Prueba y corolario de la identidad de la matriz de Woodbury

Entre ellos, , , , son reversibles. Por conveniencia, asumimos que es , es , es y es .

Primero considere, multiplicamos a la derecha, tenemos:

Para establecer una conexión con la expresión correcta, multiplicamos a la derecha, tenemos:

?

Ya que es reversible, entonces:

Ya que es reversible, entonces:

Para Conectado al lado izquierdo de la identidad de Woodbury, también encontramos que el término de la derecha se multiplica por la derecha. La idea natural es que formaremos:

Después de multiplicar por la derecha, aparece El término del lado derecho de la ecuación se obtiene:

Ahora es obvio que en Para que coincida el término del lado derecho, debemos multiplicar hacia el izquierdo, así tenemos:

Simplemente mueve los elementos, ahí están:

La prueba está completa.

Siempre que esté claro que la inversa de tiene la forma de , la identidad de la matriz de Woodbury se puede derivar resolviendo la ecuación sobre . La siguiente es la idea de solución de un blogger:

● Cuando la suma es la matriz unitaria, la identidad de la matriz de Woodbury puede convertirse en:

Esta ecuación puede piense en:

?

y la ecuación de transferencia:

La prueba de esta desigualdad solo requiere multiplicación por la izquierda, extraiga los factores comunes y simplificar. Por supuesto, la identidad de la matriz de Woodbury también se puede obtener combinando estas dos ecuaciones.

● Cuando la suma es la matriz identidad, la matriz identidad de Woodbury puede convertirse en:

Simplificando se puede obtener:

La idea de la prueba es combinar el segundo término de la derecha, expandir y simplificar ambos lados, y podrás conseguirlo.

● Teorema de Sherman-Morrison (teorema de corrección de rango 1)

Supongamos que es invertible, vector, si, entonces la matriz de corrección de rango 1 es invertible y su inversa La matriz es:

Para la generalización de este teorema, consulte estos dos artículos:

● Para el método cuasi-Newton, consulte el artículo escrito por este blogger: