¿Análisis y orientación sobre los cuestionarios de la Liga Nacional de Matemáticas de la Escuela Secundaria 2008?
13 de abril de 2008 8:30-9:30 am
1. Preguntas de opción múltiple: (La puntuación total de esta pregunta es 42 puntos, cada pregunta vale 7 puntos)
1, suponiendo a ^ 2+1 = 3a, b ^ 2+1 = 3b, a ≠ b, entonces el valor de la fórmula algebraica + es ().
5 (B)7 (C)9 (D)11
2 Como se muestra en la figura, sean AD, BE y CF las tres alturas de △ABC. Si AB = 6, BC = 5, EF = 3, entonces la longitud del segmento BE es ().
(A) (B)4 (C) (D)
3 Si sacas al azar de cinco cartas con los números 1, 2, 3, 4 y 5 escritos. en ellas Dos cartas, tome el número de la primera carta como decenas y tome el número de la segunda carta como un solo dígito para formar un número de dos dígitos, entonces la probabilidad de que el número formado sea múltiplo de 3 es () .
(A) (B) (C) (D)
4. En △ABC, ∠ ABC = 12, ∠ ACB = 132, BM y CN son estas dos bisectrices respectivamente. de un ángulo, los puntos M y N están sobre las rectas AC y AB respectivamente, entonces ().
(A)BM>CN(B)BM = CN(C)BM<CN (D)La relación entre BM y CN es incierta.
5. A partir de hoy, los precios de cinco productos diferentes con el mismo precio se reducirán un 10% o un 20% respectivamente. Después de unos días, los precios de estos cinco productos básicos se volvieron diferentes. Supongamos que la relación entre el precio más alto y el precio más bajo es R, entonces el valor mínimo de R es ().
(A)3(B)4(C)5(D)
6. Se sabe que los números reales x e y satisfacen (x –) (y –) = 2008.
El valor de 3 x2–2 y2+3x–3y–2007 es ().
(A)-2008(B)-2008(C)-1(D)1
Rellena los espacios en blanco: (Esta pregunta vale 28 puntos, cada pregunta vale 7 puntos)
1, suponiendo a =, entonces =.
2. Como se muestra en la figura, la longitud del lado del cuadrado ABCD es 1, m y n son dos puntos de la recta donde se encuentra BD, AM =, ∠ man = 135, entonces el área. del cuadrilátero AMCN es.
3. Se sabe que las abscisas de los dos puntos de intersección de la función cuadrática y = X ^ 2+a X+b y el eje X son m y n respectivamente, |m |+| norte | ≤ 1. Supongamos que los valores máximo y mínimo de b que cumplen con los requisitos anteriores son p y q respectivamente, entonces |+|
4. Ordena los cuadrados de los enteros positivos 1, 2, 3,... en una cadena: 1491625364964810012165438..., clasificado en primer lugar.
Respuesta: b, d, c, b, b, d – 2, , ,1.
Respuesta: 1. 1. Según las condiciones, a2–3A+1 = 0, B2–3B+1 = 0, a ≠ b,
Entonces a y b son un yuan y dos La ecuación de segundo grado x2–3 x+1 = dos raíces de 0, entonces a+b = 3, a b = 1,
Entonces += = =
2. Debido a que AD, BE y CF son las tres alturas de △ABC, es fácil conocer los cuatro * * * círculos de B, C, E y F.
Entonces △ AEF∽△ABC, entonces = =, también es cos∠BAC =, entonces sin∠BAC =.
En Rt△ABE, be = absin∠BAC = 6×=;
3 El número de dos dígitos puede ser 12, 13, 14, 15, 21, 23,. 24, 25, 31, 32, 34, 35, 465438+ compuestos. 15, 21, 24, 42, 45, 51, 54, * * 8, por lo que la probabilidad de que el número sea múltiplo de 3 es =;
4. Bisectriz ABC, ∴∠MBC =(180–12)= 84
∠BCM = 180–∠ACB = 180–132 = 48, ∴BCM = 180–84–48.
∠ACN =(180–∠ACB)=(180–132)= 24, ∴∠BNC = 180–
5 Es fácil saber que después de cuatro días, los precios de cinco mercancías pueden ser. diferentes entre sí.
Supongamos que los precios de los primeros cinco productos que se reducirán son A, y después de N días, el precio de cada producto estará bien después de N días.
Representada como? (1–10%)k? (1–20%)n–k = a? ()k? ()N–K, donde K es un número natural, 0 ≤ K ≤ N, para minimizar el valor de R, los precios de las cinco mercancías deberían ser: ¿A? ( )¿I? ()n–yo, a? ()yo + 1? ()n–I–1,a? ()yo + 2? ()n–I–2,a? ()yo + 3? ()n–I–3,a? ()yo + 4? ()n–I–4,
donde I es un número natural que no excede n, por lo que el valor mínimo de R es =()4;
6. )( y –) = 2008,∴x –= =
y +, y-= = x+,
De las dos fórmulas anteriores, podemos obtener X = y, entonces (x–) 2 = 2008, podemos resolver para x 2 = 2008.
Entonces 3 x2–2 y2+3x–3y–2007 = 3 x2–2 x2+3x–2007 = x2–2007 = 1
2.1, ∫a2 =(); 2 = = 1–a, ∴a 2+a = 1, ∴Fórmula original=
= = =–=––( 1+a+a 2)= –( 1+1)=– 2;
2. Supongamos que el punto medio de BD es o y está conectado a AO, entonces AO⊥BD, AO = OB =, MO = =,
∴MB = Mo –. O BO = .∞∠ABM =∠NDA = 135
∠NAD =∠MAN-∠DAB-∠MAB = 135–90-∠MAB = 45-∠MAB =∠AMB,
Entonces △ADN∽△MBA, entonces =, entonces DN =? BA = × 1 =, según simetría,
El área del cuadrilátero AMCN es s = 2s△man = 2××Mn×ao = 2×××(++)×=;
3 Según el significado de la pregunta, m y n son las dos raíces de la ecuación cuadrática x 2+a x+b = 0, entonces m+n =–a, m n = b.
∵| m |+| n |≤1,∴| m+n |≤| m |+| .
El discriminante de la ecuación x ^ 2+a ^ x+b = 0△= a ^ 2–4b≥0, ∴b ≤ = ≤
4b = 4m n = (m+n)2-(m–n)2 ≥( m+n)2–1≥–1, entonces b ≥–, cuando m =–n = obtenemos el signo igual 4 b = 4m n =; (m +n)2—(m–n)2≤1—(m–n)2≤1, entonces b ≤, cuando m = n = obtenemos el signo igual. Entonces p =, q =–, entonces | p |+| q |
4, 1^2 a 3^2, el resultado solo ocupa 1 dígito, * * * ocupa 1 × 3 = 3 dígitos; de 4^2 a 9^2, el resultado solo ocupa 2 dígitos, * * * ocupa 2 × 6 = 12 dígitos de 10 2 a 31 2, el resultado solo ocupa 3 dígitos, * * * ocupa 3 ×; 22 = 66 dígitos; de 32^2 a 99^2, cada resultado solo ocupa 4 dígitos, * * * ocupa 4 × 68 = 272 dígitos de 100 2 a 316 2, el resultado solo ocupa 5 dígitos, * *Cuentas para; 5 × 217 = 1085 dígitos; en este momento, es 2008—(3+12+66+272+1085)= 570 dígitos. De 317 2 a 411 2, los resultados toman 6 dígitos cada uno, * * * toman 6 × 95 = 570 dígitos.
Por lo tanto, el dígito 2008 debe ser un solo dígito de 411^2, que es 1;
2008 Liga Nacional de Matemáticas de Escuelas Secundarias
Abril de 2008 65438+0:00 am— 165438 +0:30 am.
La segunda prueba (1)
1. (Esta pregunta vale 20 puntos) Se sabe que A^2 + B^2 = 1, para todas las condiciones 0 ≤ x. ≤ 1 número real X, desigualdad A(1–X)–B X(B–X–B X).
Solución: Ordene la desigualdad (1) y sustituya a 2+b 2 = 1 para obtener (1+A+B)x2—(2A+1)x+A≥0(2).
En (2), si x = 0, obtenemos a≥0; si x = 1, obtenemos b ≥ 0. Yizhi 1+a+b > 0, 0 & lt;& lt1,
Entonces la imagen de la función cuadrática Y = (1+A+B)x2—(2A+1)x+A ( parábola) tiene una apertura hacia arriba y la abscisa del vértice está entre 0 y 1. Según el problema, la desigualdad (2) se cumple para todos los números reales del grupo (3)
Si se excluye b, entonces 16 a4–16 a2+1 = 0, entonces a 2 = o a 2 =. Y como a ≥ 0,
Entonces a 1 = o a 2 =, entonces b 1 = o b 2 =. Entonces el valor mínimo de a b es 0, y los valores de A y B son a =, b = y a =, b = respectivamente.
Como se muestra en la figura, el círculo O y el círculo D se cortan en los puntos A y B, BC es la tangente al círculo D, el punto C está en el círculo O, AB = BC.
(1) Demuestre que el punto O está en la circunferencia del círculo D;
(2) Sea S el área de △ABC, encuentre el valor mínimo del radio; r del círculo D..
Solución: (1) Incluso OA, OB, OC, AC, porque o es el centro del círculo, AB = BC, entonces △OBA∽△OBC, entonces ∠OBA =∠OBC, porque OD⊥AB, DB⊥ BC, entonces
(2) Sea a el radio del círculo o, y la línea de extensión de BO corta a AC en el punto e, por lo que es fácil sepa BE⊥AC Sea AC = 2 y (0
L2 = y2+(a+x)2 = y2+a2+2a x+x2 = 2a 2+2a x = 2a(a+x). = .
Porque ∠ABC = 2∠OBA = 2∠OAB =∠BDO, AB = BC, DB = DO, entonces △BDO∽△ABC
Entonces =, es decir =, entonces r =, entonces r 2 = =?()3 ≥, es decir, r ≥, donde el signo igual es verdadero cuando a = y, cuando AC es el diámetro del círculo o. del radio r del círculo D es
3. (Este puntaje máximo para la pregunta es 25) Sea A un número primo, B un entero positivo, 9(2a+B)2 = 509(4a+511b)(1)
Encuentra los valores de a y b
Solución: (1) La fórmula es ()2 =, suponiendo m =, n =, entonces n = m ^ 2,B = = (2), entonces 3n–511m+6a = 0, entonces 3m 2–511m+6a = 0(3), de la fórmula (1 ), (2 a+b) 2
Es decir, la ecuación cuadrática (3) sobre m tiene raíces enteras, por lo que su discriminante Δ= 5112–72A es un número cuadrado perfecto
<. p>Supongamos que Δ= 5112–72a = T2 (número natural), entonces 72a = 5112–T2 = (511+tDebido a que la paridad de 511+t y 511–t es la misma, 511+t≥511, por lo que solo existen las siguientes situaciones:
①, ②, ③, ④, respectivamente, se obtienen sumando dos fórmulas
36 a+2 = 1022,. 18 a+4 = 1022, 12 a+6 = 1022, 6 a+12 = 1022, ninguno de ellos.
⑤, ⑤, se suman las dos fórmulas para obtener 4 a+18 = 1022, y la solución es a = 251
2 a+36 = 1022, obtenemos a; = 493, 493 = 17 × 29 no es un número primo, deséchalo. A = 251.
En este momento, la solución de la ecuación (3) es m = 3 o m = (redondeado).
Sustituyendo a = 251 y m = 3 en la ecuación (2) se obtiene b = = 7.
Segunda prueba (b)
1 Se sabe que a^2+b^2 = 1. Para todos los pares de números reales (X, Y) que satisfacen las condiciones x+y = 1 y x y ≥ 0, se cumple la desigualdad AY2–X Y+B x2≥0(1). Cuando el producto A+Y ≥ 0,
Solución: De x+y = 1 y x y ≥ 0, sabemos que 0 ≤ x ≤ 1 y 0 ≤ y ≤ 1. En la fórmula (1), suponiendo x = 0, y = 1, obtenemos a≥0; suponiendo x = 1, y = 0, obtenemos b ≥ 0. Sustituya y = 1–x en la fórmula (1) para obtener a(1–x)2–x(1–x)+bx2≥0.
Es decir, (1+A+B)x2—(2A+1)x+A≥0(2), es fácil saber que 1+A+B >: 0, 0 & lt; & lt1,
Entonces la imagen (parábola) de la función cuadrática Y = (1+A+B)x2—(2A+1)x+A tiene una apertura hacia arriba y la abscisa de el vértice está entre 0 y 1. Según el problema, la desigualdad (2) se cumple para todos los números reales x que satisfacen la condición 0 ≤ x ≤ 1.
Entonces su discriminante △=(2a+1)2–4a(1+A+B)≤0, es decir, a b ≥Si B se elimina del sistema de ecuaciones (3), 16 a4 –16 a2+1 = 0, entonces a 2 = o a 2 =. Y como a ≥ 0,
entonces a 1 = o a 2 =, entonces b 1 = o b 2 =. Por tanto, el valor mínimo de A y B es 0, y los valores de A y B son a =, b = y a =, b = respectivamente.
2. (La puntuación total de esta pregunta es 25 puntos) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la segunda pregunta del Documento (A).
3. (La puntuación total de esta pregunta es 25 puntos) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la tercera pregunta del Documento (A).
La segunda prueba (c)
1. (Esta pregunta vale 25 puntos) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la primera pregunta del trabajo (B).
2. (La puntuación total de esta pregunta es 25 puntos) El tipo de pregunta y la solución son los mismos que los de la segunda pregunta del Documento (A).
3. (Esta pregunta vale 25 puntos) Suponga que A es un número primo, B y C son números enteros positivos y, si se cumplen, encuentre el valor de A (b+c).
Solución: (1) La fórmula es ()2 =, asumiendo m =, entonces 2b–c = (3), entonces 3n–511m+6a = 0, y n = m ^ 2,
p>
Por lo tanto, 3 m2–511m+6A = 0(4). Según la fórmula (1), (2A+2B–C)2 se puede dividir por 509.
Y 509 es un número primo, por lo que 2a+2 b–c se puede dividir entre 509, por lo que m es un número entero.
Es decir, la ecuación cuadrática (4) sobre m tiene raíces enteras, por lo que su discriminante Δ= 5112–72A es un número cuadrado perfecto.
Supongamos △= 5112–72a = T2 (número natural), luego 72a = 5112–T2 = (511+t).
Debido a que la paridad de 511+t y 511–t es la misma, 511+t≥511, solo existen las siguientes situaciones:
①, ②, ③, ④ , respectivamente.Se obtiene sumando dos fórmulas.
36 a+2 = 1022, 18 a+4 = 1022, 12 a+6 = 1022, 6 a+12 = 1022, ninguno de ellos.
⑤, ⑤, se suman las dos fórmulas para obtener 4 a+18 = 1022, y la solución es a = 251
2 a+36 = 1022, obtenemos a; = 493, 493 = 17 × 29 no es un número primo, deséchalo. A = 251.
En este momento, la solución de la ecuación (3) es m = 3 o m = (redondeado).
Sustituyendo a = 251 y m = 3 en la fórmula (3), obtenemos 2 b-c = = 7, es decir, c = 2 b-7. Sustituyendo en la fórmula (2), obtenemos b-. (2 b-7) = 2, entonces b = 5, c = 3, entonces a (b+c).