Combinación de los puntos de conocimiento de la generación de líneas matemáticas para el examen de ingreso de posgrado de 2014
1. Determinantes y matrices
El Capítulo 1 "Determinantes" y el Capítulo 2 "Matriz" son capítulos básicos en álgebra lineal y requieren dominio.
El contenido central del determinante es encontrar el determinante, incluido el cálculo del determinante concreto y el cálculo del determinante abstracto hay dos tipos: de orden inferior y de orden superior; El método principal es aplicar el determinante. Propiedades, que se transforman en determinantes triangulares superior e inferior mediante el teorema de expansión fila-columna. Para la evaluación de determinantes abstractos, el punto de prueba no es encontrar el determinante, sino las propiedades relacionadas. La parte de la matriz es relativamente flexible. Los puntos de conocimiento común incluyen reglas aritméticas, propiedades de las operaciones, determinación e inversión de la reversibilidad de la matriz, propiedades del rango de la matriz, propiedades de las matrices elementales, etc.
2. Vectores y ecuaciones lineales
Los vectores y ecuaciones lineales son el contenido central de toda el álgebra lineal. Por el contrario, los determinantes y las matrices pueden considerarse capítulos básicos para discutir algunas cuestiones de vectores y ecuaciones lineales. Los contenidos de valores propios, vectores propios y formas cuadráticas de los dos últimos capítulos son relativamente independientes y pueden considerarse como una expansión del núcleo; contenido. .
Los vectores están estrechamente relacionados con el contenido de las ecuaciones lineales y existen conexiones explícitas o implícitas entre muchos puntos de conocimiento. La forma más eficaz de revisar estas dos partes es ordenar minuciosamente las conexiones internas entre muchos puntos de conocimiento, porque hacerlo primero puede garantizar una verdadera comprensión y también es un requisito previo para el dominio y la aplicación flexible.
Resolver un sistema de ecuaciones lineales puede verse como el punto de partida y el objetivo. Las ecuaciones lineales (fórmula general)
también tienen dos formas: (1) forma matricial y (2) forma vectorial.
1) Las ecuaciones lineales homogéneas están linealmente relacionadas y no correlacionadas.
Se puede observar directamente que el sistema de ecuaciones lineales homogéneas debe tener solución, debido a que la ecuación debe establecerse cuando todas las variables son cero, se demuestra una propiedad de la parte vectorial de que "el vector cero puede; ser representado linealmente por cualquier vector".
El sistema de ecuaciones lineales homogéneas debe tener una solución, que se puede dividir en dos situaciones: ① Hay una solución cero; ② Hay una solución distinta de cero. Cuando un sistema de ecuaciones lineales homogéneas tiene una solución cero, significa que las variables en la ecuación solo pueden ser todas cero para que la ecuación sea verdadera. Cuando un sistema de ecuaciones lineales homogéneas tiene una solución distinta de cero, significa que. las variables en la ecuación deben ser todas cero para que la ecuación anterior sea verdadera. Establecido; pero la definición de juzgar si un grupo de vectores está relacionado linealmente en la parte del vector también se basa en esta ecuación. Entonces, aquí está la conexión entre vectores y ecuaciones lineales: si las ecuaciones lineales homogéneas tienen soluciones distintas de cero y si los vectores columna de la matriz de coeficientes están relacionados linealmente. Es concebible que el concepto de independencia de dependencia lineal se haya propuesto para discutir mejor el problema de las ecuaciones lineales.
2) La relación entre las soluciones de ecuaciones lineales homogéneas y el grupo independiente máximo de suma de rangos.
También se puede considerar que la introducción del rango es para discutir mejor la correlación lineal y la independencia lineal. La definición de rango es "el número de vectores en el grupo linealmente independiente más grande". A través de la cadena lógica de "rango → correlación lineal y no correlación → determinación de la solución del sistema de ecuaciones lineales", se puede determinar que cuando el grupo de vectores de columna está linealmente correlacionado, el sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene un valor distinto de cero La solución y el vector de solución del sistema de ecuaciones lineales homogéneos se pueden utilizar. R Los vectores de solución linealmente independientes se representan linealmente (sistema de solución básico).
3) La relación entre ecuaciones lineales no homogéneas y representación lineal.
Si una ecuación lineal no homogénea tiene solución corresponde a si un vector se puede resolver mediante un conjunto de columnas. vectores Representación lineal, un conjunto de números que hace que la ecuación sea verdadera es la solución de las ecuaciones lineales no homogéneas.
Tres. Valores propios y vectores propios
En comparación con los dos capítulos anteriores, este capítulo no es un enfoque teórico del álgebra lineal, pero es un enfoque de examen. La razón es que una gran cantidad de contenido en la generación de líneas requiere resolver problemas relacionados: determinantes, matrices, ecuaciones lineales, correlaciones lineales, "un cabello puede afectar a todo el cuerpo". Los puntos principales de este capítulo son los siguientes:
1. El método de definición y cálculo de valores propios y vectores propios es recordar una serie de fórmulas y propiedades.
2. Las matrices de similitud y sus propiedades necesitan distinguir entre la similitud, equivalencia y contratibilidad de las matrices:
3 Las condiciones para que una matriz sea diagonal también incluyen dos condiciones necesarias suficientes. y dos condiciones suficientes. La condición necesaria y suficiente 1 es que una matriz de orden n tenga n valores propios linealmente independientes; la condición necesaria y suficiente 2 es que cualquier raíz propia de R veces corresponda a R vectores propios linealmente independientes.
4. Matrices simétricas reales y sus diagonalizaciones semejantes. Una matriz simétrica real de orden n debe ser ortogonal a una matriz diagonal.
Forma cuadrática
El contenido de este capítulo es básicamente una expansión del Capítulo 5 "Valores propios y vectores propios", porque el conocimiento central de la forma estándar cuadrática es "matriz simétrica real "A tiene una matriz ortogonal C, por lo que A puede diagonalizarse de manera similar". El proceso es la aplicación de una diagonalización similar en el capítulo anterior.
Los puntos principales de este capítulo son los siguientes:
1. Forma cuadrática y su representación matricial.
2. Utilice la transformación ortogonal para convertir la forma cuadrática a la forma estándar.
3. Juicio y prueba de forma cuadrática definida positiva.
Anexo:
Capítulo 1 Determinante
1. Definición de Determinante
2 Propiedades del Determinante
3. Valores de determinantes especiales
4. Teorema de expansión de determinantes
5. Cálculo de determinantes abstractos
Capítulo 2 Matriz
1. Definición de operaciones matriciales y lineales
2. Incremento
3. Poder de la matriz
4. El concepto y propiedades de las matrices inversas
6. Matriz adjunta
7. Matrices de bloques y sus operaciones
8. p>
9. Equivalencia de matrices
10. Rango de matrices
Capítulo 3 Vectores
1. >
2. Combinación lineal y representación lineal de vectores
3. Grupo de vectores equivalente
4.
5. Rango del grupo independiente lineal máximo y del grupo vectorial
6. Producto interno y ortogonalización de Schmidt
7.
Capítulo 4 Sistema de Ecuaciones Lineales
1. Regla de Clem del Sistema de Ecuaciones Lineales
2 Las ecuaciones lineales homogéneas tienen valores distintos de cero Criterio de soluciones<. /p>
3. Criterio de existencia de soluciones a ecuaciones lineales no homogéneas.
4. Estructura de soluciones de ecuaciones lineales
Capítulo 5 Valores propios y vectores propios de matrices
1. propiedades
2. Concepto y propiedades de las matrices de similitud.
3. Diagonalización similar de matrices
4. Valores propios, vectores propios y matrices diagonales similares de matrices simétricas reales.
Capítulo 6 Forma cuadrática
1. Forma cuadrática y su representación matricial
2. Transformación de contrato y matriz de contrato
3. Rango de forma cuadrática
4. Forma estándar y forma estándar de forma cuadrática
5. Teorema de inercia
6. Utilice la transformación ortogonal y haga coincidir la forma cuadrática normalizada. la forma estándar.
7. Forma cuadrática definida positiva y su juicio