Cómo encontrar el rango de una función

Varios métodos comunes de rango de funciones

1. Método directo: utilice el rango de valores de funciones comunes para encontrar

El dominio de definición de la función lineal y=ax b(a 0) es R, y el rango de valores es R;

La definición de función proporcional inversa El dominio es {x|x 0} y el rango de valores es {y|y 0};

El dominio de la función cuadrática es R,

Cuando agt; 0, el rango de valores es { }; cuando alt; 0, el rango de valores es { }.

Ejemplo 1. Encuentra el rango de valores de las siguientes funciones

① y=3x 2(-1 x 1) ② ③ ④

Solución: ①∵-1 x 1, ∴-3 3x 3 ,

∴-1 3x 2 5, es decir, -1 y 5, el rango de valores de ∴ es,

Cuando x=3, y= -2; 4, y=1;

∴ arriba, =-2, =1; cuando x=0, y=1; cuando x=1, y=-2,

∴En lo anterior, =-2, =1; el rango de valores es, cuando x=0, y=1 cuando x=2, y=-3, cuando x=5, y=6,<; /p>

∴En lo anterior, =-3, =6; el rango de valores es [-3, 6].

Nota: Para funciones cuadráticas,

⑴If el dominio es R ,

①Cuando agt; 0, entonces su valor mínimo es en ese momento

②Cuando alt 0, entonces su valor máximo es en ese momento.

⑵ Si el dominio es x [a, b], primero debes determinar si la coordenada de abscisa x0 de su vértice pertenece al intervalo [a, b].

① Si [a, b], es el mínimo de la función. Cuando se alcanza el valor (agt; 0) o el valor máximo (alt; 0), el tamaño de la comparación determina el valor máximo (pequeño) de la función.

② Si ​​[a, b], entonces [a, b ] está dentro del intervalo monótono de , y el valor máximo (pequeño) de la función se puede determinar comparando solo el tamaño.

Nota: ① Si el intervalo dado no es un intervalo cerrado, es posible que no se obtenga el valor máximo (pequeño);

②Cuando la abscisa del vértice es una letra, la discusión debe basarse en. su intervalo correspondiente, especialmente la relación posicional entre los dos puntos finales del intervalo.

3. Método discriminante (método △):

El método discriminante se usa generalmente para funciones fraccionarias. El numerador o denominador solo puede ser cuadrático. Al resolver problemas, se debe prestar atención a la discusión de si el coeficiente. El término cuadrático es 0.

Ejemplo 3. Encuentra el rango de valores de la función

Método 1: Elimina el denominador para obtener (y-1) (y 5)x-6y-6=0 ①

Cuando y11 ∵x ?R ∴ △=(y 5) 4(y-1)×6(y 1) 0

De esto obtenemos (5y 1) 0

Al probar (sustituir ① para encontrar la raíz)

∵2 ? Dominio {x| Como se indicó, el rango de valores de la función es { y | y1 }

Método 2: convertir la función conocida en una función (x12)

Cuando ∵ x=2

Explicación: este método utiliza la idea de ecuaciones para resolver problemas de funciones y generalmente se denomina método discriminante. El método discriminante se usa generalmente para funciones fraccionarias y el numerador o denominador solo puede ser cuadrático. Preste atención a dos cosas al resolver problemas Discusión sobre si el coeficiente del término secundario es 0.

4. Método de sustitución

Ejemplo 4. Encuentra el rango de valores de la función

Solución: Supongamos entonces t 0 x=1-

Sustituye para obtener

5. Función por partes

Ejemplo 5. Encuentre el rango de valores de la función y=|x 1| |x-2|

Solución 1: convierta la función en una forma de función por partes: como se puede ver en la imagen, el rango de valores de. la función es {y|y 3}.

Solución 2: la función ∵ y=|x 1 |x-2|

La suma de las distancias desde el punto "Combinación de formas", utilizando propiedades geométricas para resolver problemas, se llama método geométrico o método de imagen.

Explicación: Los anteriores son algunos métodos comúnmente utilizados para encontrar el dominio de valores de funciones. (método de observación, método de combinación, método discriminante, método de imagen, método de sustitución, etc.), con el aprendizaje continuo de conocimientos y la acumulación continua de experiencia, también existen métodos como el método de desigualdad, el método de sustitución trigonométrica, etc. Los problemas se pueden resolver mediante múltiples métodos y algunos problemas se pueden resolver mediante un método determinado. Simple, los estudiantes deben familiarizarse y dominar varios métodos de solución a través de la práctica continua y tratar de utilizar soluciones simples al resolver problemas.

Resumen: Métodos básicos para encontrar el rango de valores de funciones (método directo, método de sustitución, método discriminante para encontrar el rango de valores (valor máximo) de una función cuadrática o el rango de valores (valor máximo) de una función cuadrática; en un intervalo determinado.