Tesis de graduación sobre series de potencias y sus aplicaciones.
1. Teoría básica: la teoría básica de la expansión de series de potencias es muy madura e incluye la convergencia, el radio de convergencia y la unicidad de las series de potencias. Los más famosos son la prueba del estrás de Weier y el teorema de Abel.
2. Campos de aplicación: La expansión de series de potencias se utiliza ampliamente en diversos problemas de física matemática. Por ejemplo, en cálculo, las series de potencias se pueden utilizar para representar la serie de Taylor de una función para realizar cálculos y análisis aproximados. En física matemática, las expansiones de series de potencias también se utilizan para describir el comportamiento de sistemas físicos. Por ejemplo, en la teoría cuántica de campos y la física estadística, la expansión de series de potencias se utiliza para calcular diversas cantidades físicas.
3. Investigación en los últimos años: En los últimos años, el enfoque de la investigación sobre la expansión de series de potencias ha pasado de la teoría básica a problemas más de aplicación, como la expansión de series de potencias de múltiples variables complejas y potencias de funciones especiales. Representación en series, método de series de potencias en ecuaciones diferenciales parciales no lineales, etc.
Además, los métodos de cálculo de la expansión de series de potencias también se han mejorado enormemente. Los métodos numéricos como el método de red adaptativa y el método de elementos límite se han utilizado ampliamente en los cálculos de expansión de series de potencias.
4. Problemas sin resolver: Aunque la teoría básica de la expansión de series de potencias ha madurado, todavía quedan muchos problemas interesantes por resolver. Por ejemplo, cómo utilizar la expansión de series de potencias para funciones no analíticas, cómo aplicar la expansión de series de potencias a problemas de alta dimensión, cómo combinar la expansión de series de potencias con otros métodos matemáticos, etc. La solución de estos problemas promoverá el desarrollo de la investigación sobre expansión de series de potencias en una dirección más profunda.
La serie de potencias es uno de los conceptos importantes en el análisis matemático. Significa que cada término de la serie es una potencia de (xa). Es un múltiplo constante del número de serie n (n es de An). conteo de enteros a partir de 0, a es una constante). Las series de potencias son un concepto importante en el análisis matemático y se han utilizado como contenido básico en muchos campos, como funciones de variables reales y funciones de variables complejas.
La solución en series de potencias es un método para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias. Especialmente cuando la solución de la ecuación diferencial no puede expresarse mediante funciones elementales o sus integrales, se necesitan otras soluciones, especialmente soluciones aproximadas. La solución en serie de potencias es una solución aproximada común. Muchas ecuaciones diferenciales ordinarias importantes en matemáticas y física se pueden resolver utilizando soluciones en series de potencias y soluciones en series de potencias generalizadas, como la ecuación de Bessel y la ecuación de Legendre.