Problema de pérdidas y ganancias, Olimpiada de Matemáticas de cuarto grado.

Cuando las personas dividen las cosas, a menudo se encuentran con exceso (excedente) o escasez (déficit). Los problemas de aplicación se denominan problemas de pérdidas y ganancias basados ​​en el superávit o déficit en la división de las cosas.

Ejemplo 1: Los niños comparten caramelos Si a cada persona le dan 4, se le darán 9; si a cada persona le dan 5, faltarán 6. Pregunta: ¿Cuántos dulces se deben dar a cuántos niños?

Análisis: Según las condiciones de la pregunta, el número de niños y el número de granos de caramelo se mantienen sin cambios. Comparando los dos planes de distribución, el primer plan tiene 9 cápsulas más cuando cada persona se divide en 4 cápsulas, y el segundo plan tiene 6 cápsulas menos cuando cada persona se divide en 5 cápsulas. La diferencia entre los dos planes diferentes es 9 6 = 15 pastillas. La razón de la diferencia es que los números de asignación de los dos esquemas son diferentes. El primer plan se divide en 4 cápsulas y el segundo plan se divide en 5 cápsulas. La diferencia entre los dos números de asignación es 5-4 = 1 (cápsula). La diferencia entre cada persona es 1, ¿cuántas personas son 15? Por tanto, el número de niños es 15 ÷ 1 = 15 (personas), y el número de dulces es

4× 15 9 = 69 (piezas).

Solución: (9 6) ÷ (5-4) = 15 (personas),

4× 15 9 = 69 (bolitas).

Respuesta: Hay 15 niños y entre ellos se reparten 69 caramelos.

Ejemplo 2: Los niños comparten caramelos Si a cada persona le dan 3 caramelos, quedan 2; si a cada persona le dan 5 caramelos, faltan 6. P: ¿Cuántos hijos tienes? ¿Cuántos dulces?

Análisis: Esta pregunta es básicamente la misma que la del Ejemplo 1. En el Ejemplo 1, la diferencia entre las dos distribuciones es 5-4 = 1 (granos). En esta pregunta, la diferencia entre las dos distribuciones es 5-3 = 2 (granos). En el ejemplo 1, la suma de los números de abundancia y deficiencia de los dos planes de asignación es 9 6 = 15 (granos). En esta pregunta, la suma de los números de abundancia y deficiencia de los dos planes de asignación es 2·6 = 8 (granos). Imita la solución del Ejemplo 1.

Solución: (6 2) ÷ (4 —— 2) = 4 (personas),

3× 4 2 = 14 (bolitas).

Respuesta: Hay 4 niños y 14 dulces.

Como se puede ver en los ejemplos 1 y 2, el llamado problema de pérdidas y ganancias se refiere a la distribución de una cierta cantidad de cosas a una cierta cantidad de personas. Los dos planes de distribución producen ganancias y ganancias diferentes. números de pérdida, y luego se obtiene la distribución Número total de personas y número total de artículos distribuidos. La clave para resolver el problema es determinar la diferencia entre las dos distribuciones y las pérdidas y ganancias totales (el número de pérdidas y ganancias), de donde se deriva la fórmula de solución para el problema de pérdidas y ganancias:

El número total de personas asignadas = pérdidas y ganancias totales ÷ dos distribuciones la diferencia.

Cabe señalar que los resultados de los dos planes de asignación no siempre son una ganancia y una pérdida, sino que también pueden ser dos ganancias y dos pérdidas, una ganancia y una pérdida, o una ganancia y una pérdida. .

Ejemplo 3: Los niños repartieron caramelos, cada uno con 10 piezas, y apenas terminaron de repartirlos, si se le dieran 16 piezas a cada persona, los tres niños no recibirían caramelos. Pregunta: ¿Cuántos dulces hay?

Análisis y solución: El primer plan no es rentable ni se pierde dinero, el segundo plan es una pérdida de 16×3 = 48 (piezas), por lo que la ganancia y pérdida total es 0 48 = 48 (piezas) ), La diferencia entre las dos distribuciones es 16-10 = 6 (granos). De la fórmula del problema de pérdidas y ganancias.

Niños (0 16×3)÷(16-10)= 8 (personas),

Hay 10×8 = 80 (granos) de azúcar.

El siguiente ejemplo es el problema de pérdidas y ganancias en las compras.

Ejemplo 4 Un grupo de niños va de compras. Cada persona paga 10 yuanes, que son 8 yuanes más. Si cada persona paga 7 yuanes, son 4 yuanes menos. P: ¿Cuántos hijos tienes? ¿Cuánto cuesta la cosa?

Análisis y solución: las pérdidas y ganancias totales de los dos planes de compras son 8 4 = 12 (yuanes) y la diferencia entre las dos asignaciones es 10-7 = 3 (yuanes). Derivado de la fórmula

El número de hijos (8 4) ÷ (10-7) = 4 (personas),

El precio de las cosas es 10× 4-8 = 32 (yuanes).

Ejemplo 5 El profesor Gu fue a la librería Xinhua a comprar libros. Si compra cinco libros, recibirá 3 yuanes. Si compras 7 copias, perderás 1,8 yuanes.

¿Cuál es el precio unitario de este libro? ¿Cuánto dinero trajo el profesor Gu?

Análisis y solución: compre cinco libros más por 3 yuanes, compre siete libros menos por 1,8 yuanes. La ganancia y pérdida total es 3 · 1,8 = 4,8 (yuanes), por lo que con 4,8 yuanes se pueden comprar 7-5 = 2 (libros), luego cada libro cuesta 4,8÷2=2,4 (yuanes). El profesor Gu * * * trae el dinero. .

2,4× 5 3 = 15 (yuanes).

Ejemplo 6 El maestro Wang fue a comprar un violín para niños. Si compra siete violines, la diferencia de dinero que obtendrá será de 110 yuanes. Si compras cinco, el dinero que traes es menos de 30 yuanes. Pregunta: ¿Cuánto cuesta un violín para niños? ¿Cuánto dinero trajo el profesor Wang?

Análisis: En los dos planes de compras, a cada plan le falta dinero. Cuesta 110 yuanes comprar siete violines y la diferencia es de 30 yuanes comprar cinco violines. De comprar siete a cinco, compré 7-5 = 2 violines menos, y la diferencia de precio disminuyó en 110-30 = 80 (yuanes), es decir, con 80 yuanes se pueden comprar dos violines, por lo que el precio unitario del violín es 40 yuan.

Solución: (110-30) ÷ (7-5) = 40 (yuanes),

40×7——110 = 170 (yuanes).

Respuesta: Hay un violín por 40 yuanes y el Sr. Wang trajo 170 yuanes.

Ejercicio 14

1. Los niños dividen los caramelos, 3 piezas cada uno, quedando 30 piezas a cada persona le faltan cuatro piezas; P: ¿Cuántos hijos tienes? ¿Cuántos dulces?

2. Una flota de vehículos transporta un lote de mercancías. Si cada vehículo transporta 3.500 kilogramos, la carga seguirá siendo de 5.000 kilogramos; si cada vehículo transporta 4.000 kilogramos, todavía quedarán 500 kilogramos de carga. P: ¿Cuántos vehículos hay en esta flota? ¿Cuántos kilogramos de mercancías se van a enviar?

La escuela compró un lote de libros. Si se le dan 9 copias a cada persona, faltan 25 copias; si se le dan 6 copias a cada persona, le faltan 7 copias. P: ¿Cuántos estudiantes hay? ¿Cuántos libros has comprado?

4. A los estudiantes que participan en el grupo de actividades artísticas se les asignan varios bolígrafos de colores. Si cada persona se divide en 4 piezas, entonces hay 12 piezas; si cada persona se divide en 8 piezas, entonces exactamente a 1 persona no se le asigna un bolígrafo. P: ¿Cuántos estudiantes hay? ¿Cuántos bolígrafos de colores?

5. La escuela primaria Hongxing realizó una excursión de primavera. Si cada vagón tiene capacidad para 60 personas, entonces no pueden subir 15 personas al vagón; si hay cinco personas más en cada vagón, hay un vagón más. P: ¿Cuántos coches hay? ¿Cuantos estudiantes?

6. Resta 153 a 8 veces de un determinado número, que es 66 veces más que 5 veces. Encuentra este número.

7. Si un lote de carbón enviado desde la fábrica se quema a 1.500 kilogramos por día, se quemará un día antes; si se quema a 1.000 kilogramos por día, tardará un día más; de lo planeado originalmente. Ahora es necesario quemarlo todo según el plan original, entonces, ¿cuántos kilogramos de carbón se quemarán cada día?

8. Los estudiantes movieron ladrillos para la escuela. Cada persona movió 18 yuanes y quedaban 2 ladrillos. Si cada persona movía 20 yuanes, un estudiante no tenía ladrillos para mover. P: * * * *¿Cuántos ladrillos hay?

Algunos problemas no parecen problemas de pérdidas y ganancias a primera vista, pero mediante la transformación adecuada de las condiciones en cuestión, se revela la "verdad" del problema de pérdidas y ganancias.

Una clase de estudiantes salió a navegar. Si añades otro barco, cada barco tiene capacidad para exactamente 6 personas. Si hay un barco menos, cada barco tendrá capacidad para nueve personas. P: ¿Cuántos estudiantes hay?

Análisis: Este problema también es un problema de pérdidas y ganancias. Para mayor claridad, transformaremos las condiciones de la pregunta. Suponiendo que el número de barcos es fijo, la condición de la pregunta "Si se añade un barco..." significa "Si seis personas se sientan en cada barco, entonces no habrá ningún barco para que se sienten seis personas"; un barco está reducido..."..." significa "Si hay 9 personas en cada barco, entonces un barco estará vacío". De esta manera, tomando como ejemplo el problema de pérdidas y ganancias, la pérdida y ganancia total es 6 9 = 15 (personas), y la diferencia entre las dos distribuciones es 9-6 = 3 (personas).

Solución: (6 9) ÷ (9 —— 6) = 5 (barra),

6× 5 6 = 36 (persona).

Hay 36 estudiantes.

Ejemplo 2 Jóvenes pioneros plantan árboles. Si cada persona cava cinco hoyos, quedarán tres hoyos desatendidos.

Si dos de ellos cavan cuatro hoyos cada uno y los demás cavan seis hoyos cada uno, entonces los hoyos están perfectos. Pregunta: ¿Cuántos agujeros cavará un * * *?

Análisis: Cambiamos "Los dos cavaron cuatro hoyos cada uno, y los demás cavaron seis hoyos cada uno" por "Todos cavaron seis hoyos, así que cavaron cuatro hoyos más. Un hoyo". Esto se convierte en un problema de pérdidas y ganancias "típico". La ganancia y pérdida total es 4 3 = 7 hoyos, y la diferencia entre las dos distribuciones es 6-5 = 1 hoyo.

Solución: [3 (6-4)×2]⊙(6-5)= 7 (personas)

5× 7 3 = 38 (piezas).

Respuesta: Un * * * puede cavar 38 hoyos.

Utiliza una cuerda para medir la altura del puente sobre el agua. Si la cuerda se dobla por la mitad y se cuelga en el agua, mide 8 metros; si la cuerda se dobla en tres y se cuelga en el agua, mide 2 metros; ¿Qué altura tiene este puente? ¿Cuánto mide la cuerda?

Solución analítica: Debido a que la cuerda se dobla por la mitad a 8 metros, entonces 8 × 2 = 16 (metros) de manera similar, si la cuerda se dobla tres veces a 2 metros, es 3 × 2 =; 6 (metros). Ambos planes son "excedentes", por lo que la ganancia y pérdida total es 16-6 = 10 (m), y la diferencia entre las dos asignaciones es 3-2 = 1 (descuento), por lo que la altura del puente es (8× 2-2× 3) ÷ (3-2) = 10 (metros), la longitud de la cuerda es 2× 10 8× 2 = 36 (metros).

Hay algunas manzanas y peras. Si hay 2 peras por cada 1 manzana, al dividir las peras quedarán 2 manzanas. Si hay 5 peras por cada 3 manzanas, al dividir las manzanas quedará 1 pera. Pregunta: ¿Cuántas manzanas y peras hay?

Análisis y solución: Es fácil ver que se trata de un problema de aplicación de pérdidas y ganancias, pero es difícil encontrar las pérdidas y ganancias totales y la diferencia entre las dos distribuciones. La razón es que la primera opción es que 1 manzana "combina" con 2 peras, y la segunda opción es que 3 manzanas "combinan" con 5 peras. Si estas dos soluciones se unifican en una manzana y varias peras, entonces el problema estará resuelto. Cambie la condición original a "1 manzana, 2 peras, 4 peras menos;

Hay 15×2-4 = 26 peras.

Ejemplo 5 La familia de Lele va a la escuela, caminando 50 metros por minuto Después de caminar durante 2 minutos, descubrí que si caminaba a esta velocidad llegaría 8 minutos tarde a la escuela, así que comencé a acelerar y caminé 10 metros más por minuto que antes. Aún faltaban cinco días para la clase. Pregunta: ¿A qué distancia está la casa de Lele de la escuela?

Análisis y solución: Si Lele camina 50 metros por minuto desde el punto donde cambia de velocidad, estará. 8 minutos tarde cuando comienza la clase todavía está a 50 × 8 = 400 metros de la escuela; si camina 10 metros por minuto, es decir, camina 60 metros por minuto, todavía estará a 5 minutos de la clase; llega a la escuela, caminará (50 10) × 5 = 300 metros, por lo que la ganancia y pérdida total es la diferencia total de distancia

Dos caminatas La diferencia es de 10 metros por minuto, por lo que el tiempo. tomado es

700 ÷ 10 = 70 (minutos),

En otras palabras, se necesitan 70 minutos desde Lele para cambiar la velocidad al horario de clase. Entonces, la distancia de Lelejia a la escuela. es

50× (2 70 8) = 4000 (metros),

o 50× 2 60× (70-5) = 4000 (m). p>Ejemplo 6: El Maestro Wang procesa un lote de 20 piezas por día y puede terminarlo 1 día antes de lo previsto. Debido a la mejora de la tecnología, puede procesar 5 piezas más cada día y terminarlo 3 días antes de lo previsto. Pregunta: ¿Cuántas piezas hay en este lote?

Solución de análisis: se procesan 20 piezas cada día si el procesamiento llega al tiempo planificado, se procesarán 20 piezas más después de mejorar el proceso. el procesamiento alcanza el tiempo planificado, se procesarán más piezas (20 5) × 3 = 75 (piezas) La ganancia y pérdida total es 75-20 = 55 (piezas) La diferencia entre las dos velocidades de procesamiento es 5 por día. .

Según la fórmula del problema de pérdidas y ganancias, el tiempo desde la mejora técnica hasta la finalización planificada es 55 ÷ 5 = 11 (días) y el tiempo planificado es 11 4 = 15 (días). Este lote de piezas * * * contiene 20 piezas × (65438).

Ejercicio 15

1. El equipo de construcción de la carretera planeó construir 720 metros de carretera cada día, pero en realidad construyó 80 metros más de lo planeado originalmente. De esta forma, en los tres primeros días tras la finalización de las obras previstas, sólo quedaban por construir 1.160 metros. Pregunta: ¿Cuánto dura este camino?

La familia de Xiaohong compró una canasta de naranjas y las distribuyó entre toda la familia. Si dos de ellos se dividen en cuatro y el resto se dividen en dos, entonces todavía quedan cuatro; si una persona se divide en seis y las demás se dividen en cuatro, entonces faltan 12; Pregunta: ¿Cuántas naranjas compró Xiaohong? ¿Cuántas personas hay en la familia de Xiaohong?

3. Xiao Li, el comprador de la cantina, fue a comprar carne. Si compra 18 kilogramos de carne de res, la diferencia es de 4 yuanes; si compra 20 kilogramos de carne de cerdo, 2 yuanes es mucho. Como todos sabemos, la diferencia de precio entre la carne de vacuno y la de cerdo es de 80 céntimos el kilo. ¿Cuánto cuesta el kilogramo de carne de res y de cerdo?

El maestro Li les dio a los niños manzanas y naranjas. La cantidad de manzanas era el doble que la de naranjas. Cada persona recibió tres naranjas, lo que supuso un aumento de cuatro; cada persona recibió siete manzanas, lo que supuso una falta de cinco. P: ¿Cuántos hijos tienes? ¿Cuántas manzanas y naranjas?

5. Utilice una cuerda para medir la profundidad del pozo. Si la cuerda se dobla un 30% y se levanta hasta la superficie del agua, quedan 7 metros; si la cuerda se dobla 50° y se levanta hasta la superficie del agua, queda 1 metro; Encuentra la longitud de la cuerda y la profundidad del pozo.

6. La maestra regala manzanas a los niños del jardín de infancia. Por cada dos personas con tres manzanas, hay dos manzanas más; por cada tres personas con cinco manzanas, hay cuatro manzanas menos. P: ¿Cuántos hijos tienes? ¿Cuántas manzanas?

7. Xiao Ming va a la escuela desde casa. Si camina 60 metros por minuto, llegará 5 minutos tarde. Caminar a 80 metros por minuto es 3 minutos antes de lo previsto. ¿A qué distancia está la casa de Xiao Ming de la escuela?