Problemas en el aprendizaje de las matemáticas
Personalmente, creo que los rompecabezas se pueden utilizar para aumentar el interés en aprender matemáticas. Aquí hay algunos temas interesantes: Rompecabezas 1 (Los piratas comparten monedas de oro).
Los piratas comparten monedas de oro:
En Estados Unidos, se dice que las personas que pueden responder a esta pregunta en 20 minutos tienen un salario anual promedio de más de 80.000 dólares.
Después de que cinco piratas robaron 100 monedas de oro, discutieron cómo distribuirlas de manera justa. Los principios de distribución que acordaron son: (1) sorteo para determinar el número de secuencia de distribución de todos (1, 2, 3, 4, 5) sorteo para los piratas. 1 propone un plan de distribución y luego cinco personas votan. Si el plan es aprobado por más de la mitad de la gente, se distribuirá de acuerdo con su plan; de lo contrario, será arrojado al mar y dado de comer a los tiburones. (3) Si no. El número 1 se arroja al mar, el número 2 propone un plan de distribución y luego las cuatro personas restantes votan si y sólo si el número excede. ④Y así sucesivamente. Supongamos que cada pirata es extremadamente inteligente y racional. Puede realizar un razonamiento lógico riguroso y juzgar racionalmente sus propias ganancias y pérdidas, es decir, puede obtener la mayor cantidad de monedas de oro mientras salva sus vidas. Al mismo tiempo, suponiendo que los resultados de cada ronda de votación se puedan implementar sin problemas, ¿qué tipo de plan de distribución debería proponer el pirata que sacó 1 para evitar ser arrojado al mar y obtener más monedas de oro?
Idea de resolución de problemas 1:
Hablemos primero del pirata número 5. Debido a que es el más seguro y no tiene riesgo de ser arrojado al mar, su estrategia también es la. Lo más simple, es decir, si el anterior Todos están muertos, entonces él solo puede obtener 100 monedas de oro. A continuación, mire el número 4. Sus posibilidades de supervivencia dependen completamente de la existencia de otras personas frente a él, porque si los piratas número 1 al 3 alimentan a los tiburones, entonces no importa cuál sea el plan de distribución número 4. propone, el No. 5 definitivamente votará en contra y dejará que el No. 4 alimente al tiburón para quedarse con todas las monedas. Incluso si el número 4 complace al número 5 para salvarle la vida y propone un plan como (0,100) para permitir que el número 5 monopolice las monedas de oro, el número 5 puede sentir que es peligroso conservar el número 4 y votar en contra. para alimentar a los tiburones. Por lo tanto, el racional número 4 no debería correr tales riesgos y depositar la esperanza de supervivencia en la selección aleatoria del número 5. Sólo apoyando al número 3 se puede garantizar absolutamente la propia vida. Mire el número 3 nuevamente. Después del razonamiento lógico anterior, propondrá dicho plan de asignación (100, 0, 0), porque sabe que el No. 4 lo apoyará incondicionalmente y votará por él, por lo que agregar su propio voto le permitirá obtener 100 de oro de manera segura. monedas. Pero el No. 2 también conoce el plan de asignación del No. 3 a través del razonamiento, por lo que propondrá el plan de (98, 0, 1, 1). Debido a que este plan es relativo al plan de asignación para los números 3, los números 4 y 5 pueden obtener al menos 1 moneda de oro. Los racionales N° 4 y N° 5 naturalmente pensarán que este plan es más beneficioso para ellos, apoyarán el N° 2 y no querrán que se elimine el N° 2 y se asigne el N° 3. De esta forma, el No. 2 puede conseguir 98 monedas de oro con un solo pedo. Desafortunadamente, el Pirata 1 no es una lámpara que ahorre combustible. Después de un poco de razonamiento, también entendió el plan de asignación para el No. 2. La estrategia que adoptará es renunciar al No. 2, darle 1 moneda de oro al No. 3 y. al mismo tiempo entregue 2 monedas de oro al No. 4 o 5. Es decir, se propone el plan de asignación de (97,0,1,2,0) o (97,0,1,0,2). Debido a que el plan de distribución del No. 1 puede obtener más beneficios para el No. 3 y el No. 4 o el No. 5 que el No. 2, entonces votarán por el No. 1, más el propio voto del No. 1, se pueden obtener 97 monedas de oro. Se instaló fácilmente en el bolsillo del No. 1.
Rompecabezas 2 (Problema de adivinar cartas) Problema de adivinar cartas
El Sr. S, el Sr. P y el Sr. Q saben que hay 16 naipes en el cajón del escritorio: A, Q, 4 Hay J de picas, 8, 4, 2, 7, 3 palos de K y Q, 5, 4 y 6 de diamantes, A y 5. El profesor John elige una carta de las 16, le dice al Sr. P el punto de esta tarjeta y le dice al Sr. Q el color de esta tarjeta. En ese momento, el profesor John preguntó al Sr. P y al Sr. Q: ¿Pueden inferir qué es esta carta a partir de los puntos o colores conocidos? Entonces, el Sr. S escuchó la siguiente conversación: Sr. P: No reconozco esta tarjeta. Sr. Q: Sé que no reconoce esta tarjeta. Señor: Ahora conozco la tarjeta. Sr. Q: Yo también lo sé. El Sr. S escuchó la conversación anterior, pensó en ella y dedujo correctamente qué era esta tarjeta. ¿Puedo preguntar: qué tipo de tarjeta es esta?
Piensa y resuelve el problema:
De la primera frase "Sr. P: No reconozco esta tarjeta, se puede ver que esta tarjeta debe tener dos o más". palos, es decir, puede ser A, Q, 4, 5. Si esta carta tiene un solo palo y el Sr. P conoce el valor de esta carta, el Sr. P debe conocer esta carta. De la segunda frase "Sr. Q: Sé que no reconoce esta tarjeta.
"Se puede ver que los puntos de esta carta de palo solo pueden incluir A, Q, 4 y 5. Solo los corazones y diamantes cumplen esta condición. El Sr. Q conoce el palo de esta carta. Solo los palos de corazones y diamantes incluyen A, Q, 4 y 5, el Sr. Q puede hacer esta afirmación a partir de la tercera oración "Sr. P: Ahora conozco esta tarjeta. "Se puede ver al Sr. P pasando. "Sr. P: Sé que no conoce esta tarjeta. "Se determina que el palo es de corazones y diamantes. El Sr. P conoce el valor de esta carta, y el Sr. P conoce esta carta. En consecuencia, excluyendo A, esta carta puede ser Q, 4 o 5. Si el valor de esta carta La tarjeta es A, el Sr. P todavía no puede distinguirlo de la cuarta oración “Sr. Q: Yo también lo sé. "Se puede ver que el color sólo puede ser cuadrado. Si es un corazón, el Sr. Q no puede decir si es Q o 4 después de excluir a. En resumen, esta carta tiene 5 diamantes.
Respuesta de referencia:
Esta tarjeta tiene 5 cuadrados.
Rompecabezas 3 (Problema de la cuerda en llamas) Problema de la cuerda en llamas
Se necesita 1 hora para quemar una cuerda irregular. de principio a fin. Se hacen varias cuerdas del mismo material. ¿Cómo cronometrar una hora y quince minutos quemando una cuerda?
Piensa en solucionar el problema:
¿Quemar una cuerda? de principio a fin así 1 Horas. Entonces se necesitan media hora para quemar la cabeza y la cola al mismo tiempo. Queme dos de estas cuerdas al mismo tiempo, una en un extremo y otra en ambos extremos. Se queman los extremos, se necesitan * * * media hora, y la cuerda de un extremo continúa ardiendo durante media hora, si el otro extremo de la cuerda quemada también se enciende en este momento, solo se necesitan quince minutos.
Respuesta de referencia:
Queme dos de estas cuerdas al mismo tiempo, una en cada extremo, una en cada extremo, cuando una esté quemada, saque la otra y colóquela. a un lado. Márquelo como cuerda 2. Busque otra cuerda como esta y márquela como cuerda 1. Se necesita 1 hora para quemar la cuerda en ambos extremos. Este método puede durar 1 hora y 15 minutos. >
Problema 4 Problema del tenis de mesa
Supongamos que hay 100 pelotas de tenis de mesa dispuestas juntas y dos personas se turnan para colocarlas. El ganador es el que logra el ping número 100. pelota de pong. La condición es: la persona que recibe la pelota debe recibir al menos 1 a la vez y no más de 5. Pregunta: Si eres el primero en recibir la pelota, ¿cuántas debes conseguir? ¿Cómo puedes asegurarte? que puedes conseguir la pelota de ping pong número 100 en el futuro?
Piensa en resolver el problema: 1. También podríamos razonar al revés, si solo quedan seis pelotas de ping pong, deja que el oponente. toma la pelota primero y definitivamente obtendrás la sexta pelota de ping pong. La razón es: si él obtiene 1, tú obtienes 5; si él obtiene cuatro, si él obtiene tres; obtiene cuatro, obtienes dos; si obtiene cinco, obtienes 1. 2. Dividimos 100 pelotas de ping pong en grupos de atrás hacia adelante, y 6 pelotas de ping pong son un grupo de 100 que no se pueden dividir entre 6. Así es. dividido en 17 grupos; 1 grupo de 4 y 16 grupos de 6 jugadores cada uno. De esta manera, los 4 jugadores del 1er grupo se completarán primero, y luego cada equipo del 16º grupo dejará que el otro equipo se quede. la pelota primero y luego terminar el resto ellos mismos. Puedes obtener el último lugar en los 16 grupos, que es la pelota de tenis de mesa número 100.
Respuesta de referencia:
Consigue cuatro. primero, él obtiene n, y tú obtienes 6-n, y así sucesivamente, tienes la garantía de obtener la pelota de tenis de mesa número 100.
Extensión de prueba:
1. Son 100 pelotas de tenis de mesa dispuestas juntas, y dos personas se turnan para cogerlas. La pelota se coloca en la tronera. El ganador es el que consigue la pelota de ping pong número 100. La condición es: la persona que consigue la pelota debe cogerla. al menos 2 a la vez y no más de 7. Pregunta: Si eres el primero en recibir la pelota, ¿cuántas debes tomar? ¿Cómo puedes asegurarte de poder obtener la pelota de ping pong número 100 en el futuro? (Primero toma 1, él toma N, tú tomas 9-n, y así sucesivamente) 2. Supongamos que hay X pelotas de ping pong dispuestas juntas y dos personas se turnan para guardar las pelotas en sus bolsillos. Quien pueda conseguir X pelotas de ping pong es el ganador. La condición es: la persona que sostiene la pelota debe tomar al menos Y y no más de Z. P: Si eres el primero en recibir la pelota, ¿cuántas deberías recibir? ¿Cómo puedo conseguir X pelotas de tenis de mesa en el futuro? (Primero toma el resto de X/(Y+Z), él toma n, tú tomas (Y+Z)-n, y así sucesivamente. Por supuesto, debemos asegurarnos de que el resto de X/(Y+Z) sea distinto de 0)
Rompecabezas 5 (beber refresco)
El problema de beber refresco
Una botella de refresco cuesta 1 yuan después de beber dos botellas vacías. , cámbialo por una botella de refresco Pregunta: Tienes 20 yuanes, ¿cuántas botellas de refresco puedes beber como máximo?
Idea de resolución de problemas 1:
Al principio, 20 botellas no eran un problema, y luego 10 botellas y 5 botellas no eran un problema.
Luego divida las 5 botellas en 4 botellas y 1 botella, primero reemplace las 4 botellas vacías con 2 botellas y luego reemplace las 2 botellas con 1 botella después de beber. En este momento, la cantidad de botellas vacías que quedan a mano después de beber es 2. Cambie estas 2 botellas por 1 botella y continúe bebiendo. Después de beber la botella que intercambiaste, puedes devolverla a otros, por lo que la mayor cantidad de refresco que puedes beber es: 215+2+1+1 = 40.
Idea 2 para resolver el problema:
Mira primero 1 yuan. ¿Cuántas botellas de refresco puedes beber como máximo? Beba 1 botella y 1 botella vacía, tome prestada 1 botella vacía del comerciante, cambie dos botellas por 1 botella y continúe bebiendo. Después de beber, devuelve estas 1 botella vacía al comerciante. Eso significa que puedes beber hasta 2 botellas de refresco por 1 yuan. Por supuesto, con 20 yuanes se pueden beber hasta 40 botellas de refresco.
Idea 3 para solucionar el problema:
Cambiar dos botellas vacías por una botella de refresco Sabemos que el refresco puro sólo vale cincuenta céntimos. Por supuesto, puedes beber hasta 40 botellas de refresco puro por 20 yuanes. Por supuesto, N yuan puede beber hasta 2 N botellas de refresco.
Respuesta de referencia:
40 botellas
Expansión de la pregunta de prueba:
1. Una botella de refresco cuesta 1 yuan y dos vacías. Se consumen botellas. Las botellas se cambian por botellas de refresco. Pregunta: Tienes N yuanes. ¿Cuántas botellas de refresco puedes beber como máximo? (Respuesta 2N) 2. Una botella de refresco cuesta 90 centavos Después de beber una botella de refresco, quedan tres botellas vacías. Pregunta: Tienes 18 yuanes, ¿cuántas botellas de refresco puedes beber como máximo? (Respuesta 30) 3. Una botella de refresco cuesta 1 yuan. Después de beber cuatro botellas vacías, cámbiala por una botella de refresco. Pregunta: ¿Cuántas botellas de refresco puedes beber como máximo? (Respuesta 20)
Rompecabezas 6 (Dividir lingotes de oro) Dividir lingotes de oro.
Dejas que un trabajador trabaje para ti durante 7 días y la recompensa del trabajador es una barra de oro. La barra de oro está dividida en siete secciones consecutivas. Al final de cada día, deberás darles una porción de los lingotes de oro. ¿Cómo se les paga a los trabajadores si solo se les permite romper lingotes de oro dos veces?
Pensando en resolver problemas:
La esencia de este problema es la representación de números. Los dos números 1 y 2 pueden representar los tres números 1-3. Los siete números del 1 al 7 se pueden representar con tres números: 1, 2, 1+2, 4, 4+1, 4+2 y 4+2+1. Los quince números del 1 al 15 se pueden representar mediante cuatro números: 1, 2, 4 y 8. Etcétera.
Respuesta de referencia:
Dividimos los lingotes de oro en 1/7, 2/7 y 4/7. De esta manera le puedo dar 1/7 el día 1; el segundo día le doy 2/7 y me devuelve 1/7 al tercer día le doy 1/7, más el; original 2/7. 3/7; al cuarto día, le di la barra de oro 4/7 y le pedí que encontrara las dos barras de oro 1/7 y 2/7. En el quinto día, dale 1/7; en el sexto día, haz lo mismo que en el segundo día; en el séptimo día, se le devuelve 1/7.
Expansión de la pregunta del examen:
1. Les pides a los trabajadores que trabajen para ti durante 15 días y les pagan una barra de oro. Los lingotes de oro se dividen en 15 segmentos. Al final de cada día deberás entregarles una barra de oro. Si sólo te permiten romper lingotes de oro tres veces, ¿cómo les pagas a los trabajadores? (15/1, 15/2, 15/4, 15/8) 2. Dejas que un trabajador trabaje para ti durante 31 días y la recompensa del trabajador es una barra de oro. Los lingotes de oro se dividen en 31 segmentos. Al final de cada día deberás entregarles una barra de oro. ¿Cómo se les paga a los trabajadores si solo se les permite romper lingotes de oro cuatro veces? (31/1, 31/2, 31/4, 31/8, 31/16) 3. Le pides a los trabajadores que trabajen para ti (2 n) -los lingotes de oro se dividen en (2 n) -1 segmentos. Al final de cada día deberás entregarles una barra de oro. Si solo se le permite romper lingotes de oro n-1 veces, ¿cómo se les paga a los trabajadores? (1/((2 N)-1), 2/((2 N)-1), 4/((2 N)-1),...) 4. ¿Por qué el RMB es solo 65438+? (Fácil de cambiar. Idealmente debería ser 1, 2, 4, 8. 10 se usa comúnmente en la vida real, por lo que 4 y 8 se cambian por 5 y 10. Siempre que haya dos cincos de 2, 1, 2, 2, 5, 10 El número puede representar del 1 al 20)