¿Cuál es el pensamiento matemático de los estudiantes de primaria y cuál es el pensamiento matemático de los estudiantes de secundaria?

(2) Objetivo de definición: estudiantes de 1.º a 6.º grado.

(3) Contenido de la definición:

(1) El pensamiento matemático se refiere a la forma espacial y la relación cuantitativa del mundo real reflejada en la conciencia humana y es el resultado de las actividades de pensamiento. El pensamiento matemático es la comprensión esencial después de resumir hechos y teorías matemáticas.

(2) Las ideas matemáticas básicas son las ideas matemáticas básicas, resumidas y más extensas que están o deben reflejarse en las matemáticas básicas. Contienen la esencia del pensamiento matemático tradicional y las características básicas del pensamiento matemático moderno, y se desarrollan históricamente. Mediante el cultivo del pensamiento matemático, la capacidad matemática mejorará enormemente. Dominar las ideas matemáticas es dominar la esencia de las matemáticas.

El pensamiento matemático común entre los estudiantes de primaria incluye el pensamiento simbólico, el pensamiento por correspondencia, el pensamiento reduccionista y el pensamiento extremo.

lPensamiento simbólico

Usar lenguaje simbólico (que incluye letras, números, gráficos y varios símbolos específicos) para describir el contenido de las matemáticas es pensamiento simbólico. La idea de los símbolos es integrar todas las instancias de datos en una y utilizar fórmulas alfabéticas simples y claras para expresar un lenguaje y texto complejos, que sean fáciles de recordar y usar. Es un proceso desde lo concreto a la representación y luego a la simbolización abstracta, abstrayendo cosas, fenómenos y sus relaciones en símbolos y fórmulas matemáticas. El lenguaje matemático encarnado por símbolos es un lenguaje universal y un reflejo integral de la competencia matemática de una persona.

l-Convertir pensamientos

La conversión de pensamientos es el método de pensamiento más utilizado en matemáticas. Su idea básica es transformar la solución del problema A en la solución del problema B, y luego obtener la solución del problema A mediante la inversa de la solución del problema B. Generalmente se refiere a una "transformación" irreversible. Sus formas básicas incluyen: convertir la dificultad en fácil, convertir la vida en madurez, convertir la complejidad en simplicidad, convertir el todo en partes, convertir la música en rectitud, etc.

l Pensamientos de limitación

Las cosas cambian de cambios cuantitativos a cambios cualitativos. La esencia del método del límite es lograr cambios cualitativos a través del proceso infinito de cambios cuantitativos. Hay muchos lugares en los libros de texto actuales de la escuela primaria que se centran en la penetración de ideas extremas.

lPensamiento de correspondencia

La correspondencia significa que un elemento de un sistema es equivalente a un elemento de otro sistema en términos de naturaleza, función y ubicación. El pensamiento por correspondencia puede entenderse como una forma de pensar sobre la relación entre dos elementos establecidos. Infiltrar ideas correspondientes en la enseñanza de matemáticas en la escuela primaria puede ayudar a mejorar la capacidad de los estudiantes para analizar y resolver problemas.

Empecé a pensar

Un cierto número de cosas distintas (ya sean concretas o abstractas) se agrupan y se tratan como un todo, llamado conjunto, en el que cada cosa se llama elemento de un conjunto. En términos sencillos, se trata de considerar algunos objetos diferentes identificables como un todo, y este todo es la colección de todos estos objetos.

lLa idea de combinar números y formas

Se basa en la conexión interna entre las condiciones y conclusiones de problemas matemáticos, lo que no sólo analiza su significado algebraico sino que también revela su significado geométrico, para que se pueda resolver la relación cuantitativa del problema La idea de combinar inteligente y armoniosamente con formas espaciales para resolver problemas matemáticos mediante la transformación mutua de números y formas.

l Ideas de modelado matemático

El llamado modelo matemático es una estructura matemática para un objeto de investigación específico en el mundo real. Para un propósito determinado, después de algunas simplificaciones y suposiciones necesarias, se utiliza expresado en lenguaje matemático. La idea del modelado matemático es descubrir, proponer y comprender problemas que necesitan ser resueltos o aún por resolver en el mundo real desde una perspectiva matemática, y a través del proceso de transformación, reducirlos a un problema que ha sido resuelto o es fácil de resolver y utiliza de manera integral las matemáticas aprendidas. Una idea matemática que se puede resolver con conocimientos y habilidades.

El pensamiento matemático se refiere a la comprensión que las personas tienen de la esencia y el contenido de las teorías matemáticas, y los métodos matemáticos son la forma específica de pensamiento matemático. De hecho, la esencia de los dos es la misma, la única diferencia es la perspectiva desde la que se mira el problema. A esto se le suele denominar “método de pensamiento matemático”.

Cuatro ideas principales en matemáticas: funciones y ecuaciones, reducción, discusión sobre clasificación y combinación de números y formas;

[Editar este párrafo] Funciones y ecuaciones

Pensamiento funcional se refiere al uso de conceptos y propiedades de funciones para analizar, transformar y resolver problemas. La idea de las ecuaciones es partir de la relación cuantitativa del problema, utilizar lenguaje matemático para transformar las condiciones del problema en un modelo matemático (ecuación, desigualdad o un grupo mixto de ecuaciones y desigualdades) y luego resolver el problema. resolviendo la pregunta de ecuación (grupo) o desigualdad (grupo).

A veces, funciones y ecuaciones se transforman y relacionan entre sí para resolver problemas.

La idea de Descartes sobre las ecuaciones es: problemas prácticos → problemas matemáticos → problemas algebraicos → problemas de ecuaciones. El universo está lleno de igualdad y desigualdad. Sabemos que donde hay ecuaciones, hay ecuaciones; donde hay fórmulas, hay ecuaciones; los problemas de evaluación se resuelven resolviendo ecuaciones... y así sucesivamente; y los problemas de desigualdad también están estrechamente relacionados con las ecuaciones, que son parientes cercanos. Hacer ecuaciones, resolver ecuaciones y estudiar las propiedades de las ecuaciones son consideraciones importantes al aplicar ideas de ecuaciones.

La función describe la relación entre cantidades en la naturaleza. El pensamiento funcional establece un modelo matemático de relación funcional proponiendo las características matemáticas del problema a realizar. Encarna la visión materialista dialéctica de "conexión y cambio". En términos generales, la idea de las funciones es utilizar las propiedades de las funciones para construir funciones para resolver problemas. Las más utilizadas incluyen monotonicidad, paridad, periodicidad, valores máximos y mínimos, transformación de imágenes, etc. Se requiere que dominemos las características específicas de funciones lineales, funciones cuadráticas, funciones de potencia, funciones exponenciales, funciones logarítmicas y funciones trigonométricas. Al resolver problemas, ser bueno explorando las condiciones ocultas del problema y construyendo las propiedades de funciones discriminantes y funciones inteligentes son las claves para utilizar el pensamiento funcional. Sólo mediante la observación, el análisis y el juicio profundos, completos y completos de un problema determinado se puede crear una relación de compensación y construir un prototipo funcional. Además, los problemas de ecuaciones, los problemas de desigualdad y algunos problemas algebraicos también se pueden transformar en problemas funcionales relacionados, es decir, utilizar ideas funcionales para resolver problemas no funcionales.

El conocimiento funcional implica muchos puntos de conocimiento, tiene una amplia gama y tiene ciertos requisitos en concepto, aplicación y comprensión, por lo que es el enfoque del examen de ingreso a la universidad. Algunos tipos comunes de preguntas que utilizamos en el pensamiento funcional son: cuando encontramos variables, construimos relaciones funcionales para resolver problemas en problemas matemáticos de múltiples variables, analizamos desigualdades, ecuaciones, valores mínimos, valores máximos y otros; , elegir variables principales apropiadas, revelando la relación funcional entre ellas problemas de aplicación práctica, traducidos al lenguaje matemático, estableciendo modelos matemáticos y relaciones funcionales, y aplicando conocimientos como propiedades funcionales o desigualdades para resolver, primero; n términos La fórmula de suma puede considerarse como una función de n, y el problema de secuencia también se puede resolver utilizando el método de función.

[Editar este párrafo] Transformación equivalente

La transformación equivalente es un método de pensamiento importante que transforma problemas con soluciones desconocidas en problemas que pueden resolverse dentro del alcance del conocimiento existente. A través de una transformación constante, problemas desconocidos, irregulares y complejos se transforman en problemas familiares, estandarizados e incluso simples. A lo largo de los años, la idea de conversión equivalente ha estado presente en todas partes en el examen de ingreso a la universidad. Debemos cultivar y entrenar constantemente nuestra conciencia de transformación consciente, lo que ayudará a fortalecer nuestra adaptabilidad en la resolución de problemas matemáticos y mejorará nuestra capacidad y destrezas de pensamiento. Las transformaciones incluyen transformaciones equivalentes y transformaciones no equivalentes. La transformación equivalente requiere que la causa y el efecto en el proceso de transformación sean suficientes y necesarios para garantizar que el resultado después de la transformación siga siendo el resultado del problema original. El proceso de transformación no equivalente es suficiente o necesario, por lo que es necesario revisar la conclusión (por ejemplo, es necesario probar las raíces de ecuaciones racionales equivalentes irrazonables), lo que puede resaltar el pensamiento de las personas y encontrar un gran avance para resolver el problema. . En la aplicación, debemos prestar atención a los diferentes requisitos de equivalencia y no equivalencia, y garantizar la equivalencia y la corrección lógica al implementar transformaciones equivalentes.

El famoso matemático y profesor de la Universidad Estatal de Moscú C.A. Yadykaya dijo una vez en un discurso titulado "¿Qué es la resolución de problemas" a los concursantes de la Olimpiada de Matemáticas: "Resolver un problema es convertirlo en un problema resuelto?" ". El proceso de resolución de problemas de las matemáticas es el proceso de transformación de lo desconocido a lo conocido, de lo complejo a lo simple.

El método de transformación equivalente se caracteriza por la flexibilidad y la diversidad. No existe un modelo unificado para resolver problemas matemáticos utilizando un pensamiento de transformación equivalente. Puede convertir entre números, formas y números y formas; puede realizar conversiones equivalentes a nivel macro, como la traducción del lenguaje ordinario al lenguaje matemático en el proceso de análisis y resolución de problemas prácticos; puede usarse en símbolos; La transformación de los sistemas se logra en el interior, lo que es la llamada deformación de la identidad. El método de eliminación, el método de sustitución, la combinación de números y formas y los problemas de dominio de evaluación encarnan la idea de transformación equivalente. A menudo realizamos transformaciones equivalentes entre funciones, ecuaciones y desigualdades. Se puede decir que la transformación equivalente es plantear la transformación algebraica de la transformación de identidad para mantener inalterada la verdad o falsedad de la proposición. Debido a su diversidad y flexibilidad, debemos diseñar racionalmente vías y métodos de transformación para evitar aplicar tipos de preguntas mecánicamente.

Al implementar transformaciones equivalentes en operaciones matemáticas, debemos seguir los principios de familiaridad, simplificación, intuición y estandarización, es decir, convertir los problemas encontrados en problemas familiares para tratar o transformarlos en problemas más complejos y engorrosos; problemas en Se convierte en un problema relativamente simple, como de la trascendencia al álgebra, de la irracionalidad a la racionalidad, de las fracciones a las expresiones algebraicas, etc. O los problemas más difíciles y abstractos se pueden transformar en problemas más intuitivos para comprender con precisión el proceso de resolución de problemas, como combinar números y formas o pasar de no estándar a estándar; De acuerdo con estos principios, las operaciones matemáticas pueden ahorrar tiempo y esfuerzo durante el proceso de transformación. Al igual que empujar el barco a lo largo de la corriente, que a menudo impregna la idea de transformación equivalente, puede mejorar el nivel y la capacidad de resolución de problemas.

[Editar este párrafo] Discusión sobre clasificación

Al resolver algunos problemas matemáticos, a veces habrá muchas situaciones que deben resolverse una por una mediante clasificación, y luego la solución puede ser sintetizado. Este es el método de discusión de clasificación. La discusión sobre clasificación es un método lógico, una idea matemática importante y una estrategia importante para la resolución de problemas, que incorpora la idea de dividir las cosas en partes y el método de clasificación y clasificación. Las preguntas matemáticas sobre clasificación y discusión de ideas son obviamente lógicas, integrales y exploratorias, y pueden entrenar el orden y la generalidad del pensamiento de las personas, por lo que ocupan una posición importante en las preguntas del examen de ingreso a la universidad.

Las principales razones para las discusiones sobre clasificación son las siguientes:

① Clasificar y definir los conceptos matemáticos involucrados en el problema. Por ejemplo, la definición de |a| se divide en tres situaciones: a & gt0, a=0 y a & lt0. Esta pregunta de discusión sobre clasificación se puede llamar conceptual.

②Los teoremas matemáticos, fórmulas, propiedades operativas, reglas involucradas en la pregunta, el alcance o condiciones limitadas, o clasificación. Por ejemplo, la fórmula para la suma de los primeros n términos de una serie geométrica se puede dividir en dos casos: Q = 1 y q≠1. Este tipo de pregunta de discusión sobre clasificación se puede llamar de tipo natural.

③Al utilizar parámetros para resolver problemas, la discusión debe basarse en los diferentes rangos de valores de los parámetros. Por ejemplo, resolver la desigualdad ax>2am>0, a=0 y a

Además, algunas cantidades inciertas, formas o posiciones de gráficos inciertas, conclusiones inciertas, etc. Las discusiones se realizan principalmente mediante clasificación para garantizar su integridad y hacerlas deterministas.

Se deben seguir los siguientes principios al discutir la clasificación: determinación de los objetos de clasificación, estándares unificados, no omisiones ni duplicaciones, clasificación científica, prioridades claras y no saltarse discusiones. Lo más importante es "no falta nada, no pesa nada".

Al responder preguntas de discusión sobre clasificación, nuestros métodos y pasos básicos son: primero, determinar el alcance del objeto de discusión y todo el objeto de discusión, en segundo lugar, determinar los estándares de clasificación y clasificar de manera correcta y razonable, es decir, los estándares están unificados y no se pierden fugas. La repetición y la clasificación son mutuamente excluyentes (luego la clasificación se analiza nivel por nivel y finalmente se obtienen resultados por etapas y se hace un resumen para sacar una conclusión integral);

[Editar este párrafo] Combinaciones de números y formas

El conocimiento básico de las matemáticas de la escuela secundaria se divide en tres categorías: una es el conocimiento numérico puro, como números reales, expresiones algebraicas, ecuaciones (grupo), desigualdad (grupo), función, etc. Una categoría es el conocimiento sobre formas puras, como geometría plana, geometría sólida, etc. Uno es el conocimiento sobre la combinación de números y formas, que se refleja principalmente en la geometría analítica.

La combinación de números y formas es un método de pensamiento matemático, que incluye dos aspectos: "usar formas para ayudar a los números" y "usar números para ayudar a las formas". Su aplicación se puede dividir aproximadamente en dos situaciones: una es utilizar la viveza y la intuición de las formas para aclarar la relación entre los números, es decir, utilizar las formas como medio y los números como propósito, como utilizar la imagen de una función para ilustrar intuitivamente las propiedades de la función o usar la precisión y el rigor de los números para aclarar ciertas propiedades de una forma, es decir, usar los números como medio y la forma como propósito, como usar la ecuación de una curva para aclarar con precisión las propiedades geométricas; de una curva.

Engels dijo una vez: "La matemática es la ciencia que estudia la relación entre cantidades y formas espaciales en el mundo real. La combinación de números y formas se basa en la relación intrínseca entre las condiciones y conclusiones de las matemáticas". Es a la vez analítico y su significado algebraico también revela su intuición geométrica, combinando así de manera inteligente y armoniosa la descripción precisa de la cantidad con la imagen intuitiva de la forma espacial. Podemos aprovechar al máximo esta combinación para encontrar formas de resolver problemas y hacer. problemas difíciles y fáciles. Haga lo complejo simple y obtenga la solución. "Número" y "forma" son un par de contradicciones, y todo en el universo es la unidad de las contradicciones entre "número" y "forma". El Sr. Hua dijo: Si el número es pequeño, no será tan intuitivo. Si el número es pequeño, será difícil ser meticuloso. La combinación de números y formas es buena en todos los aspectos y todo está cerrado.

La esencia de la idea de combinar números y formas es combinar lenguaje matemático abstracto con imágenes intuitivas. La clave es la transformación mutua de problemas algebraicos y gráficos, que pueden hacer que los problemas algebraicos sean geométricos y geométricos. algebraico. Al analizar y resolver problemas utilizando el método de combinación de números y formas, debemos prestar atención a tres puntos: Primero, debemos comprender a fondo el significado geométrico de algunos conceptos y operaciones y las características algebraicas de las curvas. se deben analizar las condiciones y conclusiones en los problemas matemáticos; el segundo es establecer parámetros de manera razonable, usar parámetros de manera razonable, establecer relaciones y convertir números en formas. El tercero es determinar correctamente el rango de valores de los parámetros.

Algunos conocimientos de las matemáticas en sí pueden considerarse como la combinación de números y formas. Por ejemplo, las funciones trigonométricas de ángulo agudo se definen utilizando triángulos rectángulos; las funciones trigonométricas en cualquier ángulo se definen utilizando el sistema de coordenadas rectangular o el círculo unitario.