Preguntas y respuestas del examen de ingreso a la Universidad de Shandong 2009, Ciencias y Matemáticas.

Examen de matemáticas para estudiantes de ciencias

Este volumen está dividido en dos partes, el primer volumen y el segundo volumen, con un total de 4 páginas, con una puntuación total de 150, y el tiempo de prueba 120 minutos. Al final del examen, devuelva esta hoja de papel junto con su hoja de respuestas.

Notas:

1. Antes de responder las preguntas, los candidatos deben utilizar un bolígrafo negro de 0,5 mm para escribir su nombre, número de asiento, número de boleto de admisión, condado, departamento y pegue el código de barras del número del boleto de admisión en la ubicación especificada en la hoja de respuestas.

2. Después de seleccionar la respuesta a cada pregunta en el Volumen 1, use un lápiz 2B para ennegrecer la etiqueta de respuesta de la pregunta correspondiente en la hoja de respuestas. Si necesita cambiarlo, límpielo con un borrador y seleccione otra etiqueta de respuesta. Las respuestas no se pueden responder en el examen.

3. Para la Prueba 2, debe utilizar un bolígrafo negro de 0,5 mm para responder el área de respuesta de cada pregunta en la hoja de respuestas; Primero saque la respuesta original y luego escríbala. Nueva respuesta: No se pueden utilizar líquido corrector, cinta o cinta correctora. Las respuestas que no cumplan con los requisitos anteriores no son válidas.

4. Complete las respuestas directamente a las preguntas para completar en blanco. La respuesta debe escribirse en palabras, proceso de prueba o pasos de cálculo.

Fórmula de referencia:

La fórmula del volumen de un cilindro es V=Sh, donde s es el área de la base del cilindro y h es la altura del cono.

La fórmula del volumen de un cono es V=, donde s es el área de la base del cono y h es la altura del cono.

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A B)= P(A) P(B); rSi los eventos A y B son independientes, entonces P(AB)=P(A) P; (B).

La probabilidad de que el evento A ocurra en un ensayo es, entonces la probabilidad de que el evento A ocurra exactamente dos veces en ensayos repetidos independientes es:

Prueba 1 (***60 puntos)

1. Preguntas de opción múltiple: Esta gran pregunta consta de *** 12 preguntas pequeñas, cada una de las cuales vale 5 puntos, * * * 50 puntos. De las cuatro opciones dadas para cada pregunta, sólo una cumple con los requisitos de la pregunta.

1. Si el valor es (), configúrelo.

A.0 B.1 C.2 D.4

Análisis: ∵, ∴ ∴, entonces elige d

Respuesta: d

Proposición: Esta pregunta prueba la operación de unión de conjuntos y obtiene la respuesta observando los elementos correspondientes. La pregunta es sencilla.

2. Los números complejos son iguales a ().

A.B.C.D.

2. Análisis: C.W.W.W.K.S.5.U.C.O.M

Respuesta: c

Proposición: Esta pregunta prueba la operación de división de números complejos. Tanto el numerador como el denominador deben multiplicarse por el yugo complejo del denominador, de modo que el denominador pueda convertirse en un número real y la división en multiplicación.

3. Traduce la imagen de la función a la izquierda en unidades y luego traduce en 1 unidad. La función de resolución de la imagen resultante es ().

A.B.C.D.

3. Análisis: Desplace la imagen de la función hacia la izquierda en unidades para obtener la imagen de la función, y luego muévala hacia arriba en 1 unidad. La función de resolución de la imagen obtenida es 0. elija b.

Respuesta: b

Idea de propuesta: esta pregunta evalúa los conocimientos y habilidades básicos del uso de fórmulas inductivas y fórmulas de doble ángulo para traducir funciones trigonométricas y simplificar fórmulas analíticas, y aprender la deformación de fórmulas. 5.u.c.o.m

4. Las tres vistas de una figura geométrica espacial son como se muestra en la figura, por lo que el volumen de la figura geométrica es ().

A.B.C.D.

Análisis: La geometría espacial está formada por un cilindro y una pirámide.

El radio de la base del cilindro es 1, la altura es 2 y el volumen es la base de la pirámide.

La longitud del lado es y la altura es, por lo que el volumen es.

Entonces el volumen de esta geometría es.

Respuesta: c

Intención de la proposición: Esta pregunta pone a prueba la capacidad de imaginación espacial en geometría sólida.

A partir de estas tres vistas, podemos imaginar con precisión la imagen tridimensional del espacio

Calcular el volumen de figuras geométricas.

5. Se sabe que α y β representan dos planos diferentes, y m está en el plano α.

Una línea recta, entonces ""es"()

A. Condiciones suficientes e innecesarias. Condiciones necesarias e insuficientes.

C. condiciones La condición d. no es una condición suficiente ni una condición necesaria

Análisis: Del teorema de juicio de que el plano es perpendicular al plano, sabemos que si m está en el plano α,

Entonces la línea recta no es necesariamente. Es al revés. Entonces "es" " una condición necesaria y suficiente para que w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.

Respuesta: b.

Proposición: Esta pregunta pone a prueba principalmente el juicio de las relaciones verticales y los conceptos de condiciones necesarias y suficientes en geometría sólida.

6. La imagen de la función es aproximadamente ().

Análisis: si la función es significativa, debe definirse excluyendo C y D, y debido a que la función es una función sustractiva, seleccione A. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.

Respuesta: a.

Intención proposicional: esta pregunta prueba la capacidad de imagen de la función y las propiedades de la función, como el dominio de definición, el rango de valores, la monotonicidad, etc. La dificultad de este problema es que, dada la complejidad de la función, primero es necesario deformarla y luego examinar otras propiedades dentro del dominio de definición.

7. Supongamos que p es un punto en el plano △ABC, entonces ()

A.B.C.D.

Análisis: Debido a que el punto P es el punto medio del segmento AC, se debe seleccionar B.

Respuesta: b.

Proposición: Esta pregunta prueba la operación de suma de vectores y la regla del paralelogramo.

Puedes utilizar diagramas.

8. Una fábrica inspeccionó un lote de productos. La imagen de la derecha se basa en una inspección aleatoria realizada por w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.

El histograma de distribución de frecuencia dibujado por los datos del peso neto del producto (unidad: gramos), donde el producto

El rango de peso neto es una función creciente, si la ecuación f(x )= m(m>; 0) Hay cuatro raíces diferentes en el intervalo, entonces w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

Análisis: Debido a que satisface la función impar definida en R, es una función impar, por lo que La imagen de la función es simétrica con respecto a la recta y lo sabemos, por lo que la función es una función periódica con período 8 y, debido a que es una función creciente en el intervalo, también es una función creciente en el intervalo. Como se muestra en la figura, la ecuación f(x) = m(m > 0) tiene cuatro raíces diferentes en el intervalo. También podríamos suponer que es simétricamente conocida.

Respuesta: -8

Proposición: Esta pregunta examina exhaustivamente la paridad y monotonicidad de la función.

Simetría, periodicidad, uso de imágenes de funciones para resolver problemas de ecuaciones,

Utilizar la idea de combinar números y formas y la idea de ecuaciones funcionales para responder preguntas.

3. Esta gran pregunta vale 6 puntos y 74 puntos.

17. (La puntuación total para esta pregunta es 12) Supongamos que la función f (x) = cos (2x) sin x.

(1) Encuentre el máximo y el mínimo de la función. f(x) Ciclo positivo.

(2) Sean A, B y C los tres ángulos interiores de A, B y C. Si cosB= y C es un ángulo agudo, encuentre Sina.

Solución: (1)f(x)=cos(2x) sin x.=

Entonces el valor máximo de la función f(x) es el período positivo mínimo. 5.u.c.o.m

(2) = =-, entonces, porque C es un ángulo agudo,

Y porque en ABC, cosB=, entonces, entonces w w w k s 5. u c o m

.

Proposición: Esta pregunta examina principalmente las propiedades de las fórmulas de funciones de cuerdas, fórmulas de doble ángulo, funciones trigonométricas y relaciones trigonométricas en funciones trigonométricas.

(18) (La puntuación total de esta pregunta es 12)

Como se muestra en la figura, en el prisma cuadrado regular A BCD-A B C D, el ABCD inferior es isósceles trapecio, AB//CD, AB = 4, BC = CD = 2, AA = 2, E, E y F son los puntos medios de los lados AD, AA y AB respectivamente.

(1) Demuestre: Recta EE //Plano FCC

(2) Encuentre el coseno del ángulo diédrico b-fc-c..5.u.c.o.m

Solución 1: (1) Tome el punto medio F1 de A1B1 en ABCD-A B C D.

Conecta A1D, C1F1 y CF1, porque AB=4, CD=2 y AB//CD,

Entonces CD=//A1F1, A1F1CD es un paralelogramo, entonces CF1 //A1D,

Y como E y E son los puntos medios de los lados AD y AA respectivamente, EE1//A1D,

Entonces CF1//EE1, y porque plano FCC, plano FCC,

Así que la línea recta EE //Plano FCC.

(2) Debido a que AB=4, BC=CD=2, F es el punto medio del lado AB, BF = BC = CF, △ BCF es un triángulo equilátero. Si se toma el punto medio o de CF, es OB⊥CF, y debido a que en el prisma cuadrado recto ABCD-A B C D, CC1⊥plano ABCD, si o se cruza, entonces OP⊥C1F se dibuja en el plano CC1F, y el el pie vertical es p , BP está conexo, entonces ∠OPB es el ángulo plano del ángulo diédrico B-FC -C, donde △BCF es un triángulo equilátero, y en Rt△CC1F, △OPF ∽.

En Rt△OPF,,, entonces el coseno del ángulo diédrico B-FC -C es.

Solución 2: (1) Debido a que AB = 4, BC = CD = 2, F es el punto medio del lado AB,

Entonces BF=BC=CF, △BCF es un triángulo equilátero, porque ABCD es un trapezoide isósceles, entonces ∠ BAC = ∠ ABC = 60, toma el punto medio m de AF,

conecta DM, luego DM⊥AB, entonces DM⊥ CD,

Establezca un sistema de coordenadas espacial rectangular con DM como eje x, DC como eje y y DD1 como eje z.

, luego d (0, 0, 0), a (, -1, 0), f (, 1, 0), c (0, 2, 0),

C1 (0, 2, 2), E (0, 0), E1 (-1, 1), entonces, sea el vector normal del plano CC1F, entonces, entonces, la recta EE //.

(2) Sea el vector normal del plano BFC1, entonces, tome,

, w w k . . o . m

Entonces se puede ver en la figura que el ángulo diédrico B-FC -C es un ángulo agudo, por lo que el coseno del ángulo diédrico B-FC -C es w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.

Concepción de la proposición: esta pregunta pone a prueba principalmente el concepto de prisma recto, la determinación de la relación entre líneas y superficies, el cálculo de ángulos diédricos, la capacidad de imaginación espacial, la capacidad de razonamiento y cálculo, y la capacidad de aplicar vectores. conocimientos para resolver problemas.

(19) (La puntuación total de esta pregunta es 12)

En un entrenamiento de tiro a punto fijo de baloncesto organizado por una escuela, se estipula que cada persona puede disparar hasta 3 veces; cada tiro en A 3 puntos, 2 puntos por cada tiro en B; si la suma de los dos primeros puntajes excede los 3 puntos, deje de disparar; de lo contrario, el tercer tiro, la tasa de acierto de un estudiante en el punto A es 0,25 y en el punto A. punto B La tasa de acierto es q. El estudiante elige disparar una pelota en el punto A primero y luego en el punto B. Esto representa la puntuación total del estudiante después del entrenamiento de tiro.

Su lista de distribución es

0 2 3 4 5

Organización Mundial de la Propiedad Intelectual

0.03 p 1 P2 P3 P4

(1 ) Encuentre el valor de q; 5.u.c.o.m

(2) Encuentre la expectativa matemática e de la variable aleatoria

(3) Intente comparar a los estudiantes que eligen disparar al punto B; y la probabilidad de anotar más de 3 puntos, y la probabilidad de elegir el método anterior para disparar más de 3 puntos.

Solución: (1) Deje que los estudiantes voten por el evento A en A y el evento B en B, entonces los eventos A y B son independientes entre sí, p (a) = 0,25, p (b) = q , .

Según la tabla de asignación: =0 =0,03, entonces q =0,8.

(2) Cuando = 2, p1 = w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

=0.75 q ( )×2=1.5 q ( )=0.24

Cuándo Cuándo =3, P2 = =0.01,

Cuando =4, P3= =0.48,

Cuando =5, P4=

=0.24

Entonces la lista de distribución de variables aleatorias es

0 2 3 4 5

p 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24

La expectativa matemática de variables aleatorias

(3) La probabilidad de que el estudiante elija disparar al punto B y obtenga más de 3 puntos es

;

La probabilidad de que el estudiante elija (1) ) es más de 3 puntos es 0,48 0,24=0,72.

Desde esta perspectiva, si los estudiantes eligen actuar en el punto B, la probabilidad de obtener más de 3 puntos es muy alta.

Proposición: esta pregunta examina principalmente la probabilidad de eventos mutuamente excluyentes, la probabilidad y expectativa matemática de eventos mutuamente independientes y la capacidad de utilizar el conocimiento de probabilidad para resolver problemas.

(20)(La puntuación total de esta pregunta es 12)

La suma de los primeros n términos de la serie geométrica {} es, se sabe que para cualquier punto, es una función y es una constante).

(1) Encuentra el valor de r;

(11) Cuando b=2, recuerda

Prueba: Para cualquiera, la desigualdad existe.

Solución: debido a que cualquier punto está en una imagen con una función constante, entonces cuando, cuando y porque {} es una serie geométrica, la proporción común es,

Cuando b=2,

Entonces, entonces

Usemos la inducción matemática para demostrar esta desigualdad.

①Si, izquierda =, derecha =, porque se cumple la desigualdad.

(2) Supongamos que cuando se cumple la desigualdad, se cumple. Entonces cuando, el lado izquierdo =

Entonces cuando, la desigualdad también se cumple.

La desigualdad obtenida de ① y ② se cumple.

Proposición: esta pregunta prueba principalmente la definición, la fórmula general y los problemas básicos conocidos de las series geométricas. Utilice la inducción matemática para probar proposiciones relacionadas con números naturales y utilice el método de escala para probar desigualdades.

(21)(La puntuación total de esta pregunta es 12)

La distancia entre dos condados A y B es de 20 kilómetros. Ahora está previsto seleccionar el punto C en el arco semicircular con diámetro exterior AB en los dos condados para construir una planta de tratamiento de basura. Su impacto en la ciudad está relacionado con la distancia desde el lugar elegido hasta la ciudad. El impacto total en las ciudades A y B es la suma de los impactos en las ciudades A y B. Recuerde que la distancia del punto C a la ciudad A es x kilómetros, y el impacto total de construir una planta de tratamiento de residuos en C en las ciudades A y B es y, las encuestas estadísticas muestran que la planta de tratamiento de basura tiene un mayor impacto en la ciudad B. El impacto en la ciudad B es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde el sitio a la ciudad B. El coeficiente proporcional es k. Se construye una planta de tratamiento en el punto medio de , el impacto en la ciudad A será y la ciudad B tendrá un impacto total de 0.065.

(1) significa que y es una función de x;

(11) Analice la monotonicidad de la función en (1) y determine si hay un punto en el arco que hace que la basura se construya aquí ¿La planta de tratamiento tiene el impacto total más pequeño en la Ciudad A y la Ciudad B? Si existe, encuentre la distancia desde el punto a la ciudad A; si no existe, explique el motivo.

Opción 1: (1) Como se muestra en la figura, AC⊥BC

Cuando, y=0,065, entonces k=9.

Entonces y en función de x es

(2), entonces, cuando, es decir, entonces la función es una función monótonamente decreciente, cuando, es decir, entonces la La función es una función monótonamente creciente. Entonces, cuando, es decir, la distancia del punto C a la ciudad A es, la función tiene un valor mínimo.

Opción 2: (1) Igual que el anterior.

(2) Establecer,

Entonces, , entonces

tomar "=" si y solo si.

Se demuestra que la función es decreciente en (0, 160) y creciente en (160, 400).

Conjunto 0

,

Porque 0;4×240×240

9m 1 m2 lt;9×160×160 entonces ,

Entonces la función en (0, 160) es una función decreciente.

De manera similar, la función es una función creciente en (160, 400). Sea 160.

Porque 1600

Entonces,

Entonces. La función en (160, 400) es una función creciente.

Por tanto, cuando m=160, la función y tiene un valor mínimo.

Entonces, hay un punto en el arco que minimiza el impacto total de una planta de tratamiento de residuos construida aquí en la ciudad A y la ciudad b.

Proposición: Esta pregunta prueba principalmente la aplicación de funciones en problemas prácticos, utilizando el método de coeficientes indeterminados para resolver la capacidad de resolver funciones y utilizando el método de sustitución y desigualdades básicas para examinar la monotonicidad de funciones.

(22) (La puntuación total de esta pregunta es 14)

Supongamos que una elipse e: (a, b >; 0) pasa por M (2,) y N ( , 1) , donde o es el origen de las coordenadas,

(I) Encuentra la ecuación de la elipse e

(II) ¿Existe un círculo con el centro en el? origen, tal que el círculo es igual a la ecuación de la elipse E? ¿Siempre hay dos puntos de intersección A y B para cualquier recta tangente? Si existe, escribe la ecuación del círculo y encuentra el rango de |AB|. Si no existe, explique por qué.

Solución: (1) Debido a que la elipse e: (a, b >; 0) está después de M(2,) y N(, 1),

Entonces la ecuación de la elipse e La solución es la siguiente

(2) Supongamos que hay un círculo con el centro en el origen, de modo que cualquier recta tangente entre el círculo y la elipse E siempre tiene dos puntos de intersección A y B, y suponemos que la ecuación tangente de la circunferencia se resuelve resolviendo el sistema de ecuaciones Lo que se obtiene es,

Delta =, es decir,

Para poder hacerlo tenemos que hazlo, es decir, de esta manera, de esta manera, de esta manera, es decir, o, porque la línea recta es el centro del círculo en el origen La línea tangente del círculo, el radio del círculo es, encuentra el círculo es, en este momento, todas las rectas tangentes del círculo satisfacen o, cuando la pendiente de la recta tangente no existe, los dos puntos de intersección de la recta tangente y la elipse satisfacen o. En resumen, hay un círculo con centro en el origen, de modo que cualquier recta tangente del círculo se cruza con o.

Porque,

Entonces,

,

(1) Cuándo

Porque, por lo tanto,

p>

Entonces,

Entonces toma "=" si y solo si.

(2)Maldita sea.

③Cuando la pendiente de AB no existe, los dos puntos de intersección son o, por lo que en este momento,

En resumen, el rango de valores de |AB| es:

Proposición: Esta pregunta es una cuestión de si algo existe. Examina principalmente la determinación de la ecuación estándar de una elipse, la relación posicional entre una línea recta y una elipse, la relación posicional entre una línea recta y un círculo y el método de resolución de ecuaciones utilizando el método de coeficientes indeterminados. Puede utilizar el método de resolución de ecuaciones para estudiar problemas de parámetros relacionados y la relación entre las raíces y los coeficientes de la ecuación.