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Notación θ

En el Capítulo 2, encontramos que el tiempo de ejecución en el peor de los casos de ordenación por inserción es T(n)=θ(N2) .

Definamos qué significa este símbolo. Para una función dada g(n), usamos θ(g(n)) para representar

Función

θ(g(n))= { f(n): existe Las constantes positivas c1, c2 y n0 hacen 0 ≤ c1g(n) ≤ f(n) ≤ c2g(n)

para todo n ≥ n0}. [1]

La función f(n) pertenece al conjunto θ(g(n)). Si existen constantes positivas c1 y c2, tal que

Para una cantidad suficiente. n grande, puede estar " Intercalado entre "c1g(n) y c2g(n), dado que θ(g(n)) es un conjunto, podemos escribir "f(n)θ(g(n))" para indicar que f(n) es miembro de θ(g(n)). En cambio, generalmente escribimos "f(n)=θ(g(n))" para expresar la misma idea. Este mal uso de la igualdad para representar la pertenencia a un conjunto puede parecer confuso al principio, pero veremos más adelante en esta sección que tiene ventajas.

Notación theta

En el capítulo 2, el peor orden de ejecución que vimos fue T(n)=θ(n2). Determinemos qué representa esta fórmula. Para una función dada g(n), definimos θ(g(n)) como el conjunto de funciones de G(n).

θ (g (n)) = {f (n): Hay números normales C1, C2 y N0, cuando 0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n), donde norte ≥ norte0}.

[1] Si hay números regulares C1, C2, etc. Satisfaciendo c1g(n)≤f(n)≤c2g(n), si n es lo suficientemente grande, entonces la función f(n) pertenece al conjunto de funciones θ(g(n)). Debido a que θ(g(n)) es un conjunto, podemos usar "f(n) θ(g(n))" para significar que f(n) está incluido en θ(g(n)). Sin embargo, normalmente escribimos "f(n)=θ(g(n))" para expresar este concepto.

La Figura 3.1(a) ofrece una imagen intuitiva de las funciones f(n) y g(n), donde f(n) = 1

θ(g(n)) . Para todos los valores de n a la derecha de n0, el valor de f(n) es igual o mayor que c1g(n) e igual o

menor que c2g(n). En otras palabras, para todo n ≥ n0, la función f(n) dentro de a es igual a g(n)

un factor constante. Decimos que g(n) es una cota asintóticamente estrecha de f(n).

Figura 3.1: Ejemplos gráficos de los símbolos de θ, O y ω. En cada sección, el valor de n0

muestra el valor más pequeño posible; cualquier valor mayor también es factible. (a) La notación theta

restringe la función a factores constantes. Si hay un positivo, escribimos f(n)=θ(g(n))

Constante n0, c1 y c2, de modo que en el lado derecho de n0, el valor de f(n) siempre está ubicado en c1g( n)

y c2g(n) incluido. (b) La notación O proporciona un límite superior de la función dentro de un factor constante.

Figura 3.1(a): Da las curvas de las funciones f(n) y g(n), donde f (n) = θ (g (n)). Cuando n≥n0, c1g(n)≤f(n)≤c2g(n). Es decir, cuando n≥n0, f(n) es igual a g(n) multiplicado por una constante. Decimos que g(n) es el mismo tipo de curva que f(n).

Figura 3.1: Leyenda de θ, O y ω. En cada parte, n0 toma el valor más pequeño posible;

(a) θ limita funciones relacionadas con constantes. Si hay constantes positivas n0, c1 y c2, cuando n≥n0 y c1g(n)≤f(n)≤c2g(n), entonces escribimos f (n) = θ (g (n)).

(b) El símbolo o representa el límite superior de la función relacionada con la constante.

Escribimos f(n) = O(g(n)) Si hay constantes positivas n0 y c, entonces en el lado derecho de

n0, el valor de f( n) siempre está ubicado encima o debajo de cg(n). (c) La notación ω proporciona un límite inferior para una función dentro de un factor constante. Si hay una constante positiva n0, escribimos f(n)=ω(g(n))

y c, de modo que en el lado derecho de n0, el valor de f(n) siempre está en cg(n) o superior.

La definición de θ(g(n)) requiere que cada miembro f(n)θ(g(n)) sea asintótico

no negativo, es decir, cuando n es suficiente Cuando es grande, f (n) no es negativo. (Una

Función asintóticamente positiva es una función que es positiva para todos los n suficientemente grandes)

Por lo tanto, la función g(n) en sí misma debe ser asintóticamente no negativa; de lo contrario, el conjunto

θ(g(n)) está vacío. Por lo tanto, asumiremos que cada función utilizada en notación theta es asintóticamente no negativa. Esta suposición es válida para otros símbolos asintóticos definidos

y también en este capítulo.

En el capítulo 2, introdujimos el concepto informal de notación theta, que equivale a descartar

términos de orden inferior e ignorar los coeficientes principales de los términos de orden superior. Probemos

brevemente esta intuición usando la definición formal para mostrar que 1/2 N2-3n =θ(N2). Para

Para esto debemos determinar las constantes positivas c1, c2 y n0 tales que

c1n2 ≤ 1/2n2 - 3n ≤ c2n2

Para todo n ≥ n0. Rendimiento dividido por n2

c1 ≤ 1/2 - 3/n ≤ c2.

Cuando existe una constante positiva n0 y la constante c es mayor que n0, la registraremos como f(n) = O(g(n)), donde f(n)≤cg(n ).

(c) El símbolo ω representa el límite inferior de una función dentro de un rango dado de constantes. Cuando existe una constante positiva n0, y la constante c es mayor que n0, escribiremos f (n) = ω (g (n)), donde f (n) ≥ cg (n).

La definición de θ(g(n)) requiere que cada f(n) θ(g(n)) sea una función asintóticamente positiva, es decir, no importa cuán grande sea N, f(n ) es positiva (una función asintóticamente positiva es una función que es positiva para todos los N suficientemente grandes, por lo que la función g(n) en sí misma debe ser asintóticamente no negativa; de lo contrario, θ (g (n)) es el conjunto vacío. Por lo tanto, debemos suponer que todas las subfunciones de θ son asintóticamente no negativas. Esta suposición es válida para otras definiciones de símbolos asintóticos en este capítulo.

En el capítulo 2, introdujimos una notación informal, símbolo theta, que descarta el término inferior e ignora el primer coeficiente del término superior. Simplemente demostremos que esta intuición es correcta definiendo formalmente la expresión 1/2n2-3n = θ (N2). Para ello debemos estipular que los números estándar c1, c2 y n0 satisfagan:

c1n2≤1/2n2-3n≤c2n2

Para todo n ≥ n0, después de dividir por n2,

c1≤1/2-3/n≤c2.