Comprensión y aplicación de los ratios de la escuela primaria
Resumen del concepto de círculo
1. La definición de círculo: figura curva en un plano.
2. Dobla una hoja de papel circular por la mitad dos veces. El punto donde los pliegues se cruzan en el centro del círculo se llama centro del círculo. El centro de un círculo generalmente está representado por la letra o y su distancia desde cualquier punto del círculo es igual.
3. Radio: El segmento de recta que conecta el centro del círculo y cualquier punto del círculo se llama radio. El radio generalmente se representa con la letra r. Si las dos patas del compás están separadas, la distancia entre las dos patas es el radio del círculo.
4. El centro del círculo determina la posición del círculo y el radio determina el tamaño del círculo.
5. Diámetro: El segmento de recta cuyos ambos extremos pasan por el centro del círculo se llama diámetro. El diámetro suele estar representado por la letra d.
6. En un mismo círculo, todos los radios son iguales y todos los diámetros son iguales.
7. Un mismo círculo tiene innumerables radios e innumerables diámetros.
8. El diámetro del mismo círculo es el doble del radio y el radio es la mitad del diámetro.
Usa letras: D = 2RR = D
Usa palabras para expresar: radio = diámetro ÷ 2 diámetro = radio × 2.
9. Circunferencia: La longitud de la curva que rodea un círculo se llama circunferencia.
10. La circunferencia de un círculo es siempre mayor que 3 veces el diámetro. Esta relación es un número fijo. A la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro la llamamos pi, representada por una letra. Pi es un decimal que se repite infinitamente. Para el cálculo, tome 3,14. La primera persona en el mundo en calcular pi fue el matemático chino Zu Chongzhi.
11. La fórmula de la circunferencia de un círculo: C= d o c = 2 r.
Perímetro = × Diámetro Perímetro = × Radio × 2
12. Área de un círculo: El área que ocupa un círculo se llama área del círculo.
13. Corta un círculo en un rectángulo aproximado. El largo del rectángulo cortado equivale a la mitad de la circunferencia del círculo, representado por la letra (r), y el ancho es igual al radio del círculo, representado por la letra (r). Porque el área de un rectángulo = largo × ancho, el área de un círculo = r × r La fórmula para el área de un círculo: s = r? .
14. Fórmula para el área del círculo: s = r? ¿O S= (d 2)? ¿O S= (C2)?
15. Dibuja el círculo más grande del cuadrado. El diámetro del círculo es igual a la longitud del lado del cuadrado.
16. Dibuja el círculo más grande del rectángulo. El diámetro del círculo es igual al ancho del rectángulo.
17. Un anillo tiene un radio exterior de R y un radio interior de R. ¿Su área es S= R? -r? O S= (R?-r?).
(Donde r = ancho del anillo.)
19. La circunferencia de un semicírculo es igual a la mitad de la circunferencia más el diámetro. La diferencia entre la circunferencia de un semicírculo y la circunferencia de un semicírculo es que un semicírculo tiene un diámetro, mientras que un semicírculo no tiene diámetro.
La fórmula de la circunferencia de un semicírculo: c = d 2+d o c = r+2r.
Mitad de la circunferencia = r
20 Área del semicírculo = área del círculo 2 La fórmula es: s = r? 2
21. Para el mismo círculo, si se aumenta o reduce el radio, el diámetro y la circunferencia también se ampliarán o reducirán en el mismo múltiplo. Y el área se expande o contrae por el cuadrado del múltiplo anterior.
Por ejemplo, para el mismo círculo, el radio se amplía cuatro veces, el diámetro y la circunferencia se amplían cuatro veces y el área se amplía 16 veces.
22. La relación del radio de dos círculos es igual a la relación del diámetro y la relación de la circunferencia, y la relación del área es igual al cuadrado de la relación anterior.
Por ejemplo, si la relación de radio de dos círculos es 2:3, entonces la relación de diámetro y la relación de circunferencia de los dos círculos son 2:3, y la relación de área es 4:9.
La relación entre la circunferencia y el diámetro es: 1, la relación es.
La relación entre el perímetro y el radio es 2:1, y la relación es 2.
23. Cuando el radio de un círculo aumenta en un centímetro, su circunferencia aumenta en 2 centímetros;
Cuando el diámetro de un círculo aumenta en un centímetro, su circunferencia aumenta en uno centímetro.
24. En el mismo círculo, el ángulo central representa una fracción del ángulo central, y su área de sector representa una fracción del área del círculo; .
25. Cuando los perímetros de rectángulos, cuadrados y círculos son iguales, el área del círculo es la mayor y el área del rectángulo es la menor.
26. Fórmula de longitud de arco del sector: Fórmula del área del sector: S= r? (n es el ángulo central del sector, r es el radio del círculo donde se ubica el sector)
27 Gráficos axisimétricos: Si un gráfico se dobla por la mitad siguiendo una línea recta y los gráficos encima. ambos lados pueden superponerse completamente, entonces el gráfico es un gráfico axialmente simétrico. La línea recta sobre la que se encuentra el pliegue se llama eje de simetría.
28. Las figuras con eje de simetría incluyen: ángulo, triángulo isósceles, trapezoide isósceles, sector y semicírculo.
Una figura con dos ejes de simetría es un rectángulo.
Una figura con tres ejes de simetría es un triángulo equilátero.
Una figura con cuatro ejes de simetría es un cuadrado.
Los gráficos con innumerables ejes de simetría incluyen: círculos y anillos.
29. La recta de diámetro es el eje de simetría del círculo.
Unidad 2 Preguntas sobre palabras sobre porcentaje
(1) Concepto básico de porcentaje
1 Definición de porcentaje: Indica que un número es un porcentaje de otro número. número se llama porcentaje. Al porcentaje también se le llama porcentaje o porcentaje.
El porcentaje se refiere a la relación entre dos números, no a una cantidad específica, por lo que el porcentaje no puede tener una unidad.
2. El significado de porcentaje: significa que un número es un porcentaje de otro número.
Por ejemplo, 25% significa que un número es el 25% de otro número.
3. El porcentaje no suele escribirse como fracción, sino que se expresa añadiendo "%" después de la molécula original. La parte del numerador puede ser un decimal o un número entero, puede ser mayor que 100, menor que 100 o igual a 100.
4. Reglas para el intercambio de decimales y porcentajes:
Para convertir un decimal en porcentaje, simplemente mueva el punto decimal dos lugares a la derecha y agregue unos cientos de puntos y coma después;
p>
Para convertir un porcentaje a decimal, simplemente elimine el signo de porcentaje y mueva el punto decimal dos lugares hacia la izquierda.
5. Reglas de reciprocidad entre porcentajes y fracciones:
Al convertir una fracción en porcentaje, generalmente se convierte primero a decimal (excepto tres decimales) y luego a un porcentaje;
Divida el porcentaje en el número de componentes y primero reescriba el porcentaje en el número de componentes, de modo que la cotización que se puede reducir se pueda convertir en la fracción más simple.
(2) Preguntas de solicitud de porcentaje
Preguntas de solicitud de porcentaje (1)
¿Qué porcentaje desea aumentar? ¿Qué porcentaje?
Fórmula: Porcentaje aumentado = Partes aumentadas - unidad 1.
Porcentaje de reducción = partes reducidas/unidad 1
Por ejemplo, después de congelar 1 y 45 centímetros cúbicos de agua, el volumen de hielo es de 50 centímetros cúbicos. ¿Cuánto mayor es el volumen de hielo que el volumen original de agua?
Ideas para resolver problemas: Según la fórmula, el porcentaje de aumento = parte aumentada ÷ unidad 1. Primero determine que la unidad 1 es agua. Ya sabemos que es 45: la parte aumentada se desconoce. Puedes restar 45 de 50 para obtener 5. Finalmente, usando un aumento de 5 ÷ unidades, 1 45 de agua equivale a un aumento de varios puntos porcentuales.
Pasos de cálculo: Paso 1: Unidad 1: Agua: 45 centímetros cúbicos.
Paso 2: Parte añadida: 50-45 = 5 centímetros cúbicos.
Paso 3: Aumentar el porcentaje: 5÷45=11,1%.
Cuando 2,45 centímetros cúbicos de agua se convierten en hielo, su volumen aumenta en 5 centímetros cúbicos. ¿En qué porcentaje ha aumentado el volumen de hielo en comparación con el volumen original de agua?
Ideas para resolver problemas: Según la fórmula, qué porcentaje de aumento = parte aumentada ÷ unidad 1, primero determine que la unidad 1 es agua, que se sabe que es 45: la parte aumentada es 5 centímetros cúbicos; utilice 5÷ El aumento de agua por unidad 1 45 equivale a un aumento de varios puntos porcentuales.
Pasos de cálculo: Paso 1: Unidad 1: Agua: 45 centímetros cúbicos.
Paso 2: Parte añadida: 5 centímetros cúbicos.
Paso 3: Aumentar el porcentaje: 5÷45=11,1%.
3. Después de que el agua se convierte en hielo, su volumen aumenta en 5 centímetros cúbicos y el volumen del hielo es de 50 centímetros cúbicos. ¿Cuánto mayor es el volumen de hielo que el volumen original de agua?
Ideas para resolver problemas: Según la fórmula, qué porcentaje de aumento = parte aumentada ÷ unidad 1, primero determine que la unidad 1 es agua. No lo sabemos, pero según la pregunta “El volumen de agua aumenta en 5 centímetros cúbicos después de que se congela”, sabemos que menos agua significa más hielo, por lo que podemos usar 50-5 para calcular que el agua son 45 centímetros cúbicos. .
El aumento es de 5 centímetros cúbicos y, finalmente, utilizando un aumento de 5 ÷ unidades 1 45 de agua, equivale a un aumento de unos pocos por ciento.
Pasos de cálculo: Paso 1: Unidad 1: Agua: 50-5 = 45 centímetros cúbicos.
Paso 2: Parte añadida: 5 centímetros cúbicos.
Paso 3: Aumentar el porcentaje: 5÷45=11,1%.
4. Los métodos de resolución de problemas de "disminuir en un pequeño porcentaje y aumentar en un porcentaje" son exactamente los mismos.
5. Lo mismo que el aumento porcentual es “un por ciento más” y “un por ciento más”.
"Qué porcentaje de aumento" y así sucesivamente.
Igual que “un pequeño por ciento menos”, “un pequeño por ciento menos” y “un pequeño por ciento menos”.
Preguntas de aplicación de porcentaje (2)
Qué porcentaje es mayor que un número y qué porcentaje es menor que un número.
Por ejemplo 1, la escuela primaria Yide tuvo 80 estudiantes el año pasado y el número de estudiantes este año aumentó en un 25% en comparación con el año pasado. ¿Cuántos estudiantes hay este año?
Ideas para resolver problemas: La Unidad 1 sabía cómo usar la multiplicación el año pasado y aumentó el uso de (1+25%).
Fórmula: 80×(1+25%)
2. El año pasado había 80 estudiantes en la escuela primaria de Yide. El número de estudiantes este año es un 25% menor que el año pasado. ¿Cuántos estudiantes hay este año?
Ideas para resolver problemas: La Unidad 1 sabía cómo usar la multiplicación el año pasado y el uso se redujo (1-25%).
Fórmula: 80×(1-25%)
3. Este año hay 100 estudiantes en la escuela primaria Yide, un aumento del 25% respecto al año pasado. ¿Cuántos estudiantes hubo el año pasado?
Ideas para resolver problemas: la unidad 1 no sabía cómo usar la división el año pasado, así que agregó (1+25%).
Fórmula: 100 (1+25%)
4. La escuela primaria Yide tiene 100 estudiantes este año, un 25% menos que el año pasado. ¿Cuántos estudiantes hubo el año pasado?
Ideas para resolver problemas: en la Unidad 1, no sabía cómo usar la división el año pasado y usé más (1-25%).
Fórmula: 100 (1-25%)
Problemas verbales de porcentaje (3) Utilice ecuaciones en serie para resolver problemas verbales de porcentaje
1. libro. El primer día leyó el 25% del libro y el segundo día leyó otras 20 páginas. ¿Cuántas páginas hay en este libro?
Solución: La Unidad 1 es un libro desconocido, puedes elegir ecuación o división para resolverlo.
Según "el primer día tiene 20 páginas más que el segundo día", podemos saber que el primer día tiene más páginas y el segundo día tiene menos. El primer día menos el segundo día es igual a 20 más. páginas.
Relación equivalente: Día 1 - Día 2 = 20 páginas
Método 1: Solución: Deje que el libro tenga x páginas.
De "Leí el 25% de todo el libro el primer día", podemos saber que el primer día es igual a todo el libro multiplicado por 25%, que se puede expresar por x. Leí todo el libro el segundo día" "20% de todo el libro" podemos saber que el segundo día es igual a todo el libro multiplicado por 20%, el cual se puede expresar por x. Según la relación de equivalencia "primero día - segundo día = 20 páginas", la ecuación se puede enumerar de la siguiente manera:
Método 2: "Leer 20 páginas más el primer día que el segundo día". Debes saber que 20 páginas son la diferencia entre el primer día y el segundo día. Simplemente dividir 20 páginas entre 20 páginas requiere una unidad de 1.
La fórmula es: 20 ÷ (25%-20%)
2 Xiao Ming lee el 25% el primer día, el 20% el segundo día y 20 páginas. dos días. ¿Cuántas páginas hay en este libro?
Relación equivalente: De “Leí 20 páginas en dos días * * *” podemos saber que el primer día + dos días de espera = 20 páginas.
Método de ecuación: Solución: Si el libro tiene X páginas, el primer día es 25%X y el segundo día es 20%X.
La ecuación aparece como: 25%X+20%X=20.
Método aritmético: De "Leí 20 páginas en dos días * * *" podemos saber que 20 páginas es la suma del primer día y el segundo día, y solo necesitamos dividirlo por el relación de bisección de 20 páginas 1 unidad.
La fórmula es: 20(25%+20%)
3. El primer día leyó el 25% del libro y el segundo día leyó el 20% del libro, dejando 20 páginas. ¿Cuántas páginas hay en este libro?
Relación equivalente: un libro - dos días al día = 20 páginas.
Método de ecuación: Supongamos que el libro tiene X páginas, entonces el primer día es 25%X y el segundo día es 20%X.
La ecuación es: x-25% x-20% x = 20.
Aritmética: 20 (1-25% X-20%)
4. El primer día leyó el 25% del libro. El segundo día leyó 10 páginas más que el primer día, quedando 20 páginas más. ¿Cuántas páginas hay en este libro?
Método de ecuación: supongamos que el libro tiene X páginas, entonces el primer día es 25%X y el segundo día es (25%X+10) páginas.
La ecuación es: x-25% x-(25% x+10) = 20.
Preguntas sobre porcentajes (4) Cálculo del interés
1. Principal: El dinero depositado en el banco se llama principal.
2. Interés: El dinero extra que paga el banco al retirar dinero se llama interés.
Interés = principal × tasa de interés × tiempo
3. Antes del 9 de junio de 2008, 10, el estado estipulaba que los intereses de los depósitos debían tributar a una tasa impositiva del 20%. Los intereses de los bonos del Tesoro no están sujetos a impuestos. El impuesto sobre intereses quedará exento a partir del 9 de junio de 2008. Por lo tanto, salvo disposición en contrario, no se calcula ningún impuesto sobre los intereses.
4. Tasa de interés: La relación entre interés y capital se denomina tasa de interés.
5. Fórmula de cálculo del interés de los depósitos bancarios después de impuestos: Interés después de impuestos = interés × (1-20%)
6. Fórmula de cálculo del interés de la deuda: Interés = principal × tasa de interés × tiempo.
7. Principal e intereses: La suma del principal y los intereses se denomina principal e intereses.
8. Impuesto a pagar: El impuesto pagado se denomina impuesto a pagar.
9. Tasa impositiva: La relación entre el impuesto a pagar y las distintas rentas se denomina tasa impositiva.
10. Cálculo del impuesto a pagar: impuesto a pagar = ingresos varios × tipo impositivo.
Por ejemplo, la Sra. Li deposita 2.000 yuanes en un banco a la vez, con un período de depósito de cinco años, y la tasa de interés anual es del 4,14%. ¿Cuál será el capital y los intereses de la Sra. Li al vencimiento?
La idea de resolver el problema: "¿Cuánto es el principal y los intereses * * *?" debería ser 2.000 yuanes de principal más intereses.
Paso uno: Calcule el interés basándose en "interés = capital × tasa de interés × tiempo"
Interés: 2000 × 4,14% × 5 = 414 yuanes.
El segundo paso: capital + intereses: 200414=2414 yuanes.
Por ejemplo, la Sra. Li deposita 2.000 yuanes en un banco a la vez, con un período de depósito de cinco años, y la tasa de interés anual es del 4,14%. ¿Cuál será el capital y los intereses de la Sra. Li al vencimiento? (Si el interés se grava al 20%)
Idea para resolver el problema: "¿A cuánto asciende el capital y los intereses * * *?" debería ser 2000 yuanes de capital más intereses.
Paso uno: Calcule el interés basándose en "interés = capital × tasa de interés × tiempo"
Interés: 2000 × 4,14% × 5 = 414 yuanes.
Paso 2: Calcular el interés después de impuestos: 414 × (1-20%) = 331,2 yuanes.
Principal + intereses: 200331,2=233,2 yuanes.
Capítulo 3 Transformación gráfica
1. Tres métodos de transformación gráfica:
La primera traducción: explica en qué dirección (arriba, abajo, varias traducciones de izquierda). , bien).
Segundo giro: Debes explicar en qué punto girar, en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario, y cuántos grados girar (90 grados, 180 grados, 270 grados).
El tercer tipo son los gráficos simétricos: es necesario explicar qué recta son los gráficos simétricos de qué gráficos.
2. Cálculo del número de competiciones y apretones de manos
Paso 1: Primero, calcula cuántas personas (o equipos) participarán. ¿Cuántas personas se dan la mano?
Paso 2: Calcula el número de coincidencias y apretones de manos. Si son cinco personas, aumenta de 1 a 4, si son seis personas, aumenta de 1 a 5, si son ocho personas, aumenta de 1 a 7, y si son 100 personas, aumenta de 1 al 99.
2. Calcula la línea de salida.
Supongamos: el radio de curva del primer carril es de 36 m, y el ancho de pista de cada carril es de 1,2 m.
Entonces: el radio de curva del segundo carril = el primero carril Radio de curva + ancho de pista = 36 + 1,2.
El radio de curva del tercer carril = el radio de curva del primer carril + ancho de pista + ancho de pista = 36+1,2+1,2.
El radio de curvatura del cuarto carril = el radio de curvatura del primer carril + ancho de pista + ancho de pista 1,2m + ancho de pista = 36 + 1,2 + 1,2.
El radio de curva del quinto carril = el radio de curva del primer carril + ancho de pista + ancho de pista + ancho de pista = 36+1,2+1,2+1,2+1,2+65438+1,2.
Cuántos metros hay entre los puntos de salida de dos carriles diferentes: Paso 1: Calcula cuántas vueltas debes correr primero. Paso 2: Calcula la circunferencia del círculo formado por las dos pistas semicirculares. Paso 3: Resta los perímetros de los dos caminos para obtener la diferencia en metros entre los puntos de partida de los dos caminos. Paso 4: Utilice esta diferencia × el número de vueltas realizadas.
Comprensión de la cuarta razón unitaria
(1) Concepto básico de razón
1 La división de dos números también se llama razón de dos números. El cociente que se obtiene al dividir el término anterior por el siguiente se llama razón.
2. Las razones se suelen expresar como fracciones, decimales y números enteros.
3. El último elemento del ratio no puede ser 0.
4. En comparación con la división, el primer término de la razón es equivalente al dividendo, el último término es equivalente al divisor y la razón es equivalente al cociente. 5. Según la relación entre fracciones y división, el primer término de la razón es equivalente al numerador, el último término de la razón es equivalente al denominador y la razón es equivalente al valor de la fracción.
6. Propiedades básicas de las razones: Si el primer y segundo término de una razón se multiplican o dividen por el mismo número al mismo tiempo (excepto 0), la razón permanece sin cambios.
(2) Encuentra la razón
1. Encuentra la razón: divide el término anterior de la razón dividiendo el siguiente término.
(3) Simplifica la razón
1 Simplifica la razón: divide el término anterior de la razón por el último término de la razón para encontrar la razón de la fracción, luego cambia. la relación de la fracción a la relación.
(4) Aplicación de la razón
La primera aplicación de 1, razón: la suma de dos o más cantidades conocidas y la suma de estas dos o más cantidades ¿Cuál es la razón de estos dos o cantidades?
Por ejemplo, hay 60 estudiantes en sexto grado y la proporción de niños y niñas es de 5:7. ¿Cuántos niños y niñas hay?
Análisis del problema: 60 personas es la suma del número de niños y niñas.
Ideas para resolver problemas: En el primer paso, consigue cada copia: 60÷(5+7)=5 personas.
El segundo paso es encontrar niños y niñas: niños: 5×5=25, niñas: 5×7=35.
2. La segunda aplicación de la razón: dado el número de uno, la razón de dos o más números, ¿cuáles son los otros números?
Por ejemplo, hay 25 niños en sexto grado y la proporción entre hombres y mujeres es de 5:7. ¿Cuántas chicas hay? ¿Cuántas personas hay en la clase?
Análisis del tema: “25 Boys” es uno de ellos.
Ideas para resolver problemas: El primer paso es encontrar cada uno: 25÷5=5 personas.
El segundo paso es encontrar chicas: Chicas: 5×7=35 personas. Clase: 25+35=60 personas
3. La tercera aplicación de la razón: conocer la diferencia entre dos cantidades y la razón de dos o más números. ¿Cuántos son estos dos o varios?
Por ejemplo, en sexto grado, hay 20 niños más que niñas (o 20 niñas menos que niños), y la proporción entre niños y niñas es de 7:5. ¿Cuántos niños y niñas hay? ¿Cuántas personas hay en la clase?
7. Cantidad requerida = cantidad conocida ×
7. Aplicación de la proporción en geometría
(1) Dado el perímetro del rectángulo, la relación de aspecto; es a: b. Calcula la longitud, el ancho y el área.
Largo = perímetro ÷ 2 × ancho = perímetro ÷ 2 × área = largo × ancho.
(2) Se sabe que la relación entre el largo del lado y el largo, ancho y alto del cuboide es A: B: C.. Calcula el largo, ancho, alto y volumen
Largo = largo 4x Ancho = largo 4x
Alto = largo del lado ÷ 4 × volumen = largo × ancho × alto
(3) La relación de los tres ángulos de un triángulo dado es A: B: C, Encuentra las medidas de los tres ángulos interiores.
Los tres ángulos son:
180× 180× 180×
(4) Dado el perímetro del triángulo, la razón de las longitudes de los tres lados es A: B: C, encuentra las longitudes de los tres lados.
Estos tres aspectos son:
Perímetro × Perímetro × Perímetro ×
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