 yuanes, el precio unitario del producto se especifica en 500 yuanes. Suponiendo que los productos producidos se pueden vender por completo, ¿cuál es la ganancia máxima cuando se pregunta por la producción? Encuentre el beneficio máximo. ?
Solución: ¿Qué es la función de coste total?
C(x)=∫x0(102t)dt+C(0)= 100 x+x? ¿2+1000?
¿La función de ingresos totales es R(x)=500x?
¿Beneficio total L(x)=R(x)-C(x)=400x-x? 2-1000, L'=400-2x, sea L'=0, x=200, porque l' (200)
Este artículo utiliza la integral definida para analizar que maximizar el beneficio no significa que el aumento en la producción definitivamente aumentará las ganancias. Sólo organizando racionalmente el volumen de producción se pueden obtener beneficios totales. ?
En resumen, es muy necesario que los operadores empresariales realicen análisis cuantitativos de sus conexiones económicas. El uso de las matemáticas como herramienta de análisis no solo puede proporcionar a los operadores comerciales valores numéricos precisos, sino también nuevas ideas y perspectivas durante el proceso de análisis. Esta es también una manifestación concreta de la aplicación de las matemáticas. Por lo tanto, como empresario cualificado, debemos dominar los métodos de análisis matemático correspondientes para proporcionar una base fiable para las decisiones comerciales científicas.