Teorema básico de los axiomas de los números reales

El teorema fundamental del sistema de números reales también se llama teorema de completitud y teorema de continuidad del sistema de números reales. Estos teoremas son el teorema de existencia de límites definidos, el teorema acotado monótono, el teorema de cobertura finita, el teorema del punto de convergencia, el teorema de la compacidad, el teorema del conjunto de intervalos cerrados y el criterio de convergencia de Cauchy. Son equivalentes entre sí y describen la continuidad de los números reales en diferentes formas. También son herramientas importantes para resolver algunos problemas teóricos en el análisis matemático. Entre los diversos teoremas del cálculo, la equivalencia de los siete teoremas fundamentales no significa que todos sean verdaderos, sino que todos son verdaderos o ninguno de ellos es verdadero. Esto requiere un teorema más básico para demostrar que uno de ellos es verdadero, es decir, ambos son verdaderos al mismo tiempo. El método introducido consiste principalmente en admitir el axioma de Dedekind y luego demostrar que estos siete teoremas básicos son equivalentes, comenzando así a establecer una serie de conceptos y teoremas del cálculo. También hay algunos teoremas de equivalencia nuevos en algunos artículos, pero estos siete teoremas son los teoremas básicos que se usan comúnmente en la enseñanza.

Primero, el principio de límites superiores (inferiores)

Un conjunto no vacío con un límite superior (inferior) debe tener un límite superior (inferior).

En segundo lugar, la definición de monotonía.

Las secuencias acotadas monótonas deben tener límites. Específicamente:

Una secuencia monótona creciente (decreciente) con un límite superior (inferior) debe converger.

3. Teorema de anidamiento de intervalos cerrados (teorema de Cauchy-Cantor)

Para cualquier conjunto de intervalos cerrados, debe existir un punto común perteneciente a todos los intervalos cerrados. Si la longitud del intervalo tiende a cero, entonces este punto es el único punto común.

Cuarto, teorema de cobertura finita (teorema de Borell-Leberg, teorema de Heine-Porel)

Cualquier cobertura abierta en un intervalo cerrado debe tener una subcobertura finita. En otras palabras, cualquier cobertura abierta en un intervalo cerrado debe eliminar un número finito de intervalos abiertos para cubrir el intervalo cerrado.

5. Teorema del punto límite (teorema de Bolzano-Weierstrass, teorema del punto de convergencia)

Un conjunto de puntos infinito acotado debe tener un punto de convergencia. En otras palabras, todo conjunto acotado infinito tiene al menos un punto límite.

6. Compacidad de secuencias de intervalos cerrados acotados (teorema de la compacidad)

Las secuencias acotadas deben tener subsecuencias convergentes.

Siete. Completitud (criterio de convergencia de Cauchy)

La condición necesaria y suficiente para la convergencia de una secuencia es que sea una secuencia de Cauchy. O: Cauchy convergerá y la secuencia convergente es Cauchy.

Nota: Sólo las proposiciones con condiciones suficientes y necesarias pueden denominarse "criterios", en caso contrario no pueden denominarse "criterios".

Las siete proposiciones anteriores se denominan teorema fundamental del sistema de números reales. Los siete teoremas fundamentales del sistema de números reales describen la continuidad de los números reales en diferentes formas y son equivalentes. En la prueba, podemos usar la prueba de una vuelta para demostrar su equivalencia. La prueba de equivalencia entre ellos se puede encontrar en Notas sobre análisis matemático.

En la demostración de las propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados, el teorema fundamental del sistema de números reales es una herramienta muy importante, pero la equivalencia entre ellos no prueba que todos sean verdaderos. Debe haber un teorema más básico para demostrar que una de ellas es verdadera, de modo que todas las proposiciones anteriores sean verdaderas. Después de repetidas y cuidadosas consideraciones, el problema se redujo a la introducción de los números reales. Por ejemplo, en el "Tutorial de cálculo" de Fichkingolz, el teorema se puede derivar de la continuidad de los números reales, mientras que en el "Análisis matemático (volumen 1) (cuarta edición)" compilado por el Departamento de Matemáticas de la Universidad Normal del Este de China, el teorema se deriva de Se deriva la forma decimal de los números reales, lo que también ilustra la importancia de establecer una definición estricta de los números reales. Lógicamente, primero debemos establecer los números reales y luego obtener el teorema básico del sistema de números reales. Solo así podremos establecer una teoría de límites estrictos en el campo de los números reales y finalmente obtener una teoría de cálculo estricta. Sin embargo, el desarrollo de la historia de las matemáticas es exactamente lo contrario. La teoría del límite estricto se estableció por primera vez a principios del siglo XIX. Una vez formado básicamente el teorema básico del sistema de números reales, 18.