Aritmética de competición en pista de escuela primaria

Reglas generales de funcionamiento

65438 + 0 × número de acciones por acción = número total de acciones ÷ número de acciones = número total de acciones ÷ número de acciones = número de acciones .

2 1 múltiple × múltiple = múltiple ÷ 1 múltiple = múltiple ÷ múltiple = 1 múltiple

3 Velocidad × tiempo = distancia distancia ÷ velocidad = tiempo distancia ÷ tiempo = velocidad < /p >

4Precio unitario × cantidad = precio total ÷ precio total = cantidad total ÷ cantidad = precio unitario

5 Eficiencia en el trabajo × tiempo de trabajo = cantidad total de trabajo ÷ eficiencia en el trabajo = tiempo de trabajo ÷ total cantidad de trabajo ÷ tiempo de trabajo = eficiencia del trabajo

6 sumando + sumando = suma - un sumando = otro sumando.

7 Minuendo - Minuendo = Diferencia Minuendo - Diferencia = Minuendo Diferencia + Minuendo = Minuendo

8 Factor × Factor = Producto producto ÷ un factor = otro factor

9 dividendo divisor = cociente divisor = divisor cociente × divisor = dividendo

Fórmula de cálculo de gráficos matemáticos de escuela primaria

1 Cuadrado C Perímetro S Área A Longitud del lado

Perímetro = largo del lado × 4 C=4a

Área = largo del lado × largo del lado S=a×a

2 cubo v: volumen a: largo del lado

Área de superficie = longitud del lado × longitud del lado × 6 S mesa = a × a × 6

Volumen = longitud del lado × longitud del lado × longitud del lado v = a× a× a.

3 Rectángulo c perímetro s área a lado longitud

Perímetro = (largo + ancho) × 2 C = 2 (a + b)

Área = largo ×ancho S=ab

4 cuboide v: volumen s: área a: largo b: ancho h: alto

Área de superficie (largo×ancho+largo×alto+ancho× Alto ) p>Área=base×altura÷2 s=ah÷2

Altura del triángulo = área×2÷base del triángulo=área×2÷altura

6 Paralelogramo s Área a base h altura

Área = base Fondo + fondo inferior) × altura ÷ 2 s = (a + b) × h ÷ 2.

8 Círculo s área c perímetro ∏ d=diámetro r=radio

Perímetro = diámetro x ∏ = 2 x ∏×radio C=∏d=2∏r

p>

Área=radio×radio×∈

9 cilindro v: volumen h: altura s; área inferior r: radio inferior c: perímetro inferior

Lado área = Perímetro inferior × Área de superficie de altura = Área lateral + Área inferior × 2.

Volumen = área inferior × volumen alto = área lateral ÷ 2 × radio.

10 cono v: volumen h: altura s; área inferior r: radio inferior

Volumen = área inferior × altura ÷3

Fórmula de la Olimpiada Matemática de escuela primaria

p>

Fórmula del problema de suma y diferencia

(suma + diferencia) ÷ 2 = número grande (suma - diferencia) ÷ 2 = decimal.

Fórmula de suma y problemas múltiples

suma÷(múltiple-1)= decimal×múltiple =número grande (o suma-decimal = número grande)

Fórmula para problemas diferenciales múltiples

Diferencia ÷ (múltiple - 1) = decimal × múltiplo = número grande (o decimal + diferencia = número grande)

Fórmula para plantar árboles

1 El problema de plantar árboles en líneas no cerradas se puede dividir en las siguientes tres situaciones:

(1) Si se plantan árboles en ambos extremos de la línea no cerrada, entonces:

Número de árboles = número de secciones + 1 = longitud total - 1.

Longitud total = espacio entre plantas × (número de plantas - 1)

Espaciamiento entre plantas = largo total ÷ (número de plantas - 1)

2 Si Si desea utilizar una línea no cerrada, plante árboles en un extremo y no plante árboles en el otro extremo, entonces:

Número de plantas = número de segmentos = largo total ÷ espacio entre plantas

Longitud total = espaciamiento entre plantas × número de plantas

Espaciamiento entre plantas = largo total/número de plantas

(3) Si no hay árboles plantados en ambos extremos del área no cerrada línea, entonces:

Número de plantas = número de nodos-1 = longitud total -1.

Largo total = espaciamiento entre plantas × (número de plantas + 1)

Espaciamiento entre plantas = largo total ÷ (número de plantas + 1)

La relación entre el número de árboles plantados en la línea cerrada es el siguiente

Número de plantas = número de segmentos = largo total ÷ espaciamiento entre plantas

Largo total = espaciamiento entre plantas × número de plantas

Espaciamiento entre plantas = longitud total/número de plantas

Fórmula del problema de pérdidas y ganancias

(Ganancias + Pérdidas) ÷La diferencia entre las dos distribuciones = la Número de acciones que participan en la distribución.

(Gran beneficio - pequeño beneficio) ÷ la diferencia entre las dos distribuciones = el número de acciones que participan en la distribución.

(Pérdida grande - pérdida pequeña) ÷ la diferencia entre las dos distribuciones = el número de acciones que participan en la distribución.

Fórmula del problema de encuentro

Distancia de encuentro = velocidad × tiempo de encuentro

Tiempo de encuentro = distancia de encuentro ÷ suma de velocidades

Suma de velocidades = Distancia de encuentro/tiempo de encuentro

Fórmula del problema de seguimiento

Distancia de encuentro = diferencia de velocidad × tiempo de encuentro

Tiempo de encuentro = distancia de encuentro ÷ diferencia de velocidad

Diferencia de velocidad = distancia de captura ÷ tiempo de recuperación

Problema con el agua del grifo

Velocidad aguas abajo = velocidad del agua estancada + velocidad del flujo de agua

Velocidad en contracorriente = velocidad del agua estancada - velocidad del flujo de agua

Velocidad del agua estática = (velocidad aguas abajo + velocidad en contracorriente) ÷ 2

Velocidad del flujo de agua = (velocidad aguas abajo - velocidad en contracorriente) ) ÷2

Fórmula del problema de concentración

Peso del soluto + peso del disolvente = peso de la solución.

Peso de soluto/solución × 100% = concentración.

Peso de la solución × concentración = peso del soluto

Peso del soluto - concentración = peso de la solución.

Fórmula de beneficio y problema de descuento

Beneficio = precio de venta - costo

Tasa de beneficio = beneficio/coste × 100% = (precio de venta/coste-1) × 100%.

Cantidad de aumento o disminución = capital × porcentaje de aumento o disminución

Descuento = precio de venta real ÷ precio de venta original × 100 % (descuento < 1)

Interés = Principal × tasa de interés × tiempo

Interés después de impuestos = principal × tasa de interés × tiempo × (1-20%)

Fórmulas de cálculo de perímetro, área y volumen en matemáticas de escuela primaria

1. Perímetro del rectángulo = (largo + ancho) × 2 C = (a + b) × 2.

2. Perímetro del cuadrado = largo del lado × 4 C=4a.

3. El área del rectángulo = largo × ancho S = ab

4. El área del cuadrado = largo del lado x largo del lado s = a.a = a. .

5. El área de un triángulo = base × altura ÷ 2 S = ah ÷ 2.

6. Área del paralelogramo = base x altura S = ah

7. Área del trapezoide = (base superior + base inferior) × altura ÷ 2s = (a. +b)h ÷ 2.

8. Diámetro = Radio × 2D = 2R Radio = Diámetro ÷ 2 r = d ÷ 2

9. Circunferencia de un círculo = π × diámetro = π × radio × 2c = π re = 2π r.

10. ¿Área del círculo = pi × radio × radio? =πr

11, el área de superficie de un cuboide = (largo × ancho + largo × alto + ancho × alto) × 2.

12. El volumen del cuboide = largo × ancho × alto V = abh

13 El área de la superficie del cubo = largo de lado × largo de lado × 6 S =. 6a.

14. Volumen del cubo = longitud del lado x longitud del lado x longitud del lado v = a.a.a = a.

15. Área lateral del cilindro = circunferencia del círculo base × altura S = cap.

16. Área superficial del cilindro = área base superior e inferior + área lateral.

s = 2πr+2πRH = 2π(d÷2)+2π(d÷2)h = 2π(c÷2÷π)+Ch

17, volumen del cilindro =Área inferior×Altura V=Sh

V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h

18, el volumen del cono =Área inferior×Altura÷3

v = sh÷3 =πr h÷3 =π(d÷2)h÷3 =π(c÷2÷π)h÷3

19. Volumen del cuboide (cubo, cilindro) = área de la base × altura V = Sh

Definición de la fórmula del teorema

El área de un triángulo = base × altura ÷ 2. La fórmula S= a×h÷2.

El área de un cuadrado = largo del lado × largo del lado fórmula S= a×a

El área de un rectángulo = largo×ancho fórmula S= a×b

Paralelo El área de un cuadrilátero = base × altura fórmula S = a × h

El área de un trapezoide = (base superior + base inferior) × altura ÷ 2 fórmula S = (a + b) h ÷ 2

Suma de ángulos interiores: La suma de los ángulos interiores de un triángulo = 180 grados.

El volumen de un cuboide = largo × ancho × alto fórmula: V = abh

El volumen de un cuboide (o cubo) = área de la base × alto fórmula: V = abh.

El volumen de un cubo = longitud de lado × longitud de lado × longitud de lado fórmula: V = aaa.

Circunferencia = diámetro × π fórmula: L = π d = 2π r

El área de un círculo = radio × radio × π fórmula: s = π R2.

El área de la superficie (lateral) de un cilindro: El área de la superficie (lateral) de un cilindro es igual al perímetro de la base multiplicado por la altura. Fórmula: s = ch = π DH = 2π RH.

Área superficial de un cilindro: El área superficial de un cilindro es igual a la circunferencia de la base por la altura más el área de los círculos en ambos extremos. Fórmula: S=ch+2s=ch+2πr2.

Volumen de un cilindro: El volumen de un cilindro es igual al área de la base por la altura. Fórmula: V=Sh

El volumen del cono = 1/3 del fondo × altura del producto. Fórmula: V=1/3Sh

La ley de la suma y resta de fracciones: Al sumar y restar fracciones con el mismo denominador, solo se suma y resta el numerador, y el denominador permanece sin cambios. Para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores, primero divide, luego suma y resta.

La multiplicación de fracciones es: utilizar el producto de los numeradores como numerador, y el producto de los denominadores como denominador.

Regla de división para fracciones: dividir por un número es igual a multiplicar por el recíproco de ese número.

Conversión de unidades

(1)1km = 1km = 1000m 1m = 10 decímetros 1 decímetro = 10 cm 1 cm =

(2)1 metro cuadrado Metro = 100 decímetros cuadrados 1 decímetro cuadrado = 100 centímetros cuadrados 1 centímetro cuadrado = 100 milímetros cuadrados.

(3)1 metro cúbico = 1000 decímetro cúbico 1 decímetro cúbico = 1000 centímetro cúbico 1 centímetro cúbico = 1000 milímetro cúbico

(4)1t = 1000kg 1kg = 1000mg = 1kg = 1kg.

(5) 1 hectárea = 10.000 metros cuadrados, 1 mu = 666.666 metros cuadrados.

(6) 1 litro = 1 decímetro cúbico = 1000 ml 1 ml = 1 centímetro cúbico.

En lo que respecta a la fórmula de cálculo de la relación cuantitativa

1 Precio unitario × cantidad = precio total

2.

3. Velocidad × tiempo = distancia

4. Eficiencia en el trabajo × tiempo = carga de trabajo total

Fórmula (2) del teorema de definición de matemáticas de la escuela primaria

Primero, aspectos aritméticos

1. Ley conmutativa de la suma: Cuando se suman dos números, las posiciones de los sumandos se intercambian y la suma permanece sin cambios.

2. La ley asociativa de la suma: al sumar tres números, sume los dos primeros números primero, o sume los dos últimos números primero, y luego serán iguales que el primer número.

Cuando se suman tres números, la suma permanece sin cambios.

3. La ley de la multiplicación y el intercambio: cuando se multiplican dos números, la posición del factor de intercambio permanece sin cambios.

4. Ley asociativa de la multiplicación: al multiplicar tres números, se multiplican primero los dos primeros números, o se multiplican primero los dos segundos y luego se multiplica el tercer número, y el producto permanece sin cambios.

5. Ley distributiva de la multiplicación: Cuando se multiplican dos números por el mismo número, se pueden multiplicar los dos sumandos por el número respectivamente, y luego se suman los dos productos, y el resultado permanece sin cambios. Por ejemplo: (2+4) × 5 = 2× 5+4× 5.

6. Propiedades de la división: En la división, el dividendo y el divisor se expanden (o reducen) en el mismo múltiplo al mismo tiempo, y el cociente permanece sin cambios. Divide 0 por cualquier número distinto de 0 para obtener 0.

7. Igualdad: Una ecuación en la que el valor del lado izquierdo del signo igual es igual al valor del lado derecho del signo igual se llama ecuación. Propiedades básicas de las ecuaciones: cuando ambos lados de una ecuación se multiplican (o dividen) por el mismo número, la ecuación sigue siendo válida.

8. Ecuación: Una ecuación que contiene números desconocidos se llama ecuación.

9. Ecuación lineal de una variable: Una ecuación que contiene un número desconocido y el grado de la incógnita es 1 se llama ecuación lineal de una variable.

Aprende los métodos de ejemplo y cálculos de ecuaciones lineales de una variable. Es decir, da un ejemplo para sustituir la fórmula por χ y calcularla.

10. Fracción: Divide la unidad "1" uniformemente en varias partes, y el número que representa dicha parte o varios puntos se llama fracción.

11. Suma y resta de fracciones: Usa el denominador para sumar y restar fracciones, solo suma y resta el numerador, y el denominador permanece sin cambios. Para sumar y restar fracciones con diferentes denominadores, primero divide, luego suma y resta.

12. Comparación de tamaños de fracciones: Comparado con la fracción del denominador, el numerador es más grande y el numerador es más pequeño. Para comparar fracciones con diferentes denominadores, primero divide y luego compara; si los numeradores son iguales, los denominadores son mayores y menores.

13. Multiplica fracciones y números enteros El producto de fracciones y números enteros es el numerador y el denominador permanece sin cambios.

14. Al multiplicar fracciones por fracciones, el producto del numerador es el numerador y el producto del denominador es el denominador.

15. Una fracción dividida por un número entero (excepto 0) es igual a la fracción multiplicada por el recíproco del número entero.

16. Fracción propia: Una fracción cuyo numerador es menor que el denominador se llama fracción propia.

17. Fracción impropia: Una fracción cuyo numerador es mayor que el denominador o cuyo numerador y denominador son iguales se llama fracción impropia. Una puntuación falsa es mayor o igual a 1.

18. Números mixtos: Escribe las fracciones impropias como números enteros, y las fracciones propias se llaman números mixtos.

19. Propiedades básicas de las fracciones: Si el numerador y el denominador de una fracción se multiplican o dividen por el mismo número al mismo tiempo (excepto 0), el tamaño de la fracción permanece sin cambios.

20. Dividir un número por una fracción es igual a multiplicar el número por el recíproco de la fracción.

21. El número A dividido por el número B (excepto 0) es igual al recíproco del número A por el número B.

Escuela secundaria

1 Hay y solo hay una línea recta en dos puntos.

El segmento de recta más corto entre dos puntos.

3 Los ángulos suplementarios de ángulos congruentes o de ángulos iguales son iguales.

Los ángulos suplementarios de ángulos iguales o iguales son iguales.

Existe y sólo hay una recta perpendicular a la recta conocida.

De todos los segmentos de recta que conectan un punto fuera de la recta y puntos de la recta, el segmento de recta vertical es el más corto.

7 Axioma de las Paralelas: Por un punto fuera de una recta, pasa y hay sólo una recta paralela a esta recta.

Si dos rectas son paralelas a una tercera recta, entonces las dos rectas también son paralelas entre sí.

Los ángulos congruentes son iguales y dos rectas son paralelas.

10Los ángulos internos de la dislocación son iguales y las dos rectas son paralelas.

11 son complementarias y las dos rectas son paralelas.

12 Dos rectas son paralelas y los ángulos congruentes son iguales.

13 Las dos rectas son paralelas y los ángulos internos de dislocación son iguales.

14Dos rectas son paralelas y complementarias.

Teorema 15 La suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercer lado.

16 Infiere que la diferencia entre los dos lados del triángulo es menor que el tercer lado.

17 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180.

18 Corolario 1 Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

19 Corolario 2 Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de dos ángulos interiores no adyacentes.

Corolario 3 El ángulo exterior de un triángulo es mayor que cualquier ángulo interior que no sea adyacente a él.

Los lados y ángulos correspondientes de los 21 triángulos congruentes son iguales.

Axioma Axioma (SAS) Hay dos triángulos con ángulos iguales.

23 El axioma de los ángulos (ASA) tiene la congruencia de dos triángulos que tienen dos ángulos y sus lados se corresponden entre sí.

24 Corolario (AAS) Hay dos ángulos, y el lado opuesto de un ángulo corresponde a la congruencia de los dos triángulos.

25 Axioma de los lados (SSS) Hay dos triángulos con tres lados iguales.

Axioma de hipotenusa y lado rectángulo (HL) Dos triángulos rectángulos con hipotenusa y lado rectángulo son congruentes.

Teorema 1 La distancia desde un punto de la bisectriz de un ángulo a ambos lados del ángulo es igual.

El teorema 2 es que un punto equidistante de ambos lados de un ángulo está en la bisectriz del ángulo.

La bisectriz del ángulo 29 es el conjunto de todos los puntos que equidistan de ambos lados del ángulo.

Propiedades del Teorema 30 del Triángulo Isósceles Los dos ángulos de la base de un triángulo isósceles son iguales (es decir, equiláteros y equiangulares).

31 Corolario 1 La bisectriz del vértice de un triángulo isósceles biseca la base y es perpendicular a la base.

La bisectriz del vértice, la línea media de la base y la altura de la base de un triángulo isósceles coinciden entre sí.

Corolario 3 Todos los ángulos de un triángulo equilátero son iguales y cada ángulo es igual a 60°.

34 Teorema de determinación del triángulo isósceles Si un triángulo tiene dos ángulos iguales, entonces los lados opuestos de los dos ángulos también son iguales (equiangulares y equiláteros).

Corolario 1 Un triángulo con tres ángulos iguales es un triángulo equilátero.

Corolario 2 Un triángulo isósceles con un ángulo igual a 60° es un triángulo equilátero.

En un triángulo rectángulo, si un ángulo agudo es igual a 30°, el lado derecho al que se enfrenta es igual a la mitad de la hipotenusa.

La línea media de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la mitad de la hipotenusa.

Teorema 39: La distancia entre un punto en la perpendicular media de un segmento de recta y los dos puntos finales del segmento de recta es igual.

El teorema inverso establece que un punto equidistante de los dos extremos de un segmento de recta se encuentra en la perpendicular media del segmento de recta.

41 La mediatriz de un segmento de recta puede verse como el conjunto de todos los puntos que equidistan de ambos extremos del segmento de recta.

42 Teorema 1 Dos gráficas que son simétricas respecto de una recta son conformes.

Teorema 2: Si dos figuras son simétricas respecto de una recta, entonces el eje de simetría es la perpendicular media de la recta que une los puntos correspondientes.

Teorema 3 Dos figuras son simétricas respecto de una recta. Si sus correspondientes segmentos o extensiones de recta se cruzan, entonces el punto de intersección está en el eje de simetría.

45 Teorema inverso Si la línea recta que conecta los puntos correspondientes de dos figuras es bisecada perpendicularmente por la misma línea recta, entonces las dos figuras son simétricas con respecto a esta línea recta.

46 Teorema de Pitágoras La suma de los cuadrados de los dos ángulos rectos A y B de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la hipotenusa C, es decir, A 2 + B 2 = C 2.

47 Inverso del Teorema de Pitágoras Si las longitudes de los tres lados de un triángulo A, B y C están relacionadas con A^2 + B^2 = C^2, entonces el triángulo es rectángulo triángulo.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero en el Teorema 48 es igual a 360.

La suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es igual a 360°.

El teorema de la suma de los ángulos interiores de 50 polígonos es que la suma de los ángulos interiores de N polígonos es igual a (n-2) × 180.

51 Infiere que la suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es igual a 360.

52 Teorema de propiedades de los paralelogramos 1 Las diagonales de los paralelogramos son iguales

53 Teorema de las propiedades de los paralelogramos 2 Los lados opuestos de los paralelogramos son iguales

Inferencia entre Dos segmentos paralelos entre rectas paralelas son iguales.

55 Teorema 3 de las propiedades del paralelogramo Las diagonales de un paralelogramo se dividen en partes iguales.

56 Teorema 1 de la determinación de paralelogramos Dos conjuntos de paralelogramos con diagonales iguales son paralelogramos.

57 Teorema 2 de la determinación del paralelogramo Un paralelogramo con dos lados opuestos iguales es un paralelogramo.

58 Teorema 3 de la determinación del paralelogramo Un cuadrilátero cuya diagonal es bisecada es un paralelogramo.

59 Teorema 4 de la determinación del paralelogramo Un conjunto de paralelogramos con lados opuestos iguales es un paralelogramo.

60 Propiedades del teorema del rectángulo 1 Las cuatro esquinas de un rectángulo son ángulos rectos.

61 Teorema 2 de la propiedad del rectángulo Las diagonales de los rectángulos son iguales

62 Teorema 1 de la determinación del rectángulo Un cuadrilátero con tres ángulos rectos es un rectángulo.

63 Teorema 2 de la determinación del rectángulo Un paralelogramo con diagonales iguales es un rectángulo

64 Teorema 1 de las propiedades del rombo Los cuatro lados de un rombo son iguales

65 Propiedades del rombo Teorema 2 Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre sí y cada diagonal divide en dos un grupo de diagonales.

El área del rombo 66 = la mitad del producto de la diagonal, es decir, S = (a × b) ÷ 2.

67 Teorema 1 de determinación del rombo Un cuadrilátero con cuatro lados iguales es un rombo.

68 Teorema 2 de la determinación del rombo Un paralelogramo cuyas diagonales son perpendiculares entre sí es un rombo.

69 Teorema 1 de las propiedades del cuadrado Los cuatro ángulos de un cuadrado son todos ángulos rectos y los cuatro lados son iguales.

70 Teorema 2 de las propiedades del cuadrado Las dos diagonales de un cuadrado son iguales y se bisecan perpendicularmente, y cada diagonal biseca un conjunto de diagonales.

Teorema 71 1 Las gráficas simétricas alrededor de dos centros son congruentes.

Teorema 2 Respecto a dos gráficas con simetría central, las rectas que conectan los puntos de simetría pasan por el centro de simetría y están divididas equitativamente por el centro de simetría.

73 Teorema inverso Si una línea recta que conecta los puntos correspondientes de dos gráficas pasa por un punto y es bisecada igualmente por ese punto, entonces las dos gráficas son simétricas con respecto a ese punto.

74 Teorema de propiedades del trapecio isósceles Dos ángulos de un trapezoide isósceles sobre la misma base son iguales.

Las dos diagonales de un trapezoide isósceles son iguales.

76 Teorema de determinación del trapezoide isósceles Un trapezoide con dos ángulos iguales sobre la misma base es un trapezoide isósceles.

Un trapezoide con diagonales iguales es un trapezoide isósceles.

78 Teorema de rectas paralelas que bisecan segmentos de recta Si un conjunto de rectas paralelas son tangentes a una recta.

Igual, entonces los segmentos cortados en otras rectas también son iguales.

79 Corolario 1 Una línea recta que pasa por el punto medio de una cintura de un trapezoide y paralela a la base biseca la otra cintura.

Corolario 2 Una línea recta que pasa por el punto medio de un lado de un triángulo y es paralela al otro lado bisectará el tercer lado.

81 El teorema de la línea media de un triángulo La línea media de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a la mitad del mismo.

El teorema de la línea media del trapezoide es paralelo a las dos bases e igual a la mitad de la suma de las dos bases L = (A+B) ÷ 2s = L× H.

Propiedades básicas de la razón 83 (1) Si a:b=c:d, entonces ad=bc.

Si ad=bc, entonces a:b=c:d wc ∕ /S∕?

84 (2) Propiedades de combinación Si A/B = C/D, entonces (A B)/B = (C D)/D.

85 (3) Propiedad isométrica Si A/B = C/D = … = M/N (B+D+…+N ≠ 0), entonces

(a+ c+… +m)/(b+d+…+n)=a/b

86 Segmentos de recta paralela y teorema de proporción Si tres rectas paralelas cortan dos rectas, los segmentos de recta correspondientes son proporcionales.

Infiere que una recta paralela a un lado de un triángulo corta a los otros dos lados (o las líneas de extensión de ambos lados), y los segmentos de recta correspondientes obtenidos son proporcionales.

Teorema 88 Si los segmentos de recta correspondientes obtenidos al cortar dos lados de un triángulo (o una extensión de dos lados) son proporcionales, entonces esta recta es paralela al tercer lado del triángulo.

Línea recta paralela a un lado de un triángulo y que corta a los otros dos lados. Los tres lados del triángulo cortado son proporcionales a los tres lados del triángulo original.

Teorema 90: Si una recta paralela a un lado de un triángulo corta a los otros dos lados (o extensiones de ambos lados), el triángulo formado es semejante al triángulo original.

91 Teorema de determinación de triángulos semejantes 1 Dos ángulos son iguales y dos triángulos son semejantes (ASA)

Dos triángulos rectángulos divididos por la altura de la hipotenusa son semejantes al triángulo original.

Teorema de Decisión 2: Si ambos lados son proporcionales y los ángulos son iguales, los dos triángulos son semejantes (SAS).

Teorema de decisión 3: Tres lados son proporcionales y dos triángulos son semejantes (SSS)

Teorema 95 Si la hipotenusa de un triángulo rectángulo y un lado rectángulo son iguales a hipotenusa de otro triángulo rectángulo Proporcional a un lado recto, entonces los dos triángulos rectángulos son semejantes.

96 Teorema de propiedad 1 Los triángulos semejantes corresponden a razones de altura, y las razones de las líneas medias correspondientes y las bisectrices correspondientes son iguales a la razón de similitud.

97 Teorema de propiedad 2 La razón de los perímetros de triángulos semejantes es igual a la razón de similitud.

98 Teorema de propiedad 3 La razón de las áreas de triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón de similitud.

El seno de cualquier ángulo agudo es igual al coseno de los ángulos restantes, y el coseno de cualquier ángulo agudo es igual al seno de los ángulos restantes.

100La tangente de cualquier ángulo agudo es igual a la cotangente de los demás ángulos, y la cotangente de cualquier ángulo agudo es igual a la tangente de los demás ángulos.

101 Una circunferencia es un conjunto de puntos cuya distancia a un punto fijo es igual a una longitud fija.

El interior de un círculo 102 puede verse como un conjunto de puntos cuya distancia entre centros es menor que el radio.

El círculo exterior de un círculo 103 se puede considerar como un conjunto de puntos cuya distancia entre centros es mayor que el radio.

104 Círculos iguales o círculos iguales tienen el mismo radio.

La distancia de 105 al punto fijo es igual a la trayectoria de un punto de longitud fija, que es un círculo con el punto fijo como centro y la longitud fija como semidiámetro.

106 El lugar geométrico de un punto que está equidistante de los dos extremos de un segmento de recta conocido es la perpendicular media del segmento de recta.

El lugar geométrico desde 107 hasta un punto equidistante de ambos lados de un ángulo conocido es la bisectriz del ángulo.

El lugar geométrico de 108 a un punto equidistante entre dos líneas paralelas es una línea recta paralela y equidistante de las dos líneas paralelas.

Teorema 109: Tres puntos que no están en la misma recta determinan una circunferencia.

110 El teorema del diámetro perpendicular biseca una cuerda perpendicular a su diámetro y biseca dos arcos opuestos a la cuerda.

111 Corolario 1 ① El diámetro (no el diámetro) que biseca la cuerda es perpendicular a la cuerda y biseca los dos arcos opuestos a la cuerda.

(2) La perpendicular a la cuerda pasa por el centro del círculo y biseca los dos arcos opuestos a la cuerda.

③ Divide en dos el diámetro del arco opuesto a la cuerda, divide en dos la cuerda perpendicularmente y divide en dos el diámetro del arco opuesto a la cuerda.

112 Corolario 2 Los arcos comprendidos por dos cuerdas paralelas de una circunferencia son iguales.

113 Un círculo es una figura centralmente simétrica con el centro del círculo como centro de simetría.

Teorema 114: En el mismo círculo o dentro del mismo círculo, ángulos centrales iguales tienen arcos iguales, cuerdas iguales y distancias cuerda-centro iguales.

115 Se infiere que en un mismo círculo o círculos iguales, si un conjunto de cantidades en dos ángulos centrales, dos arcos, dos cuerdas o la distancia cuerda-centro de dos cuerdas son iguales, entonces las correspondientes Los otros conjuntos de cantidades también son iguales.

Teorema 116 El ángulo de un arco es igual a la mitad de su ángulo central.

117 Corolario 1 Los ángulos circunferenciales de un mismo arco o arcos iguales son iguales en un mismo círculo o dentro de un mismo círculo, los arcos opuestos a ángulos circunferenciales iguales también son iguales;

118 Corolario 2 El ángulo circunferencial (o diámetro) de un semicírculo es un ángulo recto; la cuerda de un ángulo circunferencial de 90° es el diámetro.

119 Corolario 3 Si la línea media de un lado de un triángulo es igual a la mitad de este lado, entonces el triángulo es rectángulo.

120 Teorema Las diagonales de un cuadrilátero inscrito en un círculo son complementarias, y cualquier ángulo exterior es igual a su ángulo interior.

121①El punto de intersección de la recta L y ⊙O es D < R.

(2) La tangente de la recta L, y ⊙O D = R.

③Las rectas l y ⊙O están separadas entre sí, d > r?

122 Teorema de la tangente Una línea recta que pasa por el extremo exterior de un radio y es perpendicular al radio es una tangente a un círculo.

123 Propiedades del teorema de la tangente La tangente de un círculo es perpendicular al radio que pasa por el punto tangente.

124 Corolario 1 Una recta que pasa por el centro del círculo y es perpendicular a la tangente debe pasar por el punto tangente.

125 Corolario 2 Una recta que pasa por la tangente y es perpendicular a la tangente debe pasar por el centro del círculo.

Teorema de longitud tangente 126: Dos tangentes a un círculo se trazan desde un punto fuera del círculo, y sus longitudes tangentes son iguales. La línea entre el centro del círculo y este punto biseca el ángulo entre las dos tangentes.

127 La suma de los dos lados opuestos de un cuadrilátero que circunscribe un círculo es igual.

128 Teorema del ángulo de la cuerda El ángulo de la cuerda es igual al ángulo circunferencial del par de arcos que contiene.

129 Corolario: Si los arcos encerrados por dos ángulos tangentes a cuerdas son iguales, entonces los dos ángulos tangentes a cuerdas también son iguales.

130 Teorema de las cuerdas que se cruzan La longitud de dos cuerdas que se cruzan en un círculo dividida por el producto de los puntos de intersección es igual.

1365438+

132 El teorema de la tangente conduce a la tangente y secante del círculo desde un punto fuera del círculo La longitud de la tangente es la razón de las longitudes de las dos rectas. en la intersección del punto y la secante término medio.

133 Infiere que los productos de las longitudes de las dos rectas desde ese punto hasta la intersección de cada secante y la circunferencia son iguales.

134 Si dos círculos son tangentes, entonces el punto tangente debe estar en la recta que los une.

135①La circunferencia de los dos círculos D > R+R ②La circunferencia de los dos círculos D = R+R.

③Intersección de dos círculos r-r < d < r+r (r > r)

④Círculo inscrito D = R-R (R > R) ⑤Dos círculos contienen D < R-R (R > R ).

Teorema 136 La intersección de dos círculos bisecta perpendicularmente la cuerda común de los dos círculos.

El teorema 137 divide un círculo en n (n≥3);

(1) El polígono obtenido al conectar los puntos en secuencia es el polígono N regular inscrito del círculo.

⑵ Un polígono cuyo vértice es el punto de intersección de rectas tangentes adyacentes de un círculo que pasa por cada punto es un polígono N regular que circunscribe el círculo.

Teorema 138 Todo polígono regular tiene una circunferencia circunscrita y una circunferencia inscrita, que son circunferencias concéntricas.

139 Cada ángulo interior de un polígono regular de N lados es igual a (n-2) × 180/n.

Teorema 140 El radio y la apotema de un polígono regular de N lados dividen el polígono regular de N lados en 2n triángulos rectángulos congruentes.

141 El área del polígono regular N Sn = PNRN/2 P representa el perímetro del polígono regular N.

142 El área de un triángulo equilátero √ 3a/4a representa la longitud del lado.

143 Si hay K N ángulos positivos alrededor de un vértice, dado que la suma de estos ángulos debe ser 360, entonces K× (n-2) 180/n = 360 se convierte en (n-2) (k -2)=4.

144 arco espada=n R/180

Fórmula de área de 145 sectores: S sector=n r 2/360 = LR/2.

La longitud de la tangente común interior de 146 = d-(R-r) La longitud de la tangente común exterior = d-(R+r)