Esquema del examen de posgrado de Matemáticas II 2010
Estructura del examen (1) La puntuación total del examen es 150 y el tiempo del examen es 180 minutos. (2) La proporción de contenido en la educación superior es de aproximadamente 80, el álgebra lineal es de aproximadamente 20 (3) La proporción de preguntas para completar espacios en blanco y preguntas de opción múltiple es de aproximadamente 40, y la proporción de preguntas de solución (incluidas preguntas de prueba) es aproximadamente 60.
Esquema 2 del examen nacional de ingreso a graduados en Matemáticas
[Asignaturas de prueba] Matemáticas avanzadas, Álgebra lineal,
Matemáticas avanzadas.
1. Funciones, límites y continuidad
Contenido del examen
Concepto y representación de funciones
Acotación y monotonicidad de funciones Sexualidad, periodicidad y paridad
Funciones compuestas, funciones inversas, funciones por partes y funciones implícitas.
Propiedades y gráficas de funciones elementales básicas
Funciones elementales
Establecimiento de relaciones funcionales en problemas de aplicación simples
Límites de secuencia y límites de función La definición y las propiedades de
Los límites izquierdo y derecho de las funciones
Los conceptos y relaciones de infinitesimales e infinitos
Las propiedades de infinitesimales y comparaciones de infinitesimales
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Cuatro operaciones aritméticas de límites
Hay dos criterios para la existencia de límites: el criterio acotado monótono y el criterio de pellizco.
Dos limitaciones importantes
El concepto de continuidad funcional
Tipos de discontinuidades de funciones Continuidad de funciones elementales
Intervalos cerrados Propiedades de funciones continuas
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de funciones, dominar la representación de funciones y establecer relaciones funcionales en preguntas de aplicación sencillas.
2.Comprender la acotación, la monotonicidad, la periodicidad y la impar-paridad de funciones.
3.Comprender los conceptos de funciones compuestas y funciones por trozos, así como los conceptos de funciones inversas y funciones implícitas.
4. Dominar las propiedades y gráficos de funciones elementales básicas y comprender los conceptos básicos de funciones elementales.
5. Comprender el concepto de límites, los conceptos de límites izquierdo y derecho de funciones y la relación entre la existencia de límites de funciones y los límites izquierdo y derecho.
6. Dominar las propiedades de los límites y cuatro algoritmos.
7. Domine los dos criterios para la existencia de límites, úselos para encontrar límites y domine el método de usar dos límites importantes para encontrar límites.
8. Comprender los conceptos de infinitesimales e infinitos, dominar el método de comparación de infinitesimales y utilizar infinitesimales equivalentes para encontrar límites.
9.Comprender el concepto de continuidad de función (incluyendo continuidad por izquierda y continuidad por derecha), y ser capaz de distinguir los tipos de puntos de discontinuidad de función.
10.Comprender las propiedades de funciones continuas y la continuidad de funciones elementales, comprender las propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados (acotación, teorema del valor máximo, teorema del valor medio) y aplicar estas propiedades.
2. Cálculo diferencial de funciones de una variable
Contenido del examen. Conceptos de derivadas y diferenciales La relación entre los significados geométricos y físicos de las derivadas y la diferenciabilidad y continuidad de funciones las tangentes y normales de curvas planas, las derivadas y diferenciales de funciones elementales básicas, las cuatro operaciones aritméticas, funciones compuestas, funciones inversas, funciones implícitas, parámetros El método diferencial de la función determinada por la ecuación, el diferencial de primer orden de la derivada de orden superior, el teorema del valor medio diferencial invariante, el valor extremo de la función, la ley de L'Bida, la monotonicidad de la función, la concavidad, convexidad, punto de inflexión y asíntota de la gráfica de la función, el valor máximo de la función y el radio de curvatura conceptual de la curvatura diferencial de arco mínimo.
Requisitos del examen
1. Comprender los conceptos de derivadas y diferenciales, comprender la relación entre derivadas y diferenciales, comprender el significado geométrico de las derivadas, encontrar la ecuación tangente y la ecuación normal de a. curva plana y comprender el significado físico de las derivadas, usar derivadas para describir algunas cantidades físicas y comprender la relación entre la diferenciabilidad de funciones y la continuidad.
2. Dominar los cuatro algoritmos de derivadas y las reglas de derivación de funciones compuestas, y dominar las fórmulas de derivación de funciones elementales básicas. Una vez que conozcas los cuatro algoritmos de diferenciación y la invariancia de la forma diferencial de primer orden, podrás encontrar el diferencial de la función.
3. Comprender el concepto de derivadas de orden superior y encontrar la derivada de orden n de una función simple.
4. Encuentra la primera y segunda derivada de la función por partes.
5. Encontrar funciones implícitas, funciones determinadas por ecuaciones paramétricas y derivadas de funciones inversas.
6. Comprender y utilizar el teorema de Rolle, el teorema de la media de Lagrange y el teorema de Taylor para comprender el teorema de la media de Cauchy.
7. Comprender el concepto de valor extremo de una función, dominar el método para juzgar la monotonicidad de una función y usar derivadas para encontrar el valor extremo de una función, dominar el método para encontrar el máximo y Valor mínimo de una función y su aplicación sencilla.
8. Podemos usar derivadas para juzgar la concavidad y convexidad del gráfico de la función, encontrar los puntos de inflexión y las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas del gráfico de la función y describir el gráfico de la función.
9. Dominar el método de encontrar el límite de fórmulas indeterminadas utilizando la ley de L'Hôpital.
10.Comprender los conceptos de curvatura y radio de curvatura, y calcular curvatura y radio de curvatura.
3. Cálculo integral de funciones de una variable
Los conceptos de funciones primitivas e integrales indefinidas, las propiedades básicas de las integrales indefinidas, las fórmulas integrales básicas de las integrales definidas, el valor medio. teorema, los conceptos y propiedades básicas de las integrales definidas y el límite superior de las integrales Funciones y sus derivadas Fórmulas de Newton-Leibniz Integrales indefinidas y definidas, integrales por sustitución y fórmulas racionales de integrales por partes Funciones racionales y trigonométricas y aplicaciones de integrales generalizadas. integrales Integrales definidas de funciones irracionales simples.
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de función original y los conceptos de integral indefinida e integral definida.
2. Dominar las fórmulas básicas de las integrales indefinidas, las propiedades de las integrales indefinidas y de las integrales definidas, el teorema del valor medio de las integrales definidas y dominar los métodos de integración del método de sustitución y del método de integral por partes.
3. Ser capaz de encontrar integrales de funciones racionales, fórmulas racionales de funciones trigonométricas y funciones irracionales simples.
4. Comprender el papel del límite superior de integración, encontrar sus derivadas y dominar la fórmula de Newton-Leibniz.
5. Una vez que conozcas el concepto de integral generalizada, podrás calcular la integral generalizada.
6. Comprender el método de cálculo aproximado de la integral definida.
7. Dominar algunas cantidades geométricas y físicas (el área de una figura plana, la longitud del arco de una curva plana, el volumen y área lateral de un cuerpo en rotación, el área de una sección paralela, volumen tridimensional conocido, trabajo, gravedad y presión) El valor promedio de la función suma se expresa y calcula usando la integral definida.
4. Cálculo de funciones multivariadas
El concepto de funciones multivariadas, el significado geométrico de funciones binarias, el concepto de límites y continuidad de funciones binarias y el concepto de funciones multivariadas en regiones cerradas acotadas El concepto y cálculo de derivadas parciales internas, los conceptos de valores extremos y valores extremos condicionales de derivadas parciales de segundo orden de funciones multivariadas, propiedades y cálculos básicos, valores máximos y valores mínimos
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de funciones multivariadas y el significado geométrico de las funciones binarias.
2.Comprender los conceptos de límite y continuidad de funciones binarias, así como las propiedades de funciones binarias continuas en regiones cerradas acotadas.
3. Conociendo los conceptos de derivadas parciales y diferenciales totales de funciones multivariadas, se pueden encontrar las derivadas parciales de primer y segundo orden de funciones compuestas multivariadas, las diferenciales totales, el teorema de existencia de funciones implícitas, y el teorema de existencia de funciones implícitas multivariadas.
4. Comprender los conceptos de valores extremos y valores extremos condicionales de funciones multivariadas, dominar las condiciones necesarias para los valores extremos de funciones multivariadas, comprender las condiciones suficientes para los valores extremos. de funciones binarias, encontrar los valores extremos de funciones binarias y usar la multiplicación de Larange Utilice métodos matemáticos para encontrar valores extremos condicionales, encontrar los valores máximos y mínimos de funciones multivariadas simples y resolver algunos problemas de aplicación simples.
5.Comprender el concepto y las propiedades básicas de las integrales dobles, y dominar los métodos de cálculo de las integrales dobles (coordenadas rectangulares y coordenadas polares). 5. Ecuaciones diferenciales ordinarias
Conceptos básicos de ecuaciones diferenciales ordinarias, ecuaciones diferenciales con variables separables, ecuaciones diferenciales homogéneas, ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, ecuaciones diferenciales reducibles de orden superior, propiedades de las soluciones y teorema de estructura de las soluciones , las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes son más altas que las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, algunas aplicaciones simples de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.
Requisitos del examen
1. Comprender conceptos como ecuaciones diferenciales y sus soluciones, órdenes, soluciones generales, condiciones iniciales y soluciones especiales.
2.Dominar la solución de ecuaciones con variables separables y ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, y ser capaz de resolver ecuaciones diferenciales homogéneas.
3. Las siguientes ecuaciones se resolverán utilizando el método de orden reducido: y (n) = f (x), y' = f (x, y') y = f'' (y, y ').
4. Comprender las propiedades de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden y los teoremas de estructura de las soluciones.
5. Dominar la solución de ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes, y ser capaz de resolver algunas ecuaciones diferenciales lineales homogéneas con coeficientes constantes superiores a segundo orden.
6. Saber utilizar polinomios, funciones exponenciales, funciones seno, funciones coseno y sus sumas y productos para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes.
7. Ser capaz de utilizar ecuaciones diferenciales para resolver algunos problemas de aplicación sencillos.
Álgebra lineal
1. Factores determinantes
Contenido del examen: El concepto y las propiedades básicas de los determinantes; el teorema de expansión de filas (columnas) de los determinantes
Requisitos del examen
1. Comprender el concepto de determinante y dominar sus propiedades.
2. Para calcular el determinante se aplicarán las propiedades de los determinantes y el teorema de expansión de determinantes.
Segundo, matriz
Contenido del examen El concepto de matriz La matriz de multiplicación de la matriz El determinante de la matriz La transpuesta de la matriz inversa Los conceptos y propiedades de la matriz son necesarios y condiciones suficientes para que la matriz sea invertible y la matriz adjunta Transformación elemental de matriz, matriz de rango equivalente a matriz elemental.
Requisitos del examen
1. Comprender los conceptos y propiedades de matrices, matrices identidad, matrices cuantificadas, matrices diagonales, matrices simétricas, matrices triangulares y matrices antisimétricas.
2.Dominar las operaciones lineales, multiplicación, transposición y reglas de operación de matrices, y comprender los determinantes de las potencias de matrices cuadradas y los productos de matrices cuadradas.
3. Comprender el concepto de matriz inversa, dominar las propiedades de la matriz inversa, las condiciones necesarias y suficientes para la reversibilidad de la matriz, comprender el concepto de matriz adjunta y utilizar la matriz adjunta para encontrar la matriz inversa.
4. Comprender el concepto de transformación de matrices elementales, comprender las propiedades de las matrices elementales y el concepto de equivalencia de matrices, comprender el concepto de rango de matriz y dominar el método de utilizar la transformación elemental para encontrar el rango de matriz. y matriz inversa.
En tercer lugar, la relación entre la combinación lineal de vectores
el vector conceptual y la correlación lineal entre el grupo de vectores de representación lineal y el grupo de vectores equivalente máximo del grupo de vectores linealmente independiente requiere el rango grupo de vectores La relación entre el rango de y el rango de la matriz.
1. Comprender los conceptos de vectores N-dimensionales, combinaciones lineales de vectores y representación lineal.
2. Comprender los conceptos de dependencia lineal e independencia lineal de grupos de vectores, y dominar las propiedades de correlación y los métodos de discriminación de la dependencia lineal y la independencia lineal de grupos de vectores.
3. Comprender el concepto de grupo linealmente independiente máximo y rango del grupo de vectores, y encontrar el grupo linealmente independiente máximo y rango del grupo de vectores.
4. Comprender el concepto de equivalencia de grupos de vectores y la relación entre el rango de una matriz y el rango de su grupo de vectores de fila (columna).
Cuarto, ecuaciones lineales
La regla de Cramer para ecuaciones lineales es una condición necesaria y suficiente para que una ecuación lineal homogénea tenga una solución distinta de cero. Una ecuación lineal no homogénea tiene una. solución. Las propiedades y estructura de las soluciones del sistema de ecuaciones lineales con condiciones necesarias y suficientes; el sistema de solución básico del sistema de ecuaciones lineales homogéneas y la solución general del sistema de ecuaciones lineales no homogéneas.
Requisitos de examen
La regla de Clem se puede utilizar para la longitud.
2.Comprender que las ecuaciones lineales homogéneas tienen soluciones distintas de cero, y que las ecuaciones lineales no homogéneas tienen condiciones necesarias y suficientes para las soluciones.
3.Comprender los conceptos de sistemas de solución básicos, soluciones generales y espacios de solución de ecuaciones lineales homogéneas, y dominar los sistemas de solución básicos y soluciones generales de ecuaciones lineales homogéneas.
4. Comprender la estructura de las soluciones de ecuaciones lineales no homogéneas y el concepto de soluciones generales.
5. Puedes utilizar transformaciones de filas elementales para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
Los valores propios y vectores propios de la matriz del verbo (verbo)
Los conceptos y propiedades de los valores propios y vectores propios de la matriz de contenido del examen son transformaciones similares, y el concepto y las matrices de propiedades son similares diagonalmente. Las condiciones necesarias y suficientes para la transformación son los valores propios, vectores propios y matrices diagonales similares de matrices simétricas reales de matrices diagonales similares.
Requisitos del examen
1. Comprenda los conceptos y propiedades de los valores propios y vectores propios de una matriz, y encontrará los valores propios y vectores propios de la matriz.
2.Comprender los conceptos y propiedades de matrices similares y las condiciones necesarias y suficientes para una diagonalización similar de matrices, y transformar las matrices en matrices diagonales similares.
3.Comprender las propiedades de los valores propios y vectores propios de matrices simétricas reales.