Había tres preguntas reales en el examen de ingreso de posgrado de 2000, la octava pregunta

Si la integral de una función continua con signo constante es cero en un intervalo, entonces la función siempre es igual a cero en ese intervalo.

Reducción al absurdo:

(1) Supongamos que f(x) no tiene punto cero en (0, π), y que la función continua f(x)senx está en ( 0, π) Tampoco existe un punto cero, por lo que permanece sin cambios. Pero de esto y ∫ f (x) sinxdx = 0, se puede inferir que f(x)sinx no se vuelve cero en (0, π) (ver el lema anterior), lo cual es contradictorio.

(2) Supongamos que f(x) tiene un punto cero en (0, π), denotado como a. Esta situación se divide en dos situaciones:

(2a) Si f( x) tiene el mismo signo en (0, a) y (a, π), entonces f(x)senx tiene el mismo signo en (0, π), pero su integral es cero, por lo que f(x) sinx tiene el mismo signo en (0, π) siempre es cero en π), pero sinx está en (0, π).

(2b)f(x) tiene signos diferentes en (0, a) y (a, π). En este momento, el signo de la función f(x)sin(x-a) no cambia en (0, π), pero su integral es

∫f(x)sin(x-a)dx = ( cos a) ∫f(x)sinx dx-(Sina)∫f(x)cosx dx = 0.

Así que del lema anterior, se puede deducir que f(x)sin(x-a) siempre es cero en (0, π), pero sin(x-a) lo es excepto en un punto en (0, π) Ninguno de los dos toma cero, por lo que aún se deduce que f(x) es siempre cero, lo cual es contradictorio.

En resumen, f(x) tiene al menos dos ceros en (0, π).