¿Qué es el cálculo?
En primer lugar, ¿qué es el cálculo?
El cálculo (en latín, piedra pequeña significa contar) es una rama de las matemáticas que estudia los límites, el cálculo diferencial, el cálculo integral y las series infinitas. convertirse en una parte moderna de la educación universitaria. Históricamente, el cálculo se refería a cálculos de infinitesimales. Más esencialmente, el cálculo es la ciencia del cambio, al igual que la geometría es la ciencia de la forma y el álgebra es la ciencia de las operaciones y soluciones algebraicas.
El cálculo se utiliza ampliamente en la ciencia, la economía, la ingeniería y otros campos para resolver problemas que no pueden resolverse eficazmente solo con álgebra. El cálculo se basa en álgebra, trigonometría y geometría analítica e incluye cálculo diferencial e integral. El cálculo diferencial, incluido el cálculo de derivadas, es una teoría de tasas de cambio. Permite derivar funciones, velocidades, aceleraciones y pendientes de curvas a partir de un conjunto común de símbolos. El cálculo integral, incluido el cálculo de integrales, proporciona un método general para definir y calcular áreas y volúmenes. El teorema fundamental del cálculo establece que la diferenciación y la integración son operaciones inversas, razón por la cual las dos teorías se unificaron en el cálculo. Podemos analizar el cálculo desde cualquiera de los dos, pero normalmente el cálculo diferencial se introduce primero en la enseñanza. En los ámbitos más profundos de las matemáticas, el cálculo a menudo se denomina análisis y se define como la ciencia de las funciones.
2. Conceptos básicos
Hay tres ramas principales del cálculo: límite, cálculo diferencial y cálculo integral. La teoría básica del cálculo muestra que diferencial e integral son operaciones recíprocas. Newton y Leibniz descubrieron este teorema, lo que provocó que otros estudiosos estudiaran con entusiasmo el cálculo. Este descubrimiento también nos permite convertir entre cálculo diferencial e integral. Esta teoría básica también proporciona un método para utilizar el álgebra para calcular muchos problemas integrales, que consiste en utilizar el método integral indefinido para reemplazar el método de operación límite. Esta teoría también puede resolver algunos problemas de ecuaciones diferenciales y resolver la integral de variables desconocidas. Los problemas diferenciales son omnipresentes en la ciencia.
Los conceptos básicos del cálculo incluyen funciones, secuencias infinitas, series infinitas y continuidad. Los métodos de operación incluyen principalmente técnicas de operación simbólica, que están estrechamente relacionadas con el álgebra elemental y la inducción matemática.
El cálculo se ha extendido a ecuaciones diferenciales, análisis vectorial, cálculo de variaciones, análisis complejos, diferenciales en el dominio del tiempo y topología diferencial. La versión moderna del cálculo es un análisis real.
3. La historia del cálculo
(1) La antigüedad
El pensamiento de las matemáticas antiguas tendía a ser integral, pero no era riguroso ni sistemático. Una de las tareas de las integrales, el cálculo del volumen y el área, se puede encontrar en el Papiro de la Mezquita Egipcia (1820 a.C.). Su fórmula también es muy sencilla, no se menciona el método y los ingredientes principales no están completos. El origen de los puntos es muy temprano. En la antigua Grecia, Eudoxo (408-355 a. C.) utilizó un método exhaustivo para encontrar áreas gráficas especiales. Arquímedes (287-212 a. C.) utilizó la circunferencia de un polígono regular inscrito para agotar la circunferencia de un círculo y obtuvo un valor aproximado de pi. También se utiliza una serie de triángulos para completar la forma de una parábola y encontrar su área. Estos son ejemplos clásicos de métodos exhaustivos. Después del siglo III d.C., Liu Hui de China también utilizó el método exhaustivo para encontrar el área de un círculo. Cinco siglos después, a Zu Chongzhi se le ocurrió un algoritmo para calcular el volumen de una esfera, también llamado fórmula de Cavalieri.
(2) Moderno
Una de las motivaciones para desarrollar la teoría del cálculo moderno es resolver el problema de la tangente, y la otra motivación es el problema del área.
Después del Renacimiento, las técnicas de integración se desarrollaron aún más basándose en necesidades prácticas y discusiones teóricas. Por ejemplo, para facilitar la navegación, Gerardus Mercator inventó el llamado método de proyección Mercator, que convertía las líneas rectas del mapa en líneas oblicuas para mantener la dirección durante la navegación. En Europa, el argumento básico provino de Bonaventura Cavalieri, quien argumentó que el volumen y el área deberían calcularse encontrando el número total de secciones transversales infinitesimales. Sus ideas eran similares a la metodología de Arquímedes, pero el manuscrito de Cavalieri se perdió y no fue encontrado hasta principios del siglo XX. Los esfuerzos de Cavalieri no fueron reconocidos porque su método tenía un gran error y los infinitesimales no se tomaban en serio en ese momento.
La primera mitad del siglo XVII fue el período de gestación del cálculo. En el proceso de exploración de ideas, el cálculo es individual y la aplicación es individual. Más tarde, Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton maduraron el concepto de cálculo casi simultáneamente, aclararon la relación entre cálculos diferenciales e integrales, sistematizaron y aplicaron el cálculo a la geometría a gran escala y a la investigación de la física.
Antes de fundar el cálculo, la gente consideraba el cálculo diferencial y el cálculo integral como materias independientes. Sólo más tarde se dividieron realmente estas materias en "cálculo".
En sus estudios formales de cálculo, Pierre de Fermat afirmó que se inspiró en el trabajo de Diofanto e introdujo el concepto de "suficiencia", que equivale al error infinitesimal. Desafortunadamente, no logró comprender la estrecha relación entre los dos. John Wallis (matemático), Isaac Barrow y James Gregory completaron el argumento combinatorio. El maestro de Newton, Isaac Barrow, sabía que existía una relación recíproca entre ambos, pero no podía entender su significado. Una razón es que no existe un método sistemático para calcular los derivados. El éxito de la geometría plana griega antigua tuvo un profundo impacto en las matemáticas occidentales: generalmente se cree que sólo los métodos de demostración geométrica son matemáticas rigurosas y reales, y el álgebra es sólo una herramienta auxiliar. Esta actitud fue cambiando gradualmente hasta que Descartes y Fermat abogaron por el uso de métodos algebraicos para estudiar la geometría. Sin embargo, por un lado, la forma de pensar geométrica está profundamente arraigada en los corazones de la gente, por otro lado, el método algebraico aún no está maduro y el sistema de números reales no se ha establecido en mucho tiempo. , muchos matemáticos todavía se apegan al campo geométrico y no pueden desarrollar métodos de cálculo eficaces. Aunque Newton abandonó las opiniones puramente geométricas de su maestro y desarrolló métodos eficaces de cálculo diferencial, no se atrevió a publicarlos. Newton utilizó las habilidades del cálculo para explicar su sistema cósmico a partir de la ley de la gravitación universal y las leyes del movimiento, y resolvió problemas como el movimiento de los cuerpos celestes, la superficie de rotación de los fluidos, el achatamiento de la Tierra y el movimiento de objetos pesados en la cicloide. Newton utilizó símbolos únicos para los cálculos al resolver problemas matemáticos y físicos. De hecho, se trata de la ley del producto, la ley de la cadena, las derivadas de orden superior, las series de Taylor y las ecuaciones analíticas. Sin embargo, debido a que temía las críticas de la gente en ese momento, borró las huellas del cálculo en su obra maestra "Principios matemáticos de la filosofía natural" (1687) y lo discutió en una forma geométrica clásica. En otros escritos, Newton utilizó el poder de las fracciones y los números irracionales. Al parecer Newton conocía la ley de las series de Taylor. Pero no publicó estos hallazgos porque los infinitesimales todavía eran controvertidos en ese momento.
Las ideas anteriores fueron integradas en una versión verdaderamente infinitesimal del cálculo por Gottfried Wilhelm Leibniz, a quien Newton acusó de plagio. En la actualidad, se considera que Leibniz es otro inventor independiente del cálculo. Su contribución radica en su estilo riguroso, que facilitó el cálculo de derivadas de segundo orden o superior, y dio la regla del producto y la regla de la cadena en forma de diferenciales e integrales. A diferencia de Newton, Leibniz prestó gran atención a la forma, trabajando a menudo día tras día en los símbolos apropiados.
Tanto Leibniz como Newton son considerados inventores independientes del cálculo. Newton fue el primero en aplicar el cálculo a la física general, mientras que Leibniz creó gran parte de la notación actual. Tanto Newton como Leibniz dieron los métodos básicos de cálculo diferencial e integral, derivadas de segundo o mayor orden, símbolos para aproximaciones de secuencias, etc. En la época de Newton, las fórmulas básicas del cálculo ya eran conocidas en el mundo.
Cuando Newton y Leibniz publicaron por primera vez sus resultados, estalló un largo debate en la comunidad matemática sobre la propiedad y prioridad de la invención del cálculo. Newton fue el primero en sacar conclusiones y Leibniz fue el primero en publicarlas. La afirmación de Newton de que Leibniz había plagiado su manuscrito inédito fue apoyada por la Royal Society de Newton. Este gran debate dividió a los matemáticos en dos grupos: un grupo eran los matemáticos británicos que defendían a Newton; el otro grupo eran los matemáticos de Europa continental. Los resultados no fueron favorables para los matemáticos británicos. Después de una cuidadosa verificación en el futuro, Newton y Leibniz llegaron de forma independiente a sus propias conclusiones. Leibniz derivó de integrales y Newton de diferenciales. Hoy en día, Newton y Leibniz son considerados los dos autores independientes que inventaron el cálculo. El nombre "cálculo" y sus símbolos de operación fueron creados por Leibniz y Newton los llamó "números de flujo".
Muchas personas han mejorado continuamente el cálculo y es inseparable de las contribuciones de Barro, Descartes, Fermat, Huygens, Wallis y otros. El primer trabajo analítico completo sobre lo finito y lo infinitesimal fue resumido y editado por Maria Agnesi en 1748. Newton y Leibniz sistematizaron el cálculo, pero no con rigor. Sin embargo, si bien el cálculo se utilizó con éxito para resolver muchos problemas, los matemáticos del siglo XVIII estaban más interesados en sus aplicaciones y menos comprometidos con su rigor. El desarrollo del cálculo en aquella época tuvo la suerte de estar en manos de unos pocos matemáticos muy destacados, como Euler, Lagrange, Laplace, d'Alembert y la familia Bernoulli.
Los problemas estudiados provienen de fenómenos naturales, por lo que muchas inferencias del cálculo pueden verificarse con datos de fenómenos naturales, de modo que el cálculo no contendrá errores debidos a fundamentos inestables. En manos de estos matemáticos, el alcance del cálculo trascendió rápidamente los cursos de cálculo impartidos al principio de la universidad y avanzó hacia una ciencia analítica más avanzada.
Fuente: Wikipedia.