Respuestas detalladas a la pregunta 2 de la pregunta 20 del examen de ingreso a la universidad de ciencias y matemáticas de Hubei de 2011

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Análisis: (Ⅰ) Suponga que el punto en movimiento es M y sus coordenadas son (x, y), encuentre las pendientes de las rectas A?, MA?M, y encuentre su producto, La ecuación de trayectoria del punto M se puede obtener de acuerdo con la forma de la ecuación estándar de círculo, elipse e hipérbola, se analiza m para determinar la forma de la curva (II) De (I), cuando m = -1; la ecuación de C1 es √﹙ 1+m﹚, 0), suponiendo que hay un punto N (xο, yο) (yο≠0) en C1, de modo que el área S=|m|a de △F1NF2, la? La condición necesaria y suficiente es ① xο?+ yο?=a?

②﹙1/2﹚ 2a√﹙ 1+m﹚ |y0|=|m|a , para encontrar las coordenadas del punto? N, puedes usar la fórmula del producto de cantidad y del área del triángulo. Encuentra el valor de tanF1NF2.

Respuesta: Solución: (Ⅰ) Supongamos que el punto en movimiento es M y sus coordenadas son (x, y).

Cuando x≠±a, kMAkMA?= se puede obtener de. las condiciones y/ ﹙x-a ﹚?y/﹙ x+a ﹚=m,

Es decir, mx?-y?=ma? (x≠±a),

Y A? (-a, 0), las coordenadas de A? (a, 0) satisfacen mx?-y?=ma?.

Cuando m<-1, la ecuación de la curva C es x? /a? +﹙y/-ma? =1, y C es una elipse con el foco en el eje y;

Cuando m=-1, la ecuación de la curva C es x?+y?=a?, y C es un círculo con centro en el origen;

Cuando -1< m<0, la ecuación de la curva C La ecuación es x?/a? +﹙y/-ma?﹚=1, C es una elipse con el foco en el eje x;

Cuando m >0, la ecuación de la curva C es x?/a ? +﹙y /-ma? =1, C es una hipérbola con el foco en el eje x

(II) De ( I), cuando m=-1, la ecuación de C1 es x ?+y?=a?,

Cuando m∈(-1,0)∪(0,+∞), el foco de C2 es F1(-a√﹙1+m﹚,0 ),

F2 (a √﹙1+m﹚, 0),

Para el dado m∈(-1 ,0)∪(0,+∞), C1 Existe un punto N (xο, yο) (yο≠0), de modo que el área S=|m|a de △F1NF2,

La condición necesaria y suficiente es xο+yο=a?① (1/ 2)* 2a√﹙ 1+m﹚ |y0|=|m|a? ②

De ① obtenemos 0＜| y0|≤a, de ② obtenemos |y0|=|m|a√ ﹙ 1+m﹚ ,

Cuando 0＜|m|a / √﹙ 1+m﹚≤a, es decir , ﹙1- √5﹚/ 2 ≤m<0, o 0＜m≤﹙ 1+ √5﹚/ 2,

Existe un punto N tal que S=|m|a?,

Cuando |m|a / √﹙ 1+m﹚>a , es decir, cuando -1＜m＜﹙1-√5﹚/ 2, o m＞﹙1﹢√5﹚/ 2, no hay ningún punto N que satisfaga la condición.

Cuando m∈[﹙1- √5﹚/ 2, 0)∪ (0, ﹙1﹢√5﹚/ 2], NF1 = (-a √﹙ 1+m﹚ - x0, -y0), NF2 = (a√﹙ 1+m﹚ -x0, -y0),

Podemos obtener NF1 NF2 =xο?-(1+m)a?+yο?= - ma?.

Sea | NF1 |=r1, | NF2 |=r2, ∠F1NF2=θ,

Entonces de NF1 ? r1r2=-ma? cosθ,

Entonces s=? r?r?sinθ=-ma?sinθ/ 2cosθ =-?ma?tanθ, entonces S=|m|a?,

Podemos obtener -? ma?tanθ=|m|a?, es decir, tanθ=-2|m|/ m,

Para resumir: cuando m∈[﹙1-√5﹚/2,0), hay un punto N en C1, de modo que el área de △F1NF2 es S=|m|a?, y tanθ=2;

Cuando m∈(0,﹙1﹢√5﹚/2], hay un punto N en C1, de modo que el área de △F1NF2 es S=|m| a?, y tanθ=-2;

Cuando (-1,﹙1-√5﹚/ 2)∪(﹙1﹢√5﹚/ 2,+∞), no existe el punto N que satisface la condición