Anotaciones de sombreador: conceptos básicos de matemáticas 3D
Normalmente, las coordenadas del origen son (0, 0).
Si todas las coordenadas se gestionan juntas, forman un sistema de coordenadas. Un sistema de coordenadas completo contendrá el origen, la dirección y las coordenadas.
Existen muchos tipos de sistemas de coordenadas implicados en 3D, que se pueden distinguir por su tamaño. Todos los sistemas de coordenadas se pueden dividir en sistemas de coordenadas rectangulares planos y sistemas de coordenadas rectangulares espaciales.
En el sistema de coordenadas espaciales, según las diferentes direcciones de coordenadas, se puede dividir en sistema de coordenadas para zurdos y sistema de coordenadas para diestros.
Si el pulgar está colocado en el eje X, el dedo índice está colocado en el eje Y y el dedo medio está colocado en el eje Z, el sistema de coordenadas de las manos izquierda y derecha. es el siguiente:
En matemáticas, las coordenadas son escalares, solo indica el tamaño, no la dirección.
Un vector que puede expresar información tanto de longitud como de dirección se llama vector o "vector". Vector normal de vértice, vector tangente, etc. Todos son vectores.
Suponiendo que el punto inicial del vector bidimensional A es A y el punto final es B, el vector A se puede calcular restando las coordenadas de A de las coordenadas de B.
El vector bidimensional La fórmula de cálculo de A es la siguiente:
Si la fórmula se extiende al espacio tridimensional, suponiendo el punto inicial A y el punto final B del vector bidimensional vector A, la fórmula de cálculo del vector tridimensional A es la siguiente:
Si dos vectores están en direcciones opuestas si son iguales en longitud pero de dirección opuesta.
El vector inverso del vector cero es él mismo.
Desde un punto de vista geométrico, tomando el punto inicial de un vector como punto final y el punto final original como punto inicial, el vector final es el reverso del vector original.
Supongamos que el punto inicial A y el punto final B del vector A, y el vector opuesto B de A, se expresan de la siguiente manera:
El vector contiene longitud y dirección, y la longitud del vector se llama módulo del vector. Por ejemplo, el módulo del vector a se expresa como |a|.
Como se muestra en la figura, mediante el teorema de Pitágoras, podemos obtener
La fórmula de cálculo de la longitud del módulo del vector bidimensional A es:
Como Como se muestra en la figura, mediante el teorema de Pitágoras cuadrático, obtenemos
"Vector unitario" se refiere a un vector con longitud de módulo 1.
En muchos casos, la dirección del vector es más digna de atención que la longitud del vector, como la dirección de la luz y la dirección de visión de la cámara. Para facilitar el cálculo, este vector se puede transformar en un vector unitario. Este proceso de transformación se denomina normalización de vectores.
Desde un punto de vista algebraico, dividir un vector distinto de cero por su propia longitud puede escalar su propia longitud a 1. Un vector cero tiene longitud 0 y no tiene significado matemático como dividendo.
Por lo tanto, el vector normalizado del vector A distinto de cero es:
En comparación con el vector original, el vector unitario solo cambia su longitud y su dirección permanece sin cambios.
Desde un punto de vista geométrico, la suma de vectores satisface la ley del triángulo.
La suma de vectores se puede extender a la suma de múltiples cantidades. El resultado final es desde el punto inicial del primer vector hasta el punto final del último vector, y la longitud es la distancia desde el. punto de partida hasta el punto final.
Desde una perspectiva algebraica, la suma de vectores es la suma de componentes idénticos.
La resta de vectores puede entenderse como la suma de un vector al vector opuesto de otro vector, que también satisface la regla del triángulo.
La resta de los vectores a y b se convierte en la suma de vectores opuestos.
Cuando se restan dos vectores con el mismo punto inicial, el vector resultante es el punto final de la misma; segundo vector que apunta al El punto final de un vector, cuya longitud es la distancia entre los dos extremos.
Desde una perspectiva algebraica, restar vectores significa restar los mismos componentes. La fórmula de cálculo es la siguiente:
Multiplicar un vector por un escalar puede producir el efecto de escalamiento vectorial. Como se muestra en la figura:
Suponiendo que el vector a = (x, y, z), la fórmula para escalar el vector k veces es:
El producto escalar de los vectores a y b es registrado como a.b.
En álgebra, el producto escalar también se llama producto interno. El resultado del producto escalar de dos vectores es la suma de la multiplicación de todos los componentes correspondientes. El resultado del producto escalar es un valor numérico.
La fórmula de cálculo del producto escalar es:
En geometría, el resultado del producto escalar de dos vectores es la longitud de la proyección de un vector sobre el otro vector y la longitud de este producto vectorial.
La fórmula de cálculo del producto escalar es:
El producto vectorial de vectores también se llama producto exterior y el resultado del producto vectorial es un vector.
El producto cruzado de los vectores a y b se escribe como a × b.
La fórmula de cálculo del producto vectorial es:
En geometría, el vector obtenido por el producto vectorial es perpendicular al plano donde se encuentran A y B, y su longitud es igual al paralelogramo compuesto por los vectores A y B El área se llama vector normal. Como se muestra en la figura:
Suponiendo que los dos vectores del producto vectorial están invertidos, la dirección del vector obtenido por el producto vectorial de B y A será hacia abajo.
Los algoritmos vectoriales más utilizados son los siguientes:
Los vectores se pueden representar mediante matrices dispuestas horizontalmente. Suponiendo que matrices de las mismas dimensiones están dispuestas verticalmente, la matriz final es una matriz.
La dimensionalidad de un vector representa el número de números contenidos en el vector. De manera similar, las dimensiones de una matriz representan el número de filas y columnas contenidas en la matriz. R (la abreviatura de R (sin formato)) se usa generalmente para representar el número de filas, C (la abreviatura de C (columna)) se usa para representar el número de columnas y la matriz en sí está representada por una letra mayúscula en cursiva negra. letra, como m.
Una matriz m de 3×3 y todos sus componentes correspondientes se pueden expresar de la siguiente manera:
Una matriz con el mismo número de filas y columnas se llama cuadrado matriz.
El número de filas y columnas en una matriz cuadrada. Los componentes con números iguales se denominan elementos diagonales y los demás componentes se denominan elementos no diagonales. Una matriz cuyos elementos no diagonales son todos. cero se llama matriz diagonal.
En una matriz diagonal, los elementos de la diagonal son. Una matriz que es todo 1 se llama matriz identidad.
Cuando se multiplica cualquier matriz. mediante una matriz identidad, el resultado final es el mismo que el de la matriz original.
Supongamos que una matriz m de r×c está diagonalizada y la nueva matriz resultante se llama matriz transpuesta de la matriz m.
La regla importante de transponer una matriz: transponer una matriz y luego transponerla, la matriz resultante es la misma que la matriz original, la fórmula es la siguiente:
Al igual que el vector, la matriz también se puede multiplicar por un escalar y no es necesario escribir un símbolo de operación en el medio. El resultado de la multiplicación tiene la misma dimensión que la matriz original. por este escalar de la siguiente manera:
Dos matrices se pueden multiplicar juntas cuando el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz. y el número de columnas de la segunda matriz.
En los sombreadores, los vectores también se pueden multiplicar por matrices. Para la multiplicación, los vectores se pueden tratar como matrices de 1 fila o 1 columna. p>El vector (x, y, z) se puede escribir horizontalmente como una matriz de 1×3, llamada vector fila:
También se puede escribir como una matriz de 3×1, llamada vector columna :
El significado geométrico de la multiplicación de vectores y matrices es realizar la transformación espacial de vectores.
En 3D, todas las transformaciones se completan mediante matrices, incluidas la traslación, la rotación y el escalado. la conversión entre espacios de coordenadas también se realiza mediante matrices
Supongamos el vector v = (x, y, z), que se puede expresar como
Supongamos dos coordenadas de un sistema de coordenadas plano. Los vectores son p = (1, 0) y q = (0, 1) respectivamente, y giran en sentido antihorario alrededor del origen, como se muestra en la siguiente figura:
Las direcciones de rotación en el sentido izquierdo y derecho Los sistemas de coordenadas de la mano son completamente diferentes. La forma de determinar la dirección de rotación en los dos sistemas de coordenadas es estirar la mano correspondiente al sistema de coordenadas, sostener el eje giratorio y mantener la dirección del pulgar consistente con la dirección positiva del. eje de rotación, y los otros cuatro dedos están orientados en la dirección de rotación positiva, como se muestra en la figura que la dirección indicada por la flecha de arco es la dirección de rotación positiva del sistema de coordenadas de la derecha. p>Las direcciones de rotación correspondientes a los sistemas de coordenadas izquierdo y derecho se resumen a continuación:
Aquí solo se explica la rotación alrededor del eje de coordenadas
Girar el sistema de coordenadas espaciales. el eje X. La dirección de rotación en el sistema de coordenadas espaciales es como se muestra a continuación:
Todas las coordenadas en el eje X no cambiarán al observar el sistema de coordenadas desde la dirección positiva a la dirección negativa. del eje Y y del eje Z es exactamente el mismo que el sistema de coordenadas del plano, como se muestra en la figura:
La matriz de transformación del ángulo de rotación final alrededor del eje X es:
La dirección de rotación del sistema de coordenadas espaciales alrededor del eje Y es como se muestra en la siguiente figura:
Observando el sistema de coordenadas desde la dirección positiva del eje Y hasta la dirección negativa, la rotación del eje X y el eje Z se muestra en la siguiente figura:
p>La dirección de rotación del sistema de coordenadas espaciales alrededor del eje Z se muestra en la siguiente figura:
Observando el sistema de coordenadas desde la dirección positiva del eje Z hasta la dirección negativa, la rotación de los ejes X e Y se muestra en la siguiente figura: