Contornos de líneas catenarias

Donde a es una constante. Como se muestra en la figura de la derecha, suponga que el punto más bajo A está sujeto a una fuerza de tracción horizontal hacia la izquierda H, y el punto colgante derecho está representado como el punto C. Tome cualquier sección de la sección del arco AC como el punto B, luego B está sujeto a una fuerza de tracción oblicua hacia arriba T. Suponga que el ángulo entre T y la dirección horizontal es θ, y la masa de la cuerda AB es m Obviamente, la fuerza en el punto B está equilibrada. El análisis de la fuerza es el siguiente: <. /p>

... (1)

m=σs, donde s es la longitud de la cuerda AB del segmento recto y σ es la densidad lineal de la cuerda, es decir, la masa de la cuerda por unidad de longitud. Sustituye en la ecuación diferencial para obtener...(2)

Usa el teorema de Pitágoras

para obtener:

... (3)

Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (2), obtenemos:

... (4)

También puedes hacer una sustitución de variables, sea: , y obtenga la siguiente ecuación:

Para eliminar el signo integral, tome la derivada de x en ambos lados de la ecuación anterior:

A continuación, las variables se separan e integran en ambos extremos:

Dado que la solución de la integral anterior es:

…(5)

(Tenga en cuenta que el exponente -1 representa la función inversa, no el recíproco).

El valor de C se determina a continuación. Obviamente, cuando x = 0, y' = 0, es decir, p = 0, sustituya esta condición de valor inicial en la solución que obtenemos, porque la solución es C = 0. La imagen del seno hiperbólico inverso se muestra a continuación. mejorar la intuición saber.

Luego usa las propiedades de la función inversa para tomar el seno hiperbólico en ambos lados de la ecuación (5):

Analiza e integra las variables de la ecuación anterior:

Entonces obtenemos la solución final:

C en la fórmula anterior generalmente se conserva y tomará valores diferentes según la selección del sistema de coordenadas.