Concurso de Matemáticas para Estudiantes Universitarios 2010

Trabajo de examen final del Primer Concurso Nacional de Matemáticas para Estudiantes Universitarios

(No matemáticas, 2010)

Formato del examen: A libro cerrado Tiempo del examen: 150 minutos, puntuación total: 100 puntos.

1. Calcula las siguientes preguntas (***20 puntos, 5 puntos por cada pregunta, anota los pasos importantes).

(1) Encuentra el límite.

(2) Calcula dónde está el lado superior del hemisferio inferior.

(3) Ahora necesitamos diseñar un contenedor cilíndrico con un volumen de . Se sabe que el costo del material de la parte inferior superior e inferior es la unidad de área yuan, mientras que el costo del material del lado es la unidad de área unitaria. Intente dar la solución de diseño más económica: ¿Cuál es la relación entre la altura y el diámetro del fondo superior e inferior y cuál es el costo mínimo?

(4) Satisfacer lo conocido y buscar.

2. (10 puntos) es el siguiente límite.

(1); (2), entre ellos.

(10 puntos) se define cerca del punto y se puede exportar en el punto.

Cuarto, (10 puntos) Supongamos que la parte superior es continua y la integral infinita converge. Quinto, (punto 12) supone que la mitad superior es continua y la mitad interior es diferenciable, demostrando que la existencia de (1) permite (2) la existencia crea la existencia;

6. (14 puntos) se establece en un número entero,

.

Demuestra que la ecuación tiene al menos una raíz.

7. (12 puntos) ¿Existe alguna función diferenciable? En caso afirmativo, proporcione un ejemplo; en caso contrario, proporcione pruebas.

8. (12 puntos) es consistente y continua en el conjunto. Para un conjunto fijo, cuando es un número natural, se demuestra que la secuencia de funciones converge uniformemente a 0 en el conjunto.