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Respuestas de la prueba real de Guangzhou 2017

(2012? Guangzhou) Como se muestra en la figura, la parábola y = -38x2-34x + 3 se cruza con el eje X en los puntos A y B (el punto A está a la izquierda del punto B) y se cruza con el eje Y- eje en el punto c.

(1) Encuentre las coordenadas del punto A y el punto B;

(2) Sea D cualquier punto en el eje de simetría de la parábola conocida, cuando el área de △ACD es igual al área de △ACB, encuentra las coordenadas del punto D;

(3) Si la recta L pasa por el punto E (4, 0) , M es un punto en movimiento en la recta L. Cuando solo hay tres vértices A, B y M En el caso de un triángulo rectángulo, encuentre la expresión analítica de la recta L.

Puntos de prueba: Preguntas completas sobre funciones cuadráticas.

Análisis: (1) El punto A y el punto B son los puntos de intersección de la parábola y el eje X. Supongamos y=0 y resuelva la ecuación cuadrática de una variable.

(2) Según el significado de la pregunta, encuentre la altura del lado AC en △ACD y configúrelo como h. En el plano de coordenadas, las líneas paralelas de AC y la distancia entre los. Las líneas paralelas son iguales a h. Según bases iguales y alturas iguales, se puede ver que el punto de intersección de la línea paralela y el eje de coordenadas es el punto D.

Desde la perspectiva de una función lineal, tal una línea paralela puede considerarse como el resultado de la traslación hacia arriba o hacia abajo de la línea recta AC. Por lo tanto, primero podemos encontrar la expresión analítica de la línea recta AC y luego encontrar la distancia de traslación para obtener las coordenadas del punto d.

Nota: existen dos líneas paralelas, como se muestra en la Hoja de respuestas 1 .

(3) La clave de esta pregunta es comprender el significado de "un triángulo rectángulo con sólo tres vértices A, B y M".

Debido a que los puntos A y B son perpendiculares al eje X, los dos puntos de intersección con la recta L pueden formar un triángulo rectángulo con los puntos A y B, por lo que ya existen dos triángulos rectángulos que tocan el significado de la pregunta. El tercer triángulo rectángulo se considera a partir de la relación posicional entre la recta y el círculo. Cuando una línea recta es tangente a un círculo, según el teorema del ángulo del círculo, el punto tangente forma un triángulo rectángulo con los puntos A y B, y el problema está resuelto.

Nota: Hay dos rectas tangentes, como se muestra en la Figura 2.

Solución: Solución: (1) Supongamos y=0, es decir, -38x2-34x+3=0.

X1=-4, x2=2,

Las coordenadas de ∴ punto a y punto b son A (-4, 0) y B (2, 0) respectivamente.

(2) El eje de simetría y=-38x2-34x+3 de la parábola es la recta x =-342x38 =-1,

Es decir, la abscisa de el punto D es -1,

S△ACB=12AB? OC=9,

En Rt△AOC, AC=OA2+OC2=42+32=5

Supongamos que la altura del lado AC en △ACD es H, entonces hay 12AC? H=9, la solución es H = 185.

Como se muestra en la Figura 1, una línea recta en el plano coordenado es paralela a AC y la distancia a AC es =h=185. Hay dos líneas rectas, a saber, l1 y l2, entonces los dos puntos de intersección de esta línea recta y el eje de simetría x=-1 son los puntos d.

Supongamos que l1 cruza el eje y en e , sea c CF⊥l1 en f, entonces CF=h=185.

∴ce=cfsin∠cef=cfsin∠oca=18545=92.

Supongamos que la fórmula analítica de la recta AC es y=kx+b, sustituye A (-4, 0) y las coordenadas de C (0,3).

Obtenga -4k+b=0b=3, obtenga k=34b=3.

∴La fórmula analítica de la comunicación lineal es y = 34x+3.

La línea l1 puede verse como unidades de longitud CE (92 unidades de longitud) trasladadas hacia abajo para formar la línea recta AC.

∴La fórmula analítica de la recta l1 es y = 34x+3-92 = 34x-32.

Entonces la ordenada de D1 es 34×(-1)-32=-94, ∴D1(-1,-94).

De manera similar, la recta AC se mueve hacia arriba por 92 Si la unidad de longitud es l2, podemos obtener D2 (-1, 274).

Resumiendo, las coordenadas del punto D son: D1 (-1, -94), D 2 (-1, 274).

(3) Como se muestra en la Figura 2, tome AB como el diámetro ⊙F, el centro del círculo como F, y hay dos rectas tangentes que pasan por el punto E ⊙ f.

Conecta FM y pasa por m, de modo que el eje MN⊥x esté en el punto n

∫A(-4,0), B(2,0),

∴ f (-1,0), ∫f radio FM =FB=3.

Y FE=5, entonces en Rt△MEF,

ME=52-32=4, sin∠MFE=45, cos∠MFE=35.

En Rt△FMN, MN=MF? sin∠MFE=3×45=125,

FN=MF? Cos∠MFE=3×35=95, entonces ON=45,

Las coordenadas del punto ∴M son (45, 125)

La recta l pasa por m (45 , 125), e (4, 0),

Supongamos que la fórmula analítica de la recta L es y=kx+b, entonces hay

45k+b=1254k+b =0, y la solución es k=- 34b=3.

Entonces la fórmula analítica de la recta L es y =-34x+3.

De manera similar, la fórmula analítica de la otra recta tangente se puede obtener como y = 34x-3.

Resumiendo, la fórmula analítica de la recta L es y=-34x+3 o y = 34x-3.

Comentarios: La clave para resolver este problema es la aplicación integral de funciones cuadráticas, funciones lineales, círculos y otros conocimientos. La dificultad radica en comprender la condición de la pregunta (3) de que "sólo hay tres triángulos rectángulos con vértices A, B y M". Esto se puede resolver a partir de la relación posicional entre la línea recta y el círculo. Esta pregunta es difícil y requiere que los estudiantes dominen los conocimientos adquiridos y los apliquen con flexibilidad.