Preguntas del examen final de matemáticas de cuarto grado 2021 Preguntas reales
0. Conceptos básicos necesarios (puntos clave)
1) Definición de ángulos arbitrarios, sistema en radianes y funciones trigonométricas de ángulos arbitrarios.
2) Expresiones relacionales básicas, fórmulas inducidas de funciones trigonométricas del mismo ángulo y fórmulas relacionadas de ángulo suma, ángulo diferencia, medio ángulo, ángulo múltiple y ángulo auxiliar.
3) Imágenes de funciones trigonométricas, transformaciones de imágenes y sus propiedades.
4) Métodos y técnicas generales para la resolución de problemas trigonométricos de transformación de identidad.
1. Descripción básica del problema
Generalmente, los problemas de evaluación de funciones trigonométricas incluyen:
① Dado el valor del ángulo, encuentre el valor de la función trigonométrica.
② Dada la fórmula de la función trigonométrica y sus posibles restricciones, encontrar el valor de una determinada función trigonométrica, o demostrar que el valor de la función trigonométrica es igual a una constante, etc.
③ Combinado con triángulos, conociendo ciertas expresiones relacionales y posibles restricciones, encuentra el valor de una determinada función trigonométrica.
④ Dada la expresión algebraica o expresión analítica funcional compuesta de funciones trigonométricas, encontrar su rango, valor máximo, etc.
2. La solución general al problema
Como se muestra en la figura. Excepto por algunas preguntas relativamente simples que se pueden resolver directamente, la mayoría de los problemas de evaluación de funciones trigonométricas generalmente se pueden resolver mediante los dos pasos de la figura anterior.
1) Dado el valor del ángulo, encontrar su valor de función trigonométrica (conociendo el ángulo)
Generalmente se utilizan fórmulas de inducción de funciones trigonométricas, identidades trigonométricas, etc. , primero simplifica la ecuación y resuélvela. Generalmente, no puede consultar la tabla, por lo que los métodos son los siguientes:
① Cuando corresponda, convierta funciones trigonométricas de ángulos no especiales en funciones trigonométricas de ángulos especiales
② Cuando corresponda; , se elimina la conversión de funciones trigonométricas de ángulos no especiales en funciones trigonométricas.
Consejo: La clave para resolver este tipo de problema (el enfoque del examen) es observar, identificar e incluso construir la relación entre ángulos, incluida la suma de ángulos, la diferencia de ángulos, la complementariedad, el complemento mutuo y la división. , combinación y otros métodos y técnicas .
2) Dados los valores de la función trigonométrica de ciertos ángulos, encuentre o demuestre los valores de la función trigonométrica de otros ángulos (evaluación de valor conocido)
① Generalmente use "identidad trigonométrica transformación" Este método transforma las ecuaciones de funciones conocidas y trigonométricas que se encuentran por separado o simultáneamente, para establecer una conexión directa entre ellas. Se puede dividir aproximadamente en dos categorías: tipo de operación de ángulo y tipo de operación de valor.
② Tipo de operación de ángulo: la clave es la conversión entre el ángulo conocido y el ángulo que se va a encontrar (consulte la sección de habilidades básicas de transformación de identidad trigonométrica para obtener más detalles).
③ Tipo de operación de valor: la clave es la conversión entre las funciones conocidas y las funciones trigonométricas que se van a encontrar (consulte la sección de habilidades básicas de transformación de identidad trigonométrica para obtener más detalles).
Consejo: La clave para resolver este tipo de problemas (el foco del examen) radica en el manejo de las restricciones relacionadas con el ángulo, como determinar correctamente el cuadrante o la posición del ángulo - si no se puede determinar, se debe clasificar y discutir si el ángulo es Para los ángulos interiores de un triángulo, preste atención a las restricciones (explícitas o implícitas) de los ángulos y sus posibles rangos.
3) Dada la expresión algebraica o expresión analítica funcional compuesta de funciones trigonométricas, encontrar su rango o valor máximo (esencialmente también evaluación). El método de solución general es:
① Primero determine el rango del ángulo (es decir, el dominio de definición) y las restricciones relacionadas
② Utilice métodos y técnicas de transformación de identidad trigonométrica para organizar, simplificar o transformar Fórmula conocida;
③ Analizar y resolver el rango de valores o valor máximo.
Consejo 1: Los problemas de evaluación de funciones trigonométricas también pueden aparecer en forma de problemas de parámetros, como conocer el valor, rango o valor máximo de una función trigonométrica, y a su vez encontrar un determinado valor o rango de parámetro. El método general para resolver el problema es similar, excepto que el último paso se evalúa a la inversa (similar a una ecuación).
Consejo 2: Si la expresión algebraica o expresión analítica funcional es una función trascendental, o el tipo de pregunta se puede transformar en una expresión sin funciones trigonométricas utilizando el método de sustitución, estrictamente hablando, no pertenece a el problema de evaluación de funciones trigonométricas (es decir, las funciones trigonométricas no son la columna vertebral de problemas de aplicación tan completos), por lo que se analizarán en otros módulos.
3. Ejemplos típicos
Ejemplo 1 Calcular tan12+tan18+√3/3tan12tan18.
Solución: Fórmula original = tan(12+18)(1 - tan12tan18) + √3/3tan12tan18
= √3/3(1 - tan12tan18) + √3/3tan12tan18
= √3/3.
Explicación:
① Al evaluar ángulos, la clave es observar las características conocidas y elegir la ruta de transformación adecuada en consecuencia: transformación de ángulo o transformación de función trigonométrica.
En esta pregunta se puede observar que 12+18=30, y el primer, segundo y tercer término se pueden conectar mediante fórmulas de tangente y ángulo, a partir de las cuales se puede determinar la idea de solución.
Ejemplo 2 Si senα-2cosα=0, α∈(π, π/2).
(1) Encuentra sin(π/4+α);
(2) Encuentra tan(π/4+α).
Solución: Según el significado de la pregunta, sinα= 2cosα,
Y (sinα)^2 + (cosα)^2 = 1,
Entonces podemos obtener: (sinα)^2 = 4/5.
También α∈(π,3π/2),
Explicación:
① Aunque esta pregunta no es difícil, es un buen ejemplo de cómo conocer la valor Un tipo de valor de pregunta: puede utilizar la ecuación o el valor de la función trigonométrica conocida para encontrar el valor del ángulo relacionado con el problema a resolver y luego resolver el problema.
② Muchas veces, el valor específico del ángulo no se puede resolver en el problema de evaluación de valores conocidos, en este caso es necesario asociar el ángulo a encontrar con el ángulo conocido o sus funciones trigonométricas. El método general es:
a) Si sólo se conoce un ángulo, el ángulo a calcular puede ser múltiplo, medio, complementario, complementario y suma-diferencia del ángulo conocido;
b) Si se conocen dos Cuando el ángulo es un ángulo, el ángulo a calcular puede tener una relación de suma o diferencia con el ángulo conocido;
c) Si el ángulo conocido o el ángulo a Si se calcula un ángulo compuesto complejo, generalmente se requiere primero una transformación de identidad trigonométrica para conectar las condiciones conocidas y las preguntas a formular.
③ Se sabe que este problema es senα-2cosα=0, por lo que la solución es simple. De manera más general, cuando se sabe que sinα±cosα=e (e≠0), se puede usar el método del cuadrado y combinarlo con (sinα)^2 + (cosα)^2 = 1 para resolver.
Ejemplo 3 En △ABC, se sabe que cosA=5/13, cosB=4/5, entonces el valor de cosC es ___.
Solución: Según el significado de la pregunta, podemos obtener: sinA=12/13, sinB = 3/5.
cosC = cos[π-(A+B)] = -cos(A+B)
= -cosAcosB + sinAsinB
= -5/ 13×4/5 + 12/13×3/5
= 16/65.
Explicación:
① Al encontrar valores de funciones trigonométricas debajo de un triángulo (similar a encontrar valores de ángulos), preste atención a:
a) Implícito condición: triángulo La suma de los ángulos interiores es π.
b) El valor de sen puede corresponder a un ángulo agudo o a un ángulo obtuso. La elección específica depende de las condiciones de la pregunta (esta pregunta no cubre este punto).
Ejemplo 4 Se sabe que 0＜α＜π/2＜β＜π, cosα=3/5, sin(α+β)=-3/5, entonces cosβ=___.
Solución: Según el significado de la pregunta, 0＜α＜π/2＜β＜π, cosα=3/5,
∴sinα=√[1-( cosα)^2 ] =√[1-(3/5)^2] = 4/5,
Y porque sin(α+β)=-3/5,
∴π＜ α+β＜3π/2,
∴cos(α+β) = -√[1-(sin(α+β))^2]
= -√[ 1-(-3/5)^2] = -4/5,
∴cosβ= cos[(α+β)-α]
= cos (α+β )cosα+ sin(α+β)sinα
= (-4/5)*(3/5)+(-3/5)*(4/5)
= -24/25.
El ejemplo 5 encuentra los valores máximo y mínimo de la función y=sin^2x+√3sinxcosx-1.
Solución: Según el significado de la pregunta,
y = sin^2x+√3sinxcosx-1 = (1-cos2x)/2+(√3/2)sin2x- 1
= sin2xcos(π/6)-sin(π/6)cos2x-1/2
= sin(2x-π/6)-1/2.
(Pista: La transformación de identidad da como resultado una expresión funcional representada por una nueva función trigonométrica)
∴ obtiene el valor máximo = 1 cuando sin(2x-π/6)=1 -1/2 = 1/2,
∴ obtiene el valor mínimo cuando sin(2x-π/6)=-1 = -1-1/2 = -3/2.
Explicación:
① Esta pregunta es una pregunta de valor máximo de función trigonométrica (que pertenece al tipo de evaluación de valor conocido) e ilustra la solución general a este tipo de pregunta.
② La combinación de "ángulo doble y ángulo auxiliar" es un método y técnica comúnmente probados en el examen de ingreso a la universidad.
③ Si esta pregunta se cambia a "Se sabe que la función y=sin^2x+√3sinxcosx-m, el valor máximo es 3/2, encuentre el valor del parámetro m", es una problema de parámetros, y la solución es prácticamente la misma.
Recordatorio: este artículo pertenece al módulo "Funciones trigonométricas y vectores planos" de matemáticas de secundaria y se está creando más información. Bienvenido a seguir prestando atención: haga clic en el botón "Seguir" en la parte superior para seguir esta cuenta "Light Learning Classroom" (la información se enviará inmediatamente después de seguirla).