Factorización de las preguntas del examen de ingreso a la escuela secundaria de 2019

El factor común de cada término se llama factor común de cada término de este polinomio.

Si cada término de un polinomio tiene un factor común, se puede proponer este factor común para que el polinomio se pueda convertir en el producto de dos factores. Este método de descomposición de factores se denomina método de aumento del factor común.

Método específico: Cuando todos los coeficientes son números enteros, los coeficientes de la fórmula del factor común deben tomar el máximo común divisor de todos los coeficientes, las letras deben tomar la misma letra de cada elemento y el índice de cada letra; debe tomar el Número más pequeño; llevar el mismo polinomio al grado más bajo.

Si el primer término del polinomio es negativo, generalmente se proporciona un signo "-" para que el coeficiente del primer término entre paréntesis sea positivo. Cuando se levanta el signo "-", se deben cambiar los términos del polinomio.

Regla: Encuentra el factor común correcto y límpialo de una vez; toda la familia se muda, dejando a 1 a cargo de la casa; es necesario cambiar el signo negativo, y la deformación depende de la paridad; .

Por ejemplo: -am+BM+cm =-m(a-b-c

a(x-y)+b(y-x)= a(x-y)-b(x-y)= ( x-y)(a-b).

Nota: Cambiar 2A 2+1/2 a 2 (A 2+1/4) no es un factor común.

⑵Método de fórmula

Si se invierte la fórmula de multiplicación, se pueden factorizar algunos polinomios. Este método se llama método de fórmula.

Fórmula de diferencia de cuadrados: a2-B2 =(a+b)(a-b);

Fórmula de cuadrado perfecto: a 22ab+b 2 =(a b)2;

Nota: Los polinomios que se pueden factorizar usando la fórmula del cuadrado perfecto deben ser trinomios, dos de los cuales se pueden escribir como la suma de los cuadrados de dos números (o fórmulas), y el otro es el producto de estos dos números. (o fórmulas) doble.

Fórmula de suma cúbica: a3+B3 =(a+b)(a2-a b+B2

Fórmula de diferencia cúbica: a3-B3 =(a-b)(a2+ a); b+B2);

Fórmula cúbica perfecta: a 3 3a 2b+3ab 2 b 3 = (a b) 3.

Fórmula: A 3+B 3+C 3+3 ABC =(A+B+C)(A 2+B 2+C 2-A B-BC-CA)

Por ejemplo: a 2+4ab+4b 2 = (a+2b) 2.

(3) Habilidades de factorización

1. La factorización de factores y la multiplicación de expresiones algebraicas son transformaciones recíprocas.

2. Habilidades de factorización:

①El lado izquierdo de la ecuación debe ser un polinomio;

②El resultado de la factorización debe expresarse en forma de producto. ;

③Cada factor debe ser una expresión algebraica, y el grado de cada factor debe ser menor que el grado del polinomio original;

④Los factores de factorización deben descomponerse hasta el punto donde cada factor polinomial no puede hasta que se descomponga aún más.

Nota: Antes de descomponer los factores, se deben encontrar los factores comunes y se deben considerar los coeficientes y factores antes de determinar los factores comunes.

3. Pasos básicos del método del factor común:

(1) Encuentra el factor común

(2) Toma el factor común y determina otro factor; :

(1) El primer paso para encontrar los factores comunes se puede determinar basándose en el método de determinación de los factores comunes.

(2) El segundo paso es proponer un factor común y determinar otro factor. Preste atención a identificar otro factor. Puedes dividir el polinomio original por el factor común y el cociente resultante es el resto después de elevar el factor común. También puedes usar factores comunes para eliminar cada término del polinomio original y encontrar los factores restantes.

(3) Después de extraer los factores comunes, el número de términos del otro factor es el mismo que el del polinomio original.

[Editar este párrafo] Métodos utilizados en el concurso

⑶Método de descomposición de grupos

La descomposición de grupos es un método sencillo para resolver ecuaciones. Aprendamos este conocimiento.

Hay cuatro o más términos en la ecuación que se pueden agrupar. Hay dos formas generales de descomposición de agrupación: el método de bisección y el tercer método.

Por ejemplo:

ax+ay+bx+by

=a(x+y)+b(x+y)

=(a+b)(x+y)

Ponemos ax y ay en un grupo, bx y by en un grupo, y usamos multiplicación, división y distribución para unirlos entre sí, y La dificultad se resolverá inmediatamente.

Del mismo modo, esta cuestión también se puede resolver.

ax+ay+bx+por

=x(a+b)+y(a+b)

=(a+b)(x +y)

Algunos ejemplos:

1.5ax+5bx+3ay+3by

Solución: =5x(a+b)+3y(a+ b )

=(5x+3y)(a+b)

Nota: Los diferentes coeficientes se pueden dividir en grupos. Como se indicó anteriormente, considere 5ax y 5bx en su conjunto, y considere 3ay y 3by en su conjunto. Es fácil de resolver usando la ley distributiva de la multiplicación.

2.x^3-x^2+x-1

Solución:=(x^3-x^2)+(x-1)

=x^2(x-1)+ (x-1)

=(x-1)(x2+1)

Usa el método de la dicotomía y el factor común método Piensa en x2 y luego es fácil de resolver.

3.x2-x-y2-y

Solución:=(x2-y2)-(x+y)

=(x+y) (x-y)-(x+y)

=(x+y)(x-y-1)

Utilice el método de bisección y luego utilice la fórmula a2-b2=(a +b) (a-b), y luego resuélvelo inteligentemente.

(4) Multiplicación cruzada

Hay dos situaciones en este método.

①x? Factorización de fórmula tipo +(p+q)x+pq

Las características de este tipo de trinomio cuadrático son: el coeficiente del término cuadrático es 1; El coeficiente de un término lineal es la suma de dos factores de un término constante. Entonces, ¿podemos factorizar algún trinomio cuadrático con coeficientes 1:x? +(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).

②kx? Factorización de fórmula tipo +mx+n

Si k=ac, n=bd, ad+bc=m, entonces kx? +mx+n=(ax+b)(cx+d).

El gráfico es el siguiente:

×

c d

Por ejemplo, porque

1 -3

×

7 2

-3× 7 =-21, 1× 2 = 2, y 2-21=-19,

Entonces, ¿7x? -19x-6=(7x+2)(x-3).

La fórmula de la multiplicación cruzada: descomposición cabeza-cola, multiplicación cruzada y suma.

5] Método de dividir y sumar elementos

Este método se refiere a dividir un término de un polinomio o completar los términos opuestos de dos (o varios) términos completos, obteniendo. la fórmula original es adecuada para la descomposición mejorando el método del factor común, utilizando el método de la fórmula o el método de descomposición de grupos. Cabe señalar que la transformación debe realizarse bajo el principio de igualdad con el polinomio original.

Por ejemplo: bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)

=bc(c-a+a+b)+ca(c-a ) -ab(a+b)

= BC(c-a)+ca(c-a)+BC(a+b)-ab(a+b)

=c(c-a ) (b+a)+b(a+b)(c-a)

=(c+b)(c-a)(a+b).

[6] Método de comparación

Para algunos polinomios que no se pueden usar con el método de fórmula, se pueden ajustar de manera completamente plana y luego factorizar usando la fórmula de diferencia al cuadrado. Este método se llama método de coincidencia. Es un caso especial del método de plazo dividido y de plazo suplementario. Cabe señalar también que la deformación debe realizarse bajo el principio de igualdad con el polinomio original.

Por ejemplo: x? +3x-40

=x? +3 veces+2,25-42,25

=(x+1,5)? -(6.5)?

=(x+8)(x-5).

Aplicación del teorema factorial.

Para el polinomio f(x)=0, si f(a)=0, entonces f(x) debe contener el factor xa.

Por ejemplo: f(x) =x? +5x+6, f(-2)=0, entonces podemos estar seguros de que x+2 es X? Un coeficiente de +5x+6. (En realidad x?+5x+6=(x+2)(x+3).

)

Nota: 1. Para un polinomio cuyos coeficientes son todos números enteros, si x = q/p (p, cuando q es un entero primo relativo), el valor del polinomio es cero, entonces q es el divisor del término constante y p es el divisor del coeficiente de orden más alto ;

2. Para el polinomio f (a) = 0, donde b es el coeficiente de mayor grado y c es un término constante, entonces a es el divisor c/b.

Método alternativo.

A veces, al factorizar, puedes elegir la misma parte del polinomio, reemplazarla con otra incógnita, luego factorizarla y finalmente convertirla nuevamente. Este método se llama método de sustitución.

Nota: No olvides devolver el RMB después de cambiarlo.

Por ejemplo, al descomponer (x?+x+1)(x?+x+2)-12, puedes hacer y=x? Entonces +x

La fórmula original = (y+1)(y+2)-12.

=¿y? +3y+2-12=y? +3y-10

=(y+5)(y-2)

=(x?+x+5)(x?+x-2)

=(x?+x+5)(x+2)(x-1).

También puedes ver la imagen de la derecha.

(9) Método de búsqueda de raíces

Supongamos que el polinomio f(x)=0, encuentre sus raíces como x1, x2, x3,...xn, entonces el polinomio puede ser descompuesto en f (x) = (x-x1) (x-x2) (x-x3)...(x-xn).

Por ejemplo, al descomponer 2x 4+7x 3-2x 2-13x+6, supongamos que 2x 4+7x 3-2x 2-13x+6 = 0.

Por división integral, las raíces de la ecuación son 0,5, -3, -2 y 1.

Entonces 2x 4+7x 3-2x 2-13x+6 = (2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).

⑽Método de imagen

Supongamos y=f(x), dibuje la imagen de la función y=f(x) y encuentre los puntos de intersección de la imagen de la función y el X- eje, x1, x2, x3 ,...xn,...Xn, entonces el polinomio se puede factorizar como f (x) = f (x) = (X-X1) (X-X2).

En comparación con el método ⑼, puede evitar la complejidad de resolver ecuaciones, pero no es lo suficientemente preciso.

Por ejemplo, cuando se descompone x^3+2x^2-5x-6, se puede obtener y = x^3;

Como muestra la imagen, los puntos de intersección con el eje X son -3, -1 y 2.

Entonces x3+2x 2-5x-6 =(x+1)(x+3)(x-2).

⑾Método del componente principal

Primero seleccione una letra como elemento principal, luego organice los elementos de mayor a menor según el número de letras y luego factorice.

⑿Método de valor especial

Sustituye 2 o 10 en X para encontrar el número P, descompone el número P en factores primos, combina los factores primos apropiadamente y escribe los factores combinados como Para la suma y diferencia de 2 o 10, simplifica 2 o 10 a X para obtener la factorización.

Por ejemplo, al descomponer x 3+9x 2+23x+15, suponiendo x=2, entonces

x^3 +9x^2+23x+15=8+36 +46 +15=105,

105 se descompone en el producto de tres factores primos, es decir, 105 = 3× 5× 7.

Tenga en cuenta que el coeficiente del término más alto del polinomio es 1, y 3, 5 y 7 son x+1, x+3 y x+5 respectivamente. Cuando x=2,

Entonces x 3+9x 2+23x+15 puede ser igual a (x+1)(x+3)(x+5), lo cual es cierto después de la verificación.

[13] Método de coeficiente indeterminado

Primero determine la forma de los factores de factorización, luego establezca los coeficientes de letras de la expresión algebraica correspondiente, encuentre los coeficientes de letras y descomponga los factores polinomiales.

Por ejemplo, al descomponer x 4-x 3-5x 2-6x-4, el análisis muestra que este polinomio no tiene factores de primer orden, por lo que solo se puede descomponer en dos factores cuadráticos.

Entonces, sea x4-x3-5x 2-6x-4 = (x2+ax+b)(x2+CX+d).

=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd

Por lo tanto, a +c=-1,

ac+b+d=-5,

ad+bc=-6,

bd=-4.

La solución es a=1, b=1, c=-2, d =-4.

Entonces x4-x3-5x 2-6x-4 = (x2+x+1)(x2-2x-4).

También puedes ver la imagen de la derecha.

[14]Multiplicación cruzada doble.

La multiplicación cruzada doble es un tipo de factorización, similar a la multiplicación cruzada.

La multiplicación cruzada doble es una sextupla cuadrática binaria y la fórmula inicial es la siguiente:

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f

x e y son incógnitas y el resto son constantes.

Utilice un ejemplo para ilustrar cómo usarlo.

Ejemplo: Factor de descomposición: x2+5xy+6y 2+8x+18y+12.

Análisis: Esta es una fórmula cuadrática de seis términos, que se puede factorizar mediante multiplicación cruzada doble.

Solución: Como se muestra en la siguiente imagen, simplemente conecta todos los números.

x 2y 2

① ② ③

x 3y 6

∴Fórmula original = (x+2y+2) (x +3y+6).

La multiplicación cruzada doble incluye los siguientes pasos:

(1) Primero use la multiplicación cruzada para descomponer el término cuadrático, como x2+5xy+6y ^ 2 = en el diagrama de multiplicación cruzada (1) (x+2y)(x+3y);

② Califique el término constante según el primer coeficiente de una letra (como Y). Por ejemplo, ¿6y en el diagrama de multiplicación cruzada ②? +18y+12 =(2y+2)(3y+6);

③ Presione el primer coeficiente de otra letra (como X) para verificar, como el diagrama de multiplicación cruzada ③. Este paso no se puede omitir, de lo contrario es fácil cometer errores.

[Editar este párrafo] Pasos generales para la factorización de polinomios:

(1) Si los términos del polinomio tienen factores comunes, mencione primero los factores comunes;

(2) Si no hay factores comunes, intente usar fórmulas y multiplicación cruzada para descomponer;

(3) Si los métodos anteriores no se pueden descomponer, puede intentar descomponer agrupando, dividiendo y sumar entradas;

(4) debe factorizarse hasta que cada factor polinómico ya no pueda factorizarse.

También se puede resumir en una frase: "Primero verifique si hay factores comunes y luego vea si hay una fórmula. Pruebe la multiplicación cruzada y la descomposición del grupo debería ser apropiada".

Algunos ejemplos

1. Descomponga los factores (1+y)2-2x 2(1+y 2)+x 4(1-y)2.

Solución: Fórmula original = (1+y)2+2(1+y)x2(1-y)+x4(1-y)2-2(1+y).

=[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x 2(1+y)

=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2

=[(1+y)+x^2(1-y)+ 2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]

=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^ 2y-2x+y+1)

=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1) )]

=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).

2. Verificación: Para cualquier número real x, y, el valor de la siguiente fórmula no será 33:

x^5+3x^4y-5x^3y^2. -15x^ 2y^3+4xy^4+12y^5.

Solución: Fórmula original = (x ^ 5+3x ^ 4y)-(5x ^ 3y ^ 2+15x ^ 2y ^ 3) +(4xy ^ 4+12y ^ 5)

=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)

=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)

=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2 -y^ 2)

=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).

(El proceso de factorización también se puede ver en la imagen de la derecha).

Cuando y=0, la fórmula original = x 5 no es igual a 33; no iguales a 0 , x+3y, x+y, x-y, x+2y, x-2y son diferentes entre sí 33 no se pueden dividir en el producto de más de cuatro factores diferentes, por lo que se cumple la proposición original.

3. △ Los tres lados A, B y C de ABC tienen la siguiente relación: -C 2+A 2+2AB-2BC = 0. Demuestre que este triángulo es un triángulo isósceles.

Análisis: esta pregunta trata esencialmente sobre factorizar el polinomio en el lado izquierdo del signo igual.

Demostración: ∫-C2+a2+2ab-2bc = 0,

∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.

∴(a-c)(a+2b+c)=0.

∵a, B, C son los tres lados de △ABC,

∴a+2b+c > 0.

∴a-c=0,

Es decir, a = c y △ABC es un triángulo isósceles.

4. Factorización-12x 2n×y n+18x(n+2)y(n+1)-6x n×y(n-1).

Solución: -12x 2n×y n+18x(n+2)y(n+1)-6x n×y(n-1).

=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).

[Editar este párrafo] Factor cuatro notas sobre descomposición:

Los cuatro puntos de la factorización se pueden resumir en cuatro oraciones de la siguiente manera: el primer término es negativo y siempre es negativo, cada término es "común" y el primer término es "Gong" , un determinado elemento es 1 y los corchetes se dividen en "base". Aquí hay algunos ejemplos para su referencia.

Ejemplo 1 Factorización-A2-B2+2AB+4.

Solución:-A2-B2+2AB+4 =-(A2-2AB+B2-4)=-(A-B+2)(A-B-2)

Aquí El "negativo" significa "signo menos". Si el primer término del polinomio es negativo, generalmente es necesario proporcionar un signo negativo para que el coeficiente del primer término entre paréntesis sea positivo. Evite que los estudiantes cometan errores como -9 x2+4 y2 =(-3x)2-(2Y)2 =(-3x+2Y)(-3x-2Y)=(3x-2Y).

Ejemplo 2 Factorización -12 x2 nyn+18xn+2yn+1-6 xnyn-1. Solución: -12 x2 nyn+18xn+2yn+1-6 xnyn-1 =-6 xnyn-1(2 xny3 x2 y2+1).

"Común" aquí significa "factor común". Si cada término del polinomio contiene un factor común, primero extraiga el factor común y luego descomponga aún más el factor. "1" aquí significa que cuando todo el término del polinomio es un factor común, primero proponga el factor común; No te pierdas el 1 entre paréntesis.

La factorización debe realizarse hasta que cada factor polinómico no pueda factorizarse más. Eso es dividirlo hasta el final en lugar de darse por vencido a mitad de camino. Los factores comunes contenidos en él deben "limpiarse" de inmediato, sin dejar "colas", y los polinomios en cada paréntesis ya no se pueden descomponer. Evite que los estudiantes cometan errores como 4x4y 2-5x2y 2-9 Y2 = Y2(4x 4-5x 2-9)= Y2(x2+1)(4x 2-9).

Nota al comprobar:

Cuando no hay explicación para los números reales, normalmente basta con explicar sólo los números racionales.

Desde esta perspectiva, los cuatro puntos de atención en la factorización abarcan los cuatro métodos básicos de la factorización y están en la misma línea que los cuatro pasos de la factorización o las cuatro oraciones de la secuencia de pensamiento general. s: "Primero verifique si hay factores comunes y luego vea si se puede establecer una fórmula. Pruebe la multiplicación cruzada y la descomposición del grupo debe ser apropiada".