Edición de Educación Popular Primaria, ¿qué libro es la ecuación para qué grado?
Contenidos
Conceptos básicos
Relato histórico de las ecuaciones
Términos matemáticos
Ecuaciones lineales de una variable< /p >
Ejemplos de Diseño Didáctico
Ecuaciones lineales de dos variables (grupo)
Ecuaciones lineales de tres variables
Ecuaciones lineales de n variables
Inicio
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Conceptos básicos
Números desconocidos: Generalmente x.y.z es un número desconocido, puedes configurar otras letras, lo que sea. ¡Dos ecuaciones en un problema no pueden tener las mismas incógnitas!
El concepto de “Yuan”
Durante las dinastías Song y Yuan, los matemáticos chinos crearon el “Tian Yuan” para representar números desconocidos y luego establecer ecuaciones. Más tarde, la gente estableció elementos geográficos, elementos humanísticos y elementos tailandeses para representar cantidades desconocidas. Algunos elementos se denominan ecuaciones multivariadas. El trabajo representativo de este método es "Yuan Hai Jing" (1248) escrito por el matemático Ye Li, en el que "establecer un Tianyuan" equivale a "establecer un número desconocido x", por lo que cuando la ecuación se abrevia ahora, el número desconocido se llama "yuan". Por ejemplo, una ecuación desconocida se llama "ecuación univariada". En la antigüedad, más de dos números desconocidos también se llamaban "Tian Yuan", "Di Yuan" y "Ren Yuan".
"Cuadrática": El concepto de cuadrática en ecuaciones es similar a las expresiones algebraicas. Se refiere a la suma de todos los indicadores desconocidos en un proyecto con un número desconocido. El término con mayor grado es el grado de la ecuación.
"Solución": La solución de una ecuación, también llamada raíz de la ecuación. El valor de la cantidad desconocida en la ecuación. Generalmente expresado como "x=a", donde x representa el número desconocido y a es una constante.
Resolver ecuaciones: El proceso de encontrar la solución de una ecuación, o el valor de la cantidad desconocida en la ecuación, se llama resolver una ecuación.
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La historia histórica de las ecuaciones
1. Hace unos 3.600 años, los antiguos egipcios escribieron problemas matemáticos en papiro que involucraban ecuaciones de números desconocidos.
2. Alrededor del año 825 d.C., el matemático centroasiático Al-Hua Razimi escribió un libro llamado "Eliminación y Reducción", que se centraba en la solución de ecuaciones.
2. Uno de los nueve capítulos de la Aritmética.
La nota de la dinastía Tang en "La biografía de Ma Yan" de la última dinastía Han es "buena en aritmética en nueve capítulos": "Liu Hui es el primero en aritmética en nueve capítulos, Su es el segundo, Chao es tercero, Shao Guang es cuarto, Shang Gong es quinto. También faltan las notas sextas de Bai Shangshu en "Nueve capítulos de ecuaciones aritméticas": "cuadrado" es un cuadrado y "成" es una expresión o expresión. problema, si hay varios datos relacionados, colóquelos relacionados. Los datos dispuestos uno al lado del otro en un cuadrado se denomina 'ecuación'. La llamada 'ecuación' es la matriz aumentada de hoy."
3. El concepto de "Yuan":
Durante las dinastías Song y Yuan, los matemáticos chinos crearon el "Tian Yuan" para representar números desconocidos y luego establecer ecuaciones. El trabajo representativo de este método es "Yuan Hai Jing" (1248) escrito por el matemático Ye Li, en el que "establecer un Tianyuan" equivale a "establecer un número desconocido x", por lo que cuando la ecuación se abrevia ahora, el número desconocido se llama "yuan". Por ejemplo, una ecuación desconocida se llama "ecuación univariada". En la antigüedad, más de dos números desconocidos también se llamaban "Tian Yuan", "Di Yuan" y "Ren Yuan".
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Términos matemáticos
Una ecuación que contiene números desconocidos se llama ecuación. Esta es la definición lógica en la escuela secundaria.
La definición de una ecuación incluye métodos de definición de funciones y definiciones de relaciones, y las ecuaciones con números desconocidos no son necesariamente ecuaciones. Por ejemplo, 0x=0 no es una ecuación. Debe definirse así:
En el. forma de f (x1, x2, x3) Ecuación...xn) = g (x1, x2, x3...xn), donde f (x1, x2, x3...xn) y g (x65438)
Propiedades básicas de la Ecuación 1
Si sumas (o restas) el mismo número o la misma expresión algebraica a ambos lados de una ecuación al mismo tiempo, el resultado sigue siendo una ecuación. Representado por letras: si a=b, c es un número o una expresión algebraica. Entonces: (1) A C = B C (2) A-C = B-C.
Propiedades básicas de la Ecuación 2
El resultado de multiplicar o dividir ambos lados de una ecuación por el mismo número que no es cero sigue siendo una ecuación.
(3) Si a=b, entonces b=a (simetría de la ecuación).
(4) Si a = b, b = c, entonces a = c (transitividad de la ecuación).
Representado por letras: si a=b, c es un número o una expresión algebraica (no 0). Entonces:
a×c=b×c a÷c=b÷c
Algunos conceptos de ecuaciones
Soluciones de ecuaciones: haciendo los lados izquierdo y derecho de la ecuación igual El valor de la incógnita se llama solución de la ecuación.
Resolver ecuaciones: El proceso de resolver ecuaciones se llama resolución de ecuaciones.
Conceptos básicos de resolución de ecuaciones: 1. Terminología de cambio; 2. Propiedades básicas de ecuaciones; 3. Combinación de elementos similares 4. La relación entre suma, resta, multiplicación y división de partes.
Pasos para resolver ecuaciones: 1. Calcule lo que se puede calcular primero; 2. Resultado-cálculo-conversión
Por ejemplo:
3x=5×6
3x=30
x = 30 \3
x=10
Términos en movimiento: Al cambiar el signo de algunos términos en una ecuación, se mueven de un lado de la ecuación al otro . Con base en las propiedades fundamentales de la Ecuación 1, esta deformación se denomina término de desplazamiento.
Existen ecuaciones integrales y ecuaciones fraccionarias.
Ecuación integral: Una ecuación de expresión algebraica con incógnitas en ambos lados se llama ecuación integral.
Ecuaciones fraccionarias: Las ecuaciones con números desconocidos en el denominador se llaman ecuaciones fraccionarias.
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Ecuaciones lineales de una variable
Capítulo 4 del primer volumen de matemáticas de quinto grado publicado por People's Education Press, y el segundo volumen de matemáticas de quinto grado publicado por Hebei Education Press Capítulo 3, Capítulo 5 del primer volumen de matemáticas de séptimo grado impartido por la Universidad Normal de Beijing.
Capítulo 1 de la edición educativa de Jiangsu de quinto grado.
Definición
Una ecuación integral con un solo número desconocido y el número desconocido es 1 se llama ecuación lineal de una variable. La forma habitual es kx b=0(k, b es una constante, k≠0).
Pasos generales para la solución
1. Multiplica ambos lados de la ecuación del denominador por el mínimo común múltiplo de cada denominador.
4. Generalmente, primero se eliminan los corchetes, luego los corchetes y finalmente los corchetes. Pero a veces el orden se puede determinar según la situación para simplificar el cálculo. Según la ley de distribución multiplicativa.
3. Mueve los términos con incógnitas al otro lado de la ecuación. No olvides cambiar los signos al mover otros términos al otro lado de la ecuación. (Este es generalmente el caso: (por ejemplo) De 5x=4x 8, obtenemos 5x-4x = 8; ¡mueve las incógnitas juntas!~
4. Combina términos similares para transformar la ecuación original en ax =b(a ≠0).
⒌Coeficiente: El coeficiente que divide ambos lados de la ecuación por la incógnita al mismo tiempo
La ecuación de homotopía
p>.Si las soluciones de dos ecuaciones son iguales, entonces las dos ecuaciones se llaman ecuaciones de solución idéntica
El principio de soluciones idénticas para ecuaciones;
La suma o resta de ambas Los lados de la ecuación son iguales. La ecuación obtenida al multiplicar o dividir el mismo número o la misma ecuación que la ecuación original es la misma que la ecuación original.
2. el mismo número en ambos lados de la ecuación es el mismo que la ecuación original. Resuelve la ecuación.
Métodos importantes para la resolución de problemas de aplicación de ecuaciones lineales de una variable:
1.
Análisis de cantidades conocidas y desconocidas.
【13】Encuentra la relación de equivalencia.
4. Supongamos un número desconocido.
⒌Ecuaciones de secuencia
Resolución de ecuaciones.
⒎Prueba
⒏Escribe una respuesta
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Ejemplo de diseño instruccional
Objetivo didáctico
1. Permitir a los estudiantes dominar los métodos y pasos para resolver problemas de aplicación simples usando ecuaciones lineales y enumerar problemas de aplicación simples resueltos usando ecuaciones lineales de una variable.
2. Cultivar las habilidades de observación de los estudiantes y mejorar su capacidad para analizar y resolver problemas.
3. Ayudar a los estudiantes a desarrollar buenos hábitos de pensamiento correcto.
Enseñanza de puntos clave y dificultades
Métodos y pasos para resolver problemas escritos simples usando ecuaciones lineales de una variable.
Diseño del proceso de enseñanza en el aula
1. Formular preguntas a partir de las estructuras cognitivas originales de los estudiantes
En la aritmética de la escuela primaria, aprendimos a usar la aritmética para resolver prácticas. problemas Conocimiento. Entonces, ¿se puede resolver un problema práctico utilizando una ecuación lineal? Si se puede solucionar, ¿cómo? ¿Cuáles son las ventajas de usar ecuaciones lineales de una variable para resolver problemas escritos en comparación con usar métodos aritméticos para resolver problemas escritos?
Para responder a estas preguntas, veamos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1: 3 veces un determinado número menos 2 es igual a la suma de un determinado número más 4, así que encuentra un determinado número.
(Primero usa aritmética para resolver, los estudiantes responden y el profesor escribe en la pizarra)
Solución 1: (4 2) ÷ (3-1) = 3.
Respuesta: Un determinado número es 3.
(En segundo lugar, use métodos algebraicos para resolver el problema, el maestro guía y los estudiantes lo completan oralmente).
Solución 2: Suponga que un cierto número es x, entonces 3x- 2 = x 4.
3x-2=x 4
(3-1)x=2 4
2x=2 4
2x=6
x = 6 \2
x=3
Resuelve para obtener x = 3.
Respuesta: Un determinado número es 3.
Al observar las dos soluciones del Ejemplo 1, es obvio que es difícil pensar en el método aritmético, pero el método de establecer incógnitas, formular ecuaciones y resolver ecuaciones para resolver problemas de aplicación tiene la sensación de hacer fáciles los problemas difíciles. Esta es también la manera de aprender a usar sistemas lineales. Uno de los propósitos de resolver problemas escritos usando sistemas de ecuaciones.
Sabemos que una ecuación es una ecuación que contiene números desconocidos y la ecuación representa una relación de igualdad. Por lo tanto, para cualquier condición proporcionada en un problema escrito, primero debemos encontrar una relación de igualdad y luego expresar esta relación de igualdad en una ecuación.
En esta lección, usaremos ejemplos para explicar cómo encontrar una relación de igualdad, así como los métodos y pasos para convertir esta relación de igualdad en una ecuación.
2. Los profesores y estudiantes analizan y estudian los métodos y pasos del uso de ecuaciones lineales de una variable para resolver problemas planteados simples.
Ejemplo 2 Después de enviar las 65,438 05 harina almacenadas en el almacén de harina, todavía quedaban 42,500 kilogramos. ¿Cuánta harina hay en este almacén?
* * *Análisis profesor-alumno:
1. ¿Cuáles son las cantidades conocidas y desconocidas que se dan en esta pregunta?
2. ¿Cuál es la relación de igualdad entre cantidades conocidas y cantidades desconocidas? (Peso original - Peso de envío = Peso restante)
3. Si la harina original tiene X kilogramos, ¿cuántos kilogramos de harina se pueden expresar? Usando la relación de ecuación anterior, ¿cómo formularías la ecuación?
El proceso de análisis anterior se puede enumerar de la siguiente manera:
Solución: supongamos que hay x kilogramos de harina, luego se envían 15x kilogramos. Según el significado de la pregunta, x-15x. =42 500.
x-15x=42 500
(1-15)x=42 500
85x=42 500
x=42 500÷85
x=50 000
Entonces x = 50 000.
Respuesta: Solía haber 50.000 kilogramos de harina.
En este punto, permita que los estudiantes discutan: Además de las expresiones anteriores de relaciones iguales en esta pregunta, ¿hay otras expresiones? Si es así, ¿qué es?
(Además, peso original = peso de envío y peso restante; peso original-peso restante = peso de envío)
Lo que el profesor quiere señalar es: (1) Los dos iguales relaciones La expresión es diferente de "peso original - peso de envío = peso restante", pero la esencia es la misma. Puedes elegir cualquiera para formar la ecuación.
(2) El proceso de resolución de ecuaciones del Ejemplo 2 es relativamente simple y los estudiantes deben prestar atención a imitarlo.
Con base en el proceso de análisis y solución del Ejemplo 2, en primer lugar, piense en los métodos y pasos para resolver problemas escritos haciendo ecuaciones lineales de una variable. Luego, brinde retroalimentación haciendo preguntas; finalmente, basándose en el resumen de los estudiantes, el maestro resume lo siguiente:
(1) Revise cuidadosamente la pregunta y comprenda a fondo el significado de la pregunta, es decir, aclare. las cantidades conocidas, las cantidades desconocidas y sus relaciones. Utilice una letra (como X) para representar una cantidad desconocida razonable.
(2) Según el significado de la pregunta, encuentre una relación de equivalencia que pueda expresar el significado completo de la palabra pregunta (este es un paso clave)
(3) Según a la relación de la ecuación, enumere correctamente Para resolver una ecuación, es decir, la ecuación enumerada debe satisfacer que las cantidades en ambos lados deben ser iguales las unidades de las expresiones algebraicas en ambos lados de la ecuación deben ser las mismas; en el problema debe utilizarse por completo y ninguna condición puede omitirse ni reutilizarse.
(4) Encuentra las soluciones de las ecuaciones enumeradas.
(5) Escribe las respuestas de forma clara y completa tras el test. La prueba requerida aquí debe ser verificar que la solución obtenida no solo puede hacer que la ecuación se cumpla, sino que también haga que el problema de aplicación tenga sentido.
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Ecuación lineal (grupo) de dos variables
Definición
Public Education Press Matemáticas de Séptimo Grado Libro 4 Capítulo 9 , Libro de matemáticas de séptimo grado de Huixue, edición educativa de Hebei.
La definición de ecuación lineal de dos variables: una ecuación integral lineal de dos variables cuyos exponentes son todos 1 se llama ecuación lineal de dos variables.
Definición de un sistema de ecuaciones lineales de dos variables: Un sistema de ecuaciones lineales de dos variables consta de dos sistemas de ecuaciones lineales de dos variables.
Solución de una ecuación lineal de dos variables: El valor de las dos incógnitas que iguala los valores de ambos lados de la ecuación lineal de dos variables se llama solución de la ecuación lineal de dos variables.
Soluciones de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables: Dos soluciones comunes a sistemas de ecuaciones lineales de dos variables se denominan soluciones de sistemas de ecuaciones lineales de dos variables.
Solución general y eliminación: Resuelve las incógnitas del sistema de ecuaciones una a una de mayor a menor.
Existen dos métodos para eliminar elementos:
Método de eliminación por sustitución
Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones x y = 516x 13y = 89②.
Solución: Llevar ③ a ② desde ① de x=5-y③, obtener 6(5-y) 13y=89, obtener y=59/7.
Coloca y=59/7 en ③ para obtener x=5-59/7, es decir, x=-24/7.
∴x=-24/7, y=59/7
Esta solución es el método de eliminación por sustitución.
Método de suma, resta y eliminación
Ejemplo: Resolver el sistema de ecuaciones x y=9① x-y=5②.
Solución: ① ②, 2x=14, es decir, x=7.
Coloca x=7 en ① para obtener 7 y=9, y obtén y=2.
∴x=7, y=2
Esta solución es suma, resta y eliminación.
Hay tres soluciones para un sistema de ecuaciones lineales bidimensionales:
1 Hay un conjunto de soluciones.
Por ejemplo, la solución del sistema de ecuaciones X Y = 5 16x 13Y = 89 ② es x=-24/7, y=59/7.
2. Existen innumerables soluciones.
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones X Y = 612x 2Y = 12②, debido a que estas dos ecuaciones son en realidad una sola ecuación (también llamada "la ecuación tiene dos raíces reales iguales"), este sistema de ecuaciones tiene innumerables soluciones .
3. Sin solución
Por ejemplo, el sistema de ecuaciones X Y = 412x 2Y = 10②, porque la ecuación simplificada ② es x y=5, lo cual es inconsistente con la ecuación ①, entonces este tipo de sistema de ecuaciones no tiene solución.
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Ecuaciones lineales de tres variables
Definición
Similar a las ecuaciones lineales de dos variables, tres ecuaciones lineales combinadas contienen tres un número desconocido.
Resolver ecuaciones lineales de tres variables
Similar a las ecuaciones lineales de dos variables, el método de eliminación se utiliza para eliminar los elementos paso a paso.
Análisis de problemas típicos
Para fomentar la conservación del agua en una determinada zona, los estándares de cobro del agua del grifo son los siguientes: si cada hogar utiliza menos de 10 toneladas de agua al mes , se cobrará a 0,9 yuanes/tonelada si excede las 10 toneladas; si la tonelada no supera las 20 toneladas, se cobrará a 1,6 yuanes/tonelada; para la parte que exceda de 20 toneladas, se cobrará a 2,4 yuanes/tonelada; tonelada. En un mes determinado, el usuario A pagó 16 yuanes más que el usuario B, y el usuario B pagó 7,5 yuanes más que el usuario C. Se sabe que el usuario C utiliza menos de 10 toneladas de agua y el usuario B utiliza más de 10 toneladas de agua pero menos de 20 toneladas. Pregunta: a. ¿A cuánto asciende la tarifa mensual del agua para los usuarios B, C y C (se cobra en base a la tonelada completa)?
Solución: supongamos que el partido A usa x toneladas de agua, el partido B usa y toneladas de agua y el partido C usa z toneladas de agua.
Al parecer, el usuario A utilizó más de 20 toneladas de agua.
Por lo tanto, el pago de la Parte A: 0,9 * 10 1,6 * 10 2,4 *(x-20)= 2,4x-23.
Pago: 0,9*10 1,6*(Y-10) = 1,6Y-7.
Pago C: 0,9z
2,4x-23=1,6y-7 16
1,6y-7=0,9z 7,5
Simplificar
3x-2y=40……(1)
16y-9z=145……(2)
X=(2y 40)/ 3 de (1)
Entonces, sea y = 1 3k, 3
Cuando k = 4, y = 13, x = 22, sustituye (2) para obtener z=7.
Cuando k=5, y=16, sustituye (2), z no tiene solución entera.
Cuando k=6, y=19, sustituye (2), z no tiene solución entera.
Por lo tanto, A usa 22 toneladas de agua, B usa 13 toneladas de agua y C usa 7 toneladas de agua.
El consumo de agua del Partido A es de 29,8 yuanes, el consumo de agua del Partido B es de 13,8 yuanes y el consumo de agua del Partido C es de 6,3 yuanes