Ayúdame a explicar en detalle las funciones trigonométricas, las funciones trigonométricas inversas y las funciones logarítmicas.
2. El dominio de la función y = arccosx es [-1, 1] y el rango de valores es [0, π].
3. El dominio de definición de la función y = arctgx es r, y el rango de valores es.
4. El dominio de la función y = arcctgx es r, y el rango de valores es (0, π).
5. arcseno(-)=;arccos(-)=;arctg(-1)=;arcctg(-)=
6. arcsin(-)]=；TG(arctg)=；cos(arcctg)=.
7. Si cosx =-, x ∈ (, π), entonces x =.
8. Si senx =-, x ∈ (-, 0), entonces x =.
9. Si 3ctgx 1 = 0, x ∈ (0, π), entonces x =.
Dos. Requisitos básicos:
1. Comprender correctamente la definición de funciones trigonométricas inversas y dominar la relación inversa entre funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas
2. funciones trigonométricas, y = arcsinx, x ∈ [-1, 1], y ∈ [-,], y = arccosx, x ∈ [-1, 65438.
3. El símbolo arcsinx puede entenderse como un ángulo o arco en [-,], o como un número real en el intervalo [-,]; , π] El ángulo o arco de también puede entenderse como un número real en el intervalo [0, π];
4.Y = Arcsinx es equivalente a Siny = X, Y ∈ [-,] e Y = Arccosx son equivalentes Para Cozy = X, , cos (Arccosx) = x, x ∈ [-1, 1], Arcsin (Sinx).
6. Dominar el juicio de paridad, aumento y disminución de funciones trigonométricas inversas. En la mayoría de los casos, se puede entender y aplicar combinando las imágenes y propiedades de las funciones trigonométricas correspondientes. p>7. Preste atención a etc. Aplicación de la fórmula Arcsinx ArcCosx=, ArcTGX ArcCTGX=.
Ejemplo 1. De las siguientes categorías, (c) es correcta.
(A)arcctg(-1)=-(B)arccos(-)=-
sin[arcsin(-)]=-(D)arctg(TGπ)= π
Solución: En (a) y (b), hay problemas con el rango de valores, es decir, ARCTTG (-1) ∈ (0, π), ARCCOS (-) ∈ [0, π],
En (d), el arco TG (TG π) ∈ [-,], y π [-,] y ∴ (a) (b) (d) son incorrectos.
Ejemplo 2. Entre las siguientes funciones, (d) tiene una función inversa.
(A)y=sinx,x∈[-π,0] (B)y=sinx,x∈[,]
(C)y=sinx,x∈ [,] (D)y=sinx,x∈[,]
Solución: Este problema consiste en determinar en qué intervalo la función y = sinx es una función monótona. Dado que y = sinx es una función monótonamente decreciente en el intervalo [,], se elige D.
Ejemplo 3. El arcoseno (SIN 10) es igual a (C).
(A)2π-10(B)10-2π(C)3π-10(D)10-3π
Solución: Esta pregunta es para determinar qué seno de ángulo es igual a sin10, el ángulo está en [-,].
Ya que sin(3π-10)= sin(π-10)= sin 10, 3 π-10 ∈ [-,], elija C.
Ejemplo 4. Encuentre la función inversa de la siguiente función y encuentre su dominio y rango de valores.
(1)f (x)=2sin2x, x∈[,]; (2)f (x)= arccos2x.
Solución: (1) x ∈ [,], 2x ∈ [,], 2x-π ∈ [-,], -2 ≤ y ≤ 2.
De y = 2sin2x, sin2x =, sin(2x-π)=-sin2x=-, ∴2x-π= arcsin(-),
∴x =- de todos modos, ∴f-1(x)=- De todos modos, -2≤x≤2, y∈[,].
(2) f (x)= arccos2x, x∈[-,], y∈[,],
∴ arccos2x=y-, 2x=cos(y-) , x=cos(y-)=siny
∴f -1(x)=senx, x∈[,], y∈[-,].
Ejemplo 5. Encuentre el dominio y rango de valores de las siguientes funciones:
(1)y = arccos; (2) y = arcoseno (-x2 x (3) y=arcctg(2x-1),
Solución: (1) y = arccos, 0
(2) y = arcoseno (-x2 x), -1≤-x2 x≤1, ∴ ≤x≤,
Porque -x2 1 =-(x-)2, ∴-1 ≤- x2 x ≤, ∴-≤y≤arcoseno.
(3) y = arctg (2x-1), porque 2x-1 > -1, ∴0 lt; arcctg(2x-1) lt;, ∴ x∈R, y∈(0 , ).
Ejemplo 6. Encuentre el rango de las siguientes funciones:
(1) y=arccos(sinx), x∈(-,); (2) y=arcsinx arctgx.
Solución: (1) ∵ x ∈ (-), ∴ sinx ∈ (-, 1), ∴ y ∈ [0,].
(2)∫y = arcos inx arctgx. , x ∈ [-1, 1], y Arcsinx y Arctgx son funciones crecientes,
∴ -≤arcsinx≤, -≤arctgx≤, ∴ y∈[-,].
Ejemplo 7. Determina la paridad de las siguientes funciones:
(1) f(x)= xarcsin(sinx); (2) f (x)=-arcctgx;
Solución: (1) El dominio de f (x) es r, f(-x)=(-x)arcsin[sin(-x)]= xarcsin(sinx)= f(x) ,
F (x) es una función par;
(2) El dominio de f(x) es r,
f(-x)= -arc ctg(-x)=-(π-arc ctgx)= arc ctgx-=-f(-x),
F (x) es una función impar.
Ejemplo 8. Haz una imagen con la función y = arcsin (senx), x ∈ [-π, π].
Solución: y = arcsin (sinx), x ∈ [-π, π], se omite la imagen.
Ejemplo 9. Compare el tamaño de Arcsin, ArcTG y Arccos (-).
Solución: Arcsin
Supongamos Arcsin = α, sinα= =, ArcTG = β, Tgβ =, ∴ Sinβ =
arctg ltarcsin ltarccos(-) .
Ejemplo 10. Resuelve la desigualdad: (1) arcsinxlt
Solución: (1) x ∈ [-1, 1], cuando x =, arcsinx=arccosx, arcsinx es una función creciente, arccosx es una función decreciente,
∴Cuando x ∈ [-1,), Arcsinx
(2) ∵ arccosx =-arcsinx, ∴La fórmula original se simplifica a 4arcsinx gt, arcsinx gt=arcsin,
arcsinx es una función creciente, ∴ < x≤1.
Tres. Cuestiones de formación de habilidades básicas:
1. La siguiente relación siempre es cierta (b).
(A)π-arc cosx gt; 0 (B) π-arcctgx gt; 0 (C) arcsinx-≥0 (D) arctgx->0
2. La función de resta en (-∞,∞) es (d).
(A)y = arcs inx(B)y = arc cosx(C)y = arct GX(D)y = arcctgx
3. gt es. 4. El conjunto solución de la desigualdad arc cosx >;
4. Preguntas seleccionadas:
(1) Preguntas de opción múltiple:
1. El valor de cos (arccos) es (d).
(A) (B) (C)cos (D) no existe.
2.arcsinx gt1, entonces el rango de valores de x es (c).
(A)sin 1 lt; arcsinx arctg |(-1≤x≤1); ).
(a) es una función impar; (b) es una función par; (c) es una función par y impar;
4. Si a = arcsin (-), b = arctg (-), c = arccos (-), entonces la relación entre a, b y c es (b).
(A)A lt;b ltc(B)a lt;c ltb(C)C lt;a ltb(D)c lt;b lta
5. =-, x ∈ (, π), entonces x = (c).
(A) arctg(-)(B)π-arctg(-)(C)π arctg(-)(D)
6. La función inversa de arccos (x-2) es (d).
(A)y =(cosx-2)(0≤x≤π)(B)y = cos(x-2)(0≤x≤2π)
( C)y = cos( 2)(0≤x≤π)(D)y = cos 2(0≤x≤2π)
Si arccosx≥1, el rango de valores de x es ( d).
(A)[-1,1] (B)[-1,0] (C)[0,1] (D)[-1,arccos1]
8 .Función y = y=arccos(sinx) (-lt-
(A)(,)(B)[0,] (C)(,)(D)[,]
9. Dado x ∈ [-1, 0], la siguiente ecuación cumple (b)
(A)arcsin = arc cosx (B)arcsin =π-arc cosx
p >(C)arccos = arcsinx (D)arccos =π-arcsinx
10. La inclinación de la recta 2x y 3 = 0 es igual a (c)
(A. )arctg 2(B)arctg(-2)(C)π-arctg 2(D)π-arctg(-2)
(2) Completa los espacios en blanco:
11. Si cos α =-(
12. Función y = (Arcsinx) 2 2 El valor mínimo de Arcsinx-1 es -2.
13. y = 2sin2x (x ∈ [- ,]) es
14. El dominio de la función y = arcsin es x≤1 o x≥3, y su rango de valores es
. 15. Arctangente representa una línea recta El ángulo de inclinación de AX-Y A = 0 (a ≠ 0) es α =
(3) Responde la pregunta:
16. la función inversa de la siguiente función:
(1) y=3cos2x, x∈[-,0]; (2)y =π arccos x2(0 lt; x≤1). >
Solución: (1) x ∈ [- 0], ∴ 2x ∈ [-π, 0], la función y = 3cos2x es una función univaluada en el dominio
Y -. 3 ≤ y ≤ 3. , y = 3cos2x =-3cos (π 2x), cos (π 2x) =-,
∴ π 2x=arccos, ∴x=arccos-,
∴ y = 3cos2x , la función inversa de x ∈ [-, 0] es y = arccos-, -3 ≤ x ≤ 3.
(2)∵0 lt; ≤y lt;, ∴ arccosx2 =y-π, x2=cos(y-π), x=,
∴La función inversa de la función original es y =, π≤ x
17. Encuentra la función y = (arccosx) 2-3 El valor máximo de arccosx y el valor correspondiente de x
Solución: función y = (arccosx) 2-3 arccosx, x ∈ [ -1, 1], arccosx ∈ [0, π]
Supongamos arccosx = t, 0 ≤ t ≤ π, ∴ y = t2-3t = (t-) 2-,
∴ Cuando t =, es decir, x = Cuando cos, la función toma el valor mínimo -,
Cuando t = π, es decir, x =-1, la función obtiene el valor máximo π 2-3 π.
18. Si f (arccosx) = x2 4x, encuentre el valor máximo de f (x) y el valor correspondiente de x..
Solución: Sea arccosx = t, t ∈ [ 0, π], x = costo, sustitúyalo para obtener f (t) = cos2t 4costo.
∴ f (x)=cos2x 4cosx, x∈[0, π], cosx∈[-1, 1], f (x)=(cosx 2)2-4
∴Cuando cosx =-1, es decir, x = π, la función obtiene el valor mínimo -3.
Cuando cosx = 1, es decir, x = 0, la función obtiene el valor máximo 5.
19. (1) Encuentre el intervalo monótonamente creciente de la función y = arccos (x2-2x); (2) Encuentre el intervalo monótonamente creciente de la función ARCTG (x2-2x).
Solución: (1) La función y = arccosu, u ∈ [-1, 1] es una función decreciente,
∴-1 ≤ x2-2x ≤ 1, 1-≤ x ≤ 1, x2-2x = (x-1) 2 1,
∴ 1 ≤ x ≤ 1, u = x2-2x es una función creciente, y según el concepto de función compuesta, la La función original es una función decreciente.
(2) Función y = arctgu función creciente, u∈R, y x2-2x = (x-1) 2 1,
Cuando x≥1, la función original es función creciente.
20. Encuentra un punto en la curva y = y=5sin(arccos) que esté más alejado de la línea recta x y-10 = 0, y encuentra la distancia más lejana.
Solución: Sea arccos = α, -3 ≤ x ≤ 3, cos α =,
y=5sinα=5,
Las propiedades de las funciones trigonométricas e Imagen
[Punto clave]: Propiedades e imágenes de funciones trigonométricas compuestas.
[Dificultad]: Transformación de imágenes de funciones trigonométricas compuestas
[Ejemplo]
Ejemplo 1. Encuentra el dominio de la función: f(x)= 1
Solución:
(1): 2kπ≤x ≤(2k 1)π(k∈Z)
(2): -4lt;xltfour
El campo es.
Nota: La unidad de la variable independiente x en senx es "radianes", x ∈ r.
Ejemplo 2. Encuentre el intervalo creciente de y=cos(-2x).
Análisis (1): Esta función es una función compuesta de y=cosu y u= -2x.
∵ u= -2x es una función decreciente y requiere el intervalo creciente de y=cos(-2x). Solo necesitas encontrar el intervalo decreciente de y=cosu.
Método (1): ∵y = El intervalo decreciente de COSU es 2kπ≤u≤π 2kπ (k∈Z).
∴Supongamos 2kπ≤ -2x≤π 2kπ, -kπ≤ x≤-kπ (k ∈ z)
∫-k es equivalente a k, ∴El intervalo creciente es [ - kπ , kπ] (k∈Z).
Análisis (2): ∵ COSU es una función par, ∴ y=cos(2x-)
Supongamos y = costo, t=2x,
∵ t=2x- es una función creciente, que requiere el intervalo incremental de y=cos(2x-) y solo el intervalo incremental de y=costo.
Método (2): El intervalo creciente de ∵y = costo es π 2kπ≤t≤2π 2kπ (k∈Z).
∴Supongamos π 2kπ≤2x- ≤2π 2kπ, kπ≤x≤ kπ (k∈Z)
∴El intervalo creciente es kπ≤x≤ kπ (k∈Z) .
Nota: Los resultados obtenidos por los dos métodos son diferentes en la superficie, pero según la figura, los rangos representados por las dos formas son exactamente los mismos.
Ejemplo 3. Encuentra el período y rango de la función y = sin2x sinx sin (x).
Análisis: encuentra el período, el rango de valores y el intervalo monótono de una función. El método común para las funciones trigonométricas es convertirlas en una función trigonométrica de ángulo.
Solución: y=
=
=
=
∴ T= =π, el rango es [].
Ejemplo 4. Encuentra el valor máximo de la función y = sinx cosx sinx cosx.
Análisis: sinx cosx y sinxcosx se convierten mutuamente. Si consideramos sinx cosx como un todo y lo configuramos como un nuevo elemento, entonces la función se puede convertir en una función del dólar de Singapur. Tenga en cuenta el rango de valores de los dólares de Singapur.
Solución: Supongamos sinx cosx=t, t∈[-,].
Entonces (sinx cosx)2=t2, es decir, 1 2sinxcosx=t2, sinxcosx=,
y = t =(T2 2t)-=(t 1)2- 1,
Cuando t=, ymax=.
Ejemplo 5. Determinar la paridad de las siguientes funciones
(1)y=sin(x)- cos(x)
(2)y=
Análisis: Dominio es R, simétrico con respecto al origen. Después de una deformación equivalente, conviértala en una función trigonométrica de un ángulo tanto como sea posible y luego determine su paridad.
Solución: (1)y=2[ sin(x )- cos(x )]
=2sin[(x )- ]
=2sinx
Esta función es una función de números impares.
(2) El denominador de ∵ puede obtener el dominio x≡π 2kπ y (k∈Z). El dominio es asimétrico con respecto al origen en el sistema de coordenadas rectangular.
La función ∴ no es par ni impar.
Ejemplo 6. Escribe expresiones analíticas para las gráficas de las siguientes funciones.
(1) Traslade todos los puntos de la imagen de la función y=senx una unidad a la izquierda y luego expanda las coordenadas de abscisas de cada punto de la imagen resultante al doble del valor original para obtener el resultado deseado. Imagen de función.
(2) Reduzca la coordenada de abscisas de todos los puntos en la imagen de la función y=cosx a la mitad del valor original, mantenga la ordenada sin cambios y luego mueva la imagen hacia la izquierda una unidad para obtener la imagen de la función requerida.
(1) Análisis: Según el orden de transformación de la imagen, el cambio de la variable independiente X es: Veces Semanal.
La fórmula analítica de la imagen es: y=sinx→y=sin(x)→y=sin().
Solución: La expresión analítica de la función imagen es y=sin(), que también se puede escribir como y=sin (x).
(2) Análisis: Según el orden de transformación de la imagen, el cambio de la variable independiente X es: 2 veces;
La fórmula analítica de la imagen es: y=cosx→y=cos2x→y=cos2(x).
Solución: La expresión analítica de la función imagen es y=cos2(x), que también se puede escribir como y=cos(2x).
Ejemplo 7. Se sabe que la función y=sin(3x)
(1) determina la paridad de la función
(2) determina la simetría de la función.
Análisis: La paridad de una función y la simetría de una función están relacionadas y son diferentes. Por definición, alternativas.
Solución: (1) El dominio es R, sea f(x)=sin(3x).
f(-x)=sin[3(-x) ]=-sin(3x-)
∫sin[3(-x) ]≠sin(3x )
sin[3(-x) ]≦- sin(3x)
La función y=sin(3x) no es una función impar ni una función par.
(2) La imagen de la función y=sin(3x) es una figura con eje simétrico, y la ecuación del eje simétrico es 3x =kπ.
Es decir, x= (k∈Z)
La imagen de la función y=sin(3x) también es una figura centralmente simétrica. Las coordenadas del centro de simetría. imagen de la función y = seno son (kπ,0).
Supongamos 3x =kπ, x= (k∈Z).
∴ y=sin(3x)Las coordenadas del centro de simetría de la imagen son (,0) (k∈Z).
Experimento
Elección múltiple
1 dominio.
y = es (k∈Z debajo) ().
(A)[2k ] (B)[2k ]
(C)[2k ] (D)(-∞, ∞)
2. f (x) = cos (3x-θ)-sin (3x-θ) es una función impar, entonces θ = () (en lo sucesivo, k∈Z).
(A)kπ (B)kπ (C)kπ- (D)kπ
3 Lo mismo que la imagen de la función y=cos(x-π) en [] La función es ().
(A)y =(B)y =(C)y = cos(x-)(D)y = cos(-x-4π)
4. función La imagen de y = sin (2x-) se desplaza unidades hacia la derecha, y la función correspondiente de la imagen obtenida es ().
(a) Funciones pares y no impares (b) Funciones pares y impares.
(c) Función impar (d) Función par
5 Utilice la función y=sin() para transformar la imagen de la siguiente manera para obtener la imagen de la función y=sin(). incógnita().
(a) Mover a la derecha (b) Mover a la izquierda (c) Mover a la derecha (d) Mover a la izquierda.
6. La función f(x)= sin(ωx θ)cos(ωx θ)(ω>;0) toma 2 como período positivo mínimo. Cuando x=2, se obtiene el valor máximo. , entonces el valor de θ A es ().
(A)- π (B)- π (C) π (D)
7.ω es un número real positivo, y la función aumenta, entonces ().
(A) (B) (C) (D)
8 El intervalo monótonamente creciente de y = cos (2x) sin (-2x) es (por debajo de k∈Z). ) ().
(A)[ ] (B)[ ]
(C)[ ] (D)[ ]
9. el valor máximo es ()
Artículo 4, párrafo 2, punto 3, párrafo 7, punto 4, punto 8
Cuando x∑(), f(x) =| sin(3kx)|Cuando hay un ciclo completo, entonces el valor entero positivo más pequeño que k puede tomar es ()
12 (B)13 (C)25 (D)26
< . p>Respuesta y análisisRespuesta: 1, D 2, C 3, A 4, D 5, C 6, A 7, A 8, A 9, D 10, b
< . p>Análisis:1. Para x∈R, -1≤sinx≤1, cos(sinx)>0 es una constante, entonces x ∈ r
2. ordenado. De f(x)=2sin(θ-3x), se puede verificar sustituyendo f(0)=0.
Nota: Una propiedad de la función impar: si el dominio de f(. x) de la función impar Si hay 0 en , entonces f(0)=0 (de lo contrario puede no ser cierto)
3. ,
y = = | cosx | =-cosx(∵x∑[], cosx lt0)
Y = (obviamente no es la respuesta cuando x = no tiene sentido)
y=cos(x- π)=-sinx,
y=cos(-x-4π)=cosx .
4 y = sin(2x- . )y = sin(2(x-) )=-cos2x .
Nota: Para la traducción de la imagen de la función, domine las reglas de suma por la izquierda y resta por la derecha (X aumenta en un número cuando se cambia a hacia la izquierda, y X disminuye en un número cuando se desplaza hacia la derecha). Nota: cambiar (X) será suficiente. ( x )→y=sin[ (x- ) ]
Es decir, x se convierte en x-, así que traslada las unidades a la derecha.
6.f(x)= sin(2ωx 2θ), cuando T= =2, ω =, x=2, toma el valor máximo de f(x) y sustituye las opciones de verificación.
7. Supongamos que ωx=t, porque f(x)=2sint es una función creciente en [-,].
Entonces -≤t≤, es decir -≤ωx≤, -≤x≤,
Se sabe que f(x) aumenta en [-,], por lo que podemos resuelve 0
8. Simplifica y=-sin4x=- sin4x. El problema original es encontrar el intervalo decreciente de sin4x.
2kπ ≤4x≤2kπ π ≤x≤ π.
Presta atención a la fórmula simplificada y=8cos(x-).
10. La función f(x) = se resuelve según el significado t, es decir, el periodo t de k≥4π.
Nota: El período de la función f(x)=|sinωx| es T=.
Preguntas de funciones trigonométricas con parámetros
Las preguntas con parámetros han sido un tema candente en el examen de ingreso a la universidad en los últimos años porque pueden probar las ideas matemáticas discutidas en categorías y en profundidad. examinar las habilidades matemáticas. Sin embargo, debido a las dificultades, se ha enfriado en los últimos dos años. Los problemas con los parámetros suelen aparecer en desigualdades y funciones, y también suelen estar involucrados en funciones trigonométricas. Sin embargo, dado que las funciones trigonométricas son en su mayoría preguntas de nivel bajo a medio en el examen de ingreso a la universidad, esta parte es más difícil.
Los llamados parámetros están relacionados con variables. Por tanto, al abordar este tipo de problemas, debemos tener la idea de variables, es decir, considerar los parámetros como una cantidad en movimiento y cambiante. Cuando este parámetro cambia a valores diferentes, puede tener diferentes impactos en el proceso de resolución de problemas, lo que requiere una discusión clasificada. Los siguientes ejemplos tratan sobre combinaciones de imágenes y propiedades de variables paramétricas y funciones trigonométricas.
Ejemplo 1. Si cos2x=acos2x bcosx c se cumple para todos los números reales x, entonces A2 B2 C2 = _ _ _ _ _ _.
Análisis: Cuando la variable x cambia, el valor de cosx también cambia, pero este cambio no puede afectar el valor de toda la fórmula.
Solución: La fórmula original se ordena como: (a-2)cos2x bcosx c 1=0, es decir, no importa el valor que tome X, esta fórmula es verdadera.
Entonces se debe establecer a-2=0, b=0, c 1=0 al mismo tiempo resolviendo a=2, b=0, c=-1, luego a2 b2 c2=5. .
Nota: Para que acosx no se vea afectado por los cambios en el valor de x, solo a=0.
Ejemplo 2. Se sabe que α, β ∈ [-,], sinα=1-a, sinβ=1-a2, α β
Análisis: Para obtener el rango de valores de la variable A, debes encontrar un valor que contiene Para la desigualdad de A, preste atención a la acotación de la función seno en esta pregunta.
Solución: Debido a que α β
De acuerdo con y=sinx es una función creciente en [-,], obtenemos sinα
Entonces hay, resuelve 1
Nota: Esta pregunta examina principalmente la aplicación flexible del rango de valores y la monotonicidad de las funciones trigonométricas.
Ejemplo 3. La gráfica de la función y=sin2x acos2x es simétrica con respecto a la recta x=-, entonces ¿cuál es el valor de a?
Análisis: Si la imagen de la función f(x) es simétrica respecto a la recta x=a, entonces f(a x)=f(a-x).
Solución: Supongamos que f(x)=sin2x acos2x, F (- x) = f (-x) es verdadera para cualquier x según el significado de la pregunta.
Es decir, sin(- 2x) a cos(- 2x) = sin(-2x) a cos(-2x).
sin(- 2x) sin( 2x)= a[cos( 2x)-cos(- 2x)]
(1 a)sin2x=0
Para que la fórmula anterior sea verdadera (no afectada por el valor de x), debe ser 1 a=0, es decir, a=-1.
Nota: 1. ¿Hay algo similar al Ejemplo 1?
2. Para preguntas de opción múltiple, puedes usar dos puntos sobre x=-simetría para verificar, por ejemplo.
Ejemplo 4. Se sabe que la ecuación 2sin2x-cos2x 2sinx m=0 tiene solución, encuentre el rango del número real m.
Análisis: Coloque la variable m en un lado y examine el rango de valores en el otro lado.
Solución: De la fórmula original se obtiene m=-3sin2x-2sinx 1.
Supongamos que y=-3sin2x-2sinx 1, entonces y tiene un valor máximo y un valor mínimo. Mientras m esté dentro de este rango, la ecuación original tiene solución.
Supongamos t=senx, luego -1≤t≤1, encuentre el rango de valores de y=-3t2-2t 1. Según la gráfica de la función cuadrática -4≤y≤,
es decir, cuando -4≤m≤, la ecuación original tiene solución.
Nota: Mantener las variables separadas también es una técnica. También se utilizó el ejemplo 5 siguiente.
Ejemplo 5. Dado 0≤θ≤, encuentre cos2θ 2msen θ-2m-2: (sinθ-1 lt; 0)
Supongamos que y=, entonces y es una variable, y supongamos que 2m >; como 2m gty El valor máximo es suficiente.
El valor máximo de y (0 ≤ sinθ
y=
=sinθ
=sinθ 1
=-[(1-sinθ) ] 2
∫(1-sinθ) Cuando 1-sinθ=1, es decir, θ=0, el valor mínimo es 3.
∴ y. max =-1, 2m gt-1, m gt- ,
Entonces, cuando θ =, m toma cualquier número real, la fórmula original se cumple
Cuando 0 ≤ θ
p>Nota: 1. Esta pregunta es una pregunta integral y es una pregunta difícil. Hay más conocimientos para examinar, pero debe comprender la idea de variables
<. p>2. Encuentra la función y =. x (a > 0), podemos observar la imagen en (0, ∞) según la imagen, como se muestra en la figura (función impar)Resumen : Los ejemplos 1, 3, 4 y 5 reflejan variables, por lo que debemos prestar atención a la experiencia. El ejemplo 5 examina en profundidad la idea de la clasificación. Además, el problema de los parámetros a menudo está relacionado con el rango de valores. , que está destinado a estar relacionado con el examen de ingreso a la universidad
Excelentes preguntas
1 Entre las siguientes cuatro funciones, la función con π como período positivo mínimo y decreciente. el intervalo es ()
a, y=cos2x B, y=2|sinx| C, D, y=-cotx
Solución: y=cos2x, el período es π. , el intervalo es una función creciente
Y=2|sinx|, el período es π π, es una función decreciente en el intervalo
Al menos, se puede juzgar. que no es una función decreciente en el intervalo
Y=-cotx, una función creciente en el intervalo, ∴ B
2. sin|x|, x∈[-π, π] es ()
Solución: A partir de la paridad de la función (ni par ni impar y eliminar A, B, D de las coordenadas de la). punto especial. ∴ ángulo
3. Sea la función f(x)=sin2x. Si f(x t) es una función par, un valor posible de t es _ _. Solución: dibuja un boceto de f(x)=sin2x. No es difícil ver que si mueves la imagen horizontalmente hacia la izquierda, puedes obtener una imagen que sea simétrica con respecto al eje Y. Debe completarse ∴.
4. Parte de la imagen de la función y=-xcosx es ()
Solución: ∫f(x)=-xcosx, ∴ f(-x). )=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x)
Entonces f(x) es una función impar (x∈R), que se puede elegir entre B y. D,
Supongamos que un punto de la imagen está debajo del eje X.
∴
5. La función conocida f (x) = x2 2x tan θ-1, donde.
(1) Cuando, encuentre los valores máximo y mínimo de la función f(x).
(2) Encuentre el rango de valores de θ tal que y=f(x); ) está en el intervalo es una función monótona.
Solución: (1) Cuando,
∴, el valor mínimo de f(x) es,
Cuando x=-1, f(x) El valor máximo es.
(2) El eje de simetría de la función f(x)=(x tanθ)2-1-tan2θ imagen es x=-tanθ,
∵ y=f(x ) es una función monótona en el intervalo [-1,].
∴-tanθ≤1 o,
Es decir, tanθ≥1 o tanθ≤0,
Por lo tanto, el rango de θ es.
Comentarios: Esta pregunta es una síntesis de los conocimientos básicos de funciones cuadráticas y funciones trigonométricas. Al resolver el problema (1), después de obtener la expresión analítica de la función cuadrática, se debe prestar atención a comparar correctamente el valor de la función al final del intervalo con el valor máximo de esta función y hacer una elección.
En la pregunta (2), se supone que f(x) es una función monótona en el intervalo y debe considerarse en categorías. Si aumenta monótonamente, entonces -tanθ≤1. Si disminuye monótonamente, entonces este paso es el foco y la dificultad de resolver el problema.
6. Función conocida x ∈ r.
(I) Cuando la función y toma el valor máximo, encuentre el conjunto de variables independientes x
(II) Esta función se puede obtener de la imagen de y=senx(; x∈R) ¿Qué tipo de traslación y transformación de escala es?
Solución: (1)
Es necesario y sólo necesario que y obtenga el valor máximo
Es decir k ∈ z.
Entonces cuando la función y toma el valor máximo, el conjunto de variables independientes x es.
(II) Transforma la función y=sinx de la siguiente manera:
(I) Traslada la imagen de la función y=sinx a la izquierda para obtener la imagen de la función;
(ii) Acortar la abscisa de cada punto de la imagen obtenida al tiempo original (la ordenada permanece sin cambios) para obtener la imagen de la función;
(iii) Convertir cada punto en la imagen obtenida La ordenada de cada punto se acorta al tiempo original (la abscisa permanece sin cambios) para obtener la imagen de la función;
(IV) Traducir la imagen obtenida hacia arriba una unidad de longitud para obtener la imagen de la función;
En resumen se obtiene la imagen de la función.
Comentarios: Usando fórmulas trigonométricas, una función conocida se puede convertir en una función analítica simple de un ángulo y se puede discutir su valor máximo. La solución a este problema se explica detalladamente con la correspondiente transformación de imagen, que es necesario entender y dominar.