¿Cuáles son las 23 preguntas de Hilbert?
En 1874, Cantor especuló que no existen otros números cardinales entre los números cardinales de los conjuntos contables y los números cardinales de los conjuntos de números reales, lo que constituye la famosa hipótesis del continuo. En 1938, Gödel, un lógico matemático austriaco que vivía en Estados Unidos, demostró que no existe contradicción entre la hipótesis del continuo y el sistema de axiomas de la teoría de conjuntos ZF. En 1963, el matemático estadounidense P. Choen demostró que la hipótesis del continuo y el axioma ZF son independientes entre sí. Por tanto, la hipótesis del continuo no puede demostrarse mediante el axioma de ZF. En este sentido, el problema ha quedado solucionado.
(2) El sistema de axiomas aritméticos no es inconsistente.
La no contradicción de la geometría euclidiana se puede atribuir a la no contradicción de los axiomas aritméticos. Hilbert propuso una vez utilizar la teoría de la prueba formalista para demostrarlo, pero el teorema de incompletitud de Gödel publicado en 1931 lo rechazó. GNC (G. genta en, 1909-1945) 1936 utilizó la inducción transfinita para demostrar la no contradicción del sistema de axiomas aritméticos.
(3) No se puede demostrar que los volúmenes de dos tetraedros con bases iguales y alturas iguales sean iguales basándose únicamente en el axioma del contrato.
El significado del problema es que existen dos tetraedros de igual altura, los cuales no se pueden descomponer en un número finito de tetraedros pequeños, por lo que los dos tetraedros son congruentes (M. DEHN). en 1900.
(4) Tomando una línea recta como la distancia más corta entre dos puntos.
Esta pregunta es relativamente general. Hay muchas geometrías que satisfacen esta propiedad, por lo que se necesitan algunas restricciones. En 1973, el matemático soviético Poglev anunció que había resuelto este problema bajo la condición de distancia simétrica.
(5) Las condiciones para que la topología se convierta en un grupo de Lie (grupo topológico).
Este problema se llama simplemente propiedad analítica de los grupos continuos, es decir, si todo grupo euclidiano local debe ser un grupo de Lie. 1952 resuelto por Gleason, Montgomery y Zibbing. En 1953, el japonés Yamaguchi Hidehiko obtuvo un resultado completamente positivo.
(6) Axiomatización de la física que juega un papel importante en las matemáticas.
En 1933, el matemático soviético Andrei Kolmogorov axiomatizó la teoría de la probabilidad. Posteriormente, logró el éxito en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos. Sin embargo, mucha gente tiene dudas sobre si todas las ramas de la física pueden ser completamente axiomáticas.
(7) Pruebas trascendentales de algunos números.
Demostración: Si α es un número algebraico y β es un número algebraico de números irracionales, entonces α β debe ser un número trascendental o al menos un número irracional (como 2√2 y eπ). Gel Fond (1929) en la Unión Soviética y Schneider y Siegel (1935) en Alemania demostraron independientemente su exactitud. Pero la teoría de los números trascendentales está lejos de estar completa. Actualmente no existe una forma unificada de determinar si un número determinado excede un número.
(8) El problema de la distribución de números primos, especialmente para la conjetura de Riemann, la conjetura de Goldbach y los números primos gemelos * * *.
Los números primos son un campo de investigación muy antiguo. Hilbert mencionó aquí la Hipótesis de Riemann, la Hipótesis de Goldbach y los primos gemelos. La hipótesis de Riemann sigue sin resolverse. La conjetura de Goldbach y el problema de los primos gemelos aún no se han resuelto definitivamente. El mejor resultado pertenece al matemático chino Chen Jingrun.
(9) Prueba de la ley general de reciprocidad en cualquier campo numérico.
En 1921, fue básicamente resuelto por el japonés Kenji Takagi, y en 1927, básicamente fue resuelto por el alemán E.Artin. Sin embargo, la teoría de categorías aún está en desarrollo.
(10) ¿Podemos juzgar si una ecuación indefinida tiene una solución entera racional mediante pasos finitos?
Encontrar las raíces enteras de la ecuación del coeficiente integral se llama ecuación diofántica (alrededor de 210-290, matemático griego antiguo) y se puede resolver. Alrededor de 1950, matemáticos estadounidenses como Davis, Putnam y Robinson lograron avances clave. En 1970, Baker y Feros llegaron a una conclusión positiva para ecuaciones con dos incógnitas. 1970. El matemático soviético Marty Sevic finalmente demostró que, en general, la respuesta era no, y aunque los resultados fueron negativos, produjo una serie de subproductos valiosos, muchos de los cuales estaban estrechamente relacionados con las computadoras.
(11) Teoría de la forma cuadrática en cuerpos de números algebraicos.
Los matemáticos alemanes Hasse y Siegel lograron importantes resultados en la década de 1920. En los años 60, el matemático francés A. Weil logró nuevos avances.
(12) La composición del dominio de clase.
Es decir, el teorema de Kronecker sobre campos abelianos se extiende a cualquier campo racional algebraico. Sólo hay algunos resultados esporádicos sobre esta cuestión y está lejos de estar completamente resuelta.
(13) La imposibilidad de resolver ecuaciones algebraicas generales de séptimo grado utilizando una combinación de funciones continuas bidimensionales.
Las raíces de la ecuación x7+ax3+bx2+cx+1=0 dependen de los tres parámetros A, B y C; como binario ¿Representado como una función? Este problema está a punto de resolverse. En 1957, el matemático soviético Arnold demostró que cualquier función real continua f(x1, x2, x3) sobre [0, 1] se puede escribir en la forma ∑ hi (ξi (x1, x2), x3) (I. Ander Ray Kolmogorov demostró que f(x1, x2, x3) se puede escribir como ∑ hi (ξ i1 (x1)) En 1964, Vituskin generalizó al caso de diferenciabilidad continua, pero el caso de funciones analíticas no se resolvió < /p. >
(14) Demostración finita de ciertos sistemas de funciones completos
Es decir, polinomio fi (I = 1,...,Xn), donde R es una función racional F(X1, .. ., Fundamentos estrictos del cálculo.
Una pregunta típica es: ¿Cuántas rectas pueden cruzarse con las cuatro rectas en un espacio tridimensional? Schubert dio una solución intuitiva. Es especialmente necesario generalizar el problema. y dar una base estricta. Existen algunos métodos computables que están estrechamente relacionados con la geometría algebraica, pero aún no se ha establecido la base estricta.
(16) Curvas y superficies algebraicas
La primera mitad de este problema involucra el número máximo de curvas de rama cerrada en la curva algebraica. La segunda mitad requiere una discusión del número máximo N(n) de ciclos límite de dx/dy=Y/X y relativos. posiciones, donde X e Y son polinomios de grado N de )≥3 En 1955, Podrovsky de la Unión Soviética afirmó que n(2)≤3 Este fue un resultado que sorprendió a la gente por un tiempo, pero fue cuestionado porque algunos. Se negaron los lemas con respecto a la posición relativa, los matemáticos chinos Jia y Ye demostraron en 1957 que (E2) no excede dos cadenas. En 1957, los matemáticos chinos Qin Yuanxun y Pu Fujin dieron un ejemplo específico de que la ecuación de n = 2. Al menos tres ciclos límite de series. En 1978, bajo la dirección de Qin Yuanxun y Hua, Shi Songling y Wang de China dieron respectivamente al menos cuatro ejemplos específicos de ciclos límite. En 1983, Qin Yuanxun demostró además que los sistemas cuadráticos tienen como máximo cuatro ciclos límite. , la estructura es (1, 3), resolviendo así finalmente el problema de estructura de la solución de la ecuación diferencial cuadrática y proporcionando una nueva forma de estudiar el problema de Hilbert (16)
(17) Semi positivo. -definida. Expresión de la suma de cuadrados en la forma.
¿Es cierto que F puede escribirse como la suma de cuadrados de una función racional para cualquier matriz (x1,...,xn)? Atin lo ha resuelto claramente.
(18) Utilice poliedros congruentes para construir el espacio.
Los matemáticos alemanes Bieberbach (1910) y Reinhardt (1928) respondieron.
(19) ¿La solución a un problema de variación regular es siempre una función analítica?
Este problema ha sido resuelto por el matemático alemán Berntine (1929) y el matemático soviético Petrovsky (1939).
(20) Estudiar problemas generales de valores en la frontera.
Este problema se está desarrollando rápidamente y se ha convertido en una rama importante de las matemáticas. Todavía se estaba investigando y desarrollando hace unos días.
(21) Prueba de la existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales lineales tipo Fuchs con singularidades dadas y grupos univaluados.
Este problema pertenece a la teoría a gran escala de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales. El propio Hilbert obtuvo importantes resultados en 1905 y H.Rohrl en 1957. El matemático francés Deligne realizó contribuciones destacadas entre 1943 y 1970.
(22) Utilice funciones automórficas para transformar funciones analíticas de un solo valor.
Esta cuestión involucra la difícil teoría de las superficies de Riemann.
En 1907, P. Koebe resolvió una variación que supuso un avance importante en la investigación de este problema. Otros aspectos no se han resuelto.
(23) Realizar investigaciones sobre cálculo de variaciones.
Este no es un problema matemático claro. El cálculo de variaciones se ha desarrollado mucho en el siglo XX.