Matemáticas universitarias
Puntos clave de la evidencia:
(1) Se demuestra que f(x)=∑(x^n/n^2) converge a (-1, 1).
Esto se puede obtener calculando el radio de convergencia r = lim n 2/(n 1) 2 = 1.
(2) Según la serie de Taylor, existe:
ln(1-x)=∑(-(x)^n)/n)(x∑[-1 , 1))
(3)f '(x)=∑(x^(n-1)/n)=-ln(1-x)/x(x∑(-1,1) ) )
es: f '(1-x)=-ln(x)/(1-x)
(4) Sea g (x) = el lado izquierdo de lado de la ecuación que se va a demostrar.
g '(x)= f '(x)-f '(1-x) ln(1-x)/x-ln(x)/(1-x)
=0
Por lo tanto, G(x) es una constante c (x∈[0, 1))
(5) Demuestre que lim g(x->1 - )=C=π^2/6
Solo falta demostrar: lim ln(1-x)lnx = 0(x-> 1-).
Esto se puede demostrar muchas veces utilizando la ley de L'Hourbid.
Los subíndices de todos los ∑ en la fórmula anterior son n=1, ∞.
Corolario: El valor de f(1/2) se puede obtener a la inversa.